Matemática de las Flores ..... (de la Página de Antonio Pérez)

Condicionados por la anterior frase, un poco de belleza en la naturaleza y su modelación matemática .....

Las CURVAS Botánicas .....
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
En apariencia las hojas de las plantas y los pétalos de las flores están hermanados con la poesía y muy alejados de las matemáticas. Sin embargo también podemos acercarnos a los misterios del crecimiento vegetal a través de curvas y de ecuaciones, y además no demasiado complejas.
Existe una familia de curvas, investigada en el siglo XVIII, que parece haber nacido para identificarse con algunas de las flores que podrás encontrar esta primavera en el Jardín botánico y en tus excursiones por el campo.

Se trata de la CONCOIDE DE ROSETÓN, también conocida como PÉTALO GEOMÉTRICO o ROSETÓN DE TROYA.

Para interpretar el crecimiento de hojas y flores las coordenadas rectangulares o cartesianas no son las más apropiadas. Recurriremos a las coordenadas polares, en las que las dos variables son el ángulo girado respecto a la horizontal y la distancia al origen.

En estas coordenadas, todas las concoides de rosetón o de rosáceas, como dicen los franceses, tiene esta ecuación general:

haciéndose variar el angulo Teta entre (-Pi/n) y (Pi/n). Pi=3,1415 ...

Para el caso : a y b positivos, a mayor que b,

Usemos en este caso: a=2, b=1; n = 5

Y graficando en Coordenadas Polares, mediante el programa WINPLOT, tenemos:

Entre (-pi/5) y (Pi/5), para nuestro caso, el águlo debe variar entre -36º y 36º o en radianes entre (-0,62831853) y (0,62831853). Entre estos dos valores, se tiene todavía una función ... las otras partes de la flor vienen con la periodicidad de coseno, dada para los ángulos mayores y menores al rango del que hablamos ....

Usando EXCEL, hice una tabla y luego grafiqué las polares a mano, dando lo que vene a continuación:

Tabla de valores:

Gráfica a mano, para algunos valores de ángulos:
Nota: ¿Cómo lograr la flor entera?
Con simetrías y rotaciones !

Por ejemplo, el semi-pétalo mayor se puede hacer simétrico respecto del eje horizontal y luego rotarlo 4 veces. El pétalo menor se puede hacer simétrico respecto de la recta con ángulo 36º y luego rotarlo 4 veces. Ojo que la pendiente de la recta sería: m= tg (36º)