Hablando de Gödel, desde el corazón y la simplicidad de un aprendiz de matemático que NO lo entiende todo ....
(es decir, no tengo certeza de que mi explicación te convenza o te lo aclare todo)
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Claudita, el autriaco Kurt Gödel es uno de los matématicos (especializados en lógica) que más admiro. Mi admiración es tan grande como la imposibilidad de asirlo completamente. Vislumbro claridades, pero siempre quedo con la sensación de que no lo entiendo a cabalidad.
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Alguna vez tuve en mis manos el bosquejo medular de su demostración (muy similar a la idea de Kantor para demostrar la imposibilidad de enumerar el conjunto de los números reales) y creí entenderla bien, pero otra vez, sentí que algo se me escapaba. Todo esto al punto de no poder reproducirla .... y tu sabes que no se sabe algo, cuando uno no es capaz de trasmitirlo cabalmente.
- - - - -Kurt Gödel no sólo ha sido el más brillante lógico de la historia, sino el que más descocierto ha levantado. Una cosa es segura, sus teoremas provocan aunténticas limitaciones al poderío de la matemática y es quizás por ello que tú me has provocado ....
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Con todo, hay ribetes de su vida que recuerdo por la simpatía que me han provocado. Antes de "explicar" la paradoja de Gödel, te cuento: Gödel se avencindó en USA en su vida más tardía y para ello extendió su solicitud en algun grado en torno a su ciudadanía norteamericana. 
Curiosamente lo acompañaba Albert Einstein, quien ya había logrado esa ciudadanía y ya gozaba del prestigio que tiene hoy. Imagínate el cuadro, medio ni que pituto !!!! lo curioso es que Gödel tenía una mente tan capaz, que había estudiado la Constitución del país y no sólo sabía mucho de ella -probablemente más que el juez- sino que la había analizado desde sus miles de aristas encontrando falencias que "podrían atentar en contra del orden de ese país" .... Cuando Kurt Gödel habría iniciado sus detallados y profundas explicaciones en torno al asunto, se vio a un Albert Einstein desesperado tratando de que NO hablara más de la cuenta, lo que podía asustar al juez presente, que revisaba si otorgar o no la petición de ciudadanía !!!! Un suceso un tanto hilarante, en torno a una mente analítica, en grado extremo!
Curiosamente lo acompañaba Albert Einstein, quien ya había logrado esa ciudadanía y ya gozaba del prestigio que tiene hoy. Imagínate el cuadro, medio ni que pituto !!!! lo curioso es que Gödel tenía una mente tan capaz, que había estudiado la Constitución del país y no sólo sabía mucho de ella -probablemente más que el juez- sino que la había analizado desde sus miles de aristas encontrando falencias que "podrían atentar en contra del orden de ese país" .... Cuando Kurt Gödel habría iniciado sus detallados y profundas explicaciones en torno al asunto, se vio a un Albert Einstein desesperado tratando de que NO hablara más de la cuenta, lo que podía asustar al juez presente, que revisaba si otorgar o no la petición de ciudadanía !!!! Un suceso un tanto hilarante, en torno a una mente analítica, en grado extremo!- - - - -
Eintein y Kurt Gödel fueron buenos amigos (acostumbraban a dar paseos por los espacios universitarios, hablando de sus temas científicos). Quizás se buscaron como aquellos que buscan referencias y se encuentran comprobando finalmente que no tienen a nadie a quien más recurrir, fueron como el último peldaño escalado en sus respectivas disciplinas .....
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Para mi, Kurt Gödel es lo que es Heisenberg para la Física. Tu has escuchado hablar del "Principio de Incertidumbre" (muy explicado en este BLOG). Este principio establece que "no es posible determinar con entera precisión la posición y la velocidad de un electrón a la vez". Es decir, si tengo conocida su velocidad, su posición será una certeza sólo estadística (tendremos una región de probabilidades para su posición, una relativa certeza) y viceversa: si conocemos su posición, tendremos una relativa certeza de su velocidad. Para que decir más, una bofetada a la precisión (objetividad) buscada en la física con tanto afán, una humildad impresionante exigida desde el mundo cuántico. (Fíjate que algunos físicos creyentes han dicho que sólo Dios sabe la posición y la velocidad, a la vez, de cada partícula).
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Bueno, pero qué dice este Principio o Paradoja de Gödel:
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Gödel mostró en cierto modo las limitaciones de las matemáticas: estas NO pueden demostrarlo todo, en particular no pueden probar algo tan buscado por los matemáticos: su propia consistencia.
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Así lo diría un libro de difusión de la ciencia:
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"Gödel probó que si se toma un conjunto de axiomas lo suficientemente amplio -que contenga los axiomas de la aritmética como mínimo- NO es posible probar, con las amaras de la deducción del sistema, que tal conjunto sea a la vez consistente y completo. Es decir, que en caso de ser completo contendría contradicciones. Y en caso de no tener contradicciones -es decir, caso de ser consistente- habría siempre teoremas verdaderos que nunca podríamos demostrar" (Biblioteca Salvat).
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Los teoremas de Gödel (sus proposiciones paradógicas) sobre lo incompleto, publicados en 1931 cuando apenas tenía 25 años, reescribieron las directrices de la ciencia moderna, tanto como la teoría de la relatividad de Einstein lo había hecho hace 15 años antes. La aritmética elemental, según demostró Gödel, estaba incompleta y lo seguiría estando. No importa en que sistema axiomático tu bases tus cálculos, hay postulados verdaderos más allá del alcance del sistema. Añadir tales postulados al sistema como nuevos axiomas no sirve de nada. El sistema enriquecido es también incompleto, y así “la infección continúa su ascenso gradual”.
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El enunciado de su TEOREMA DE LA INCOMPLETITUD dice: Todo sistema matemático contiene proposiciones “indecibles”, es decir, que no son ni demostrables ni refutables con los axiomas contenidos en ese sistema matemático. Este teorema subraya además que NO es posible demostrar que un sistema es coherente permaneciendo en su interior ..... para lograr demostrar coherencia, hay que salir del sistema .....
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El enunciado de su TEOREMA DE LA INCOMPLETITUD dice: Todo sistema matemático contiene proposiciones “indecibles”, es decir, que no son ni demostrables ni refutables con los axiomas contenidos en ese sistema matemático. Este teorema subraya además que NO es posible demostrar que un sistema es coherente permaneciendo en su interior ..... para lograr demostrar coherencia, hay que salir del sistema .....
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Pero Sigamos ..... hablemos casi de lo mismo con otras palabras y en su contexto histórico ....
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Hacia 1925 según el sentir del gran Hilbert (otro matemático), los matemáticos de la época estaban de acuerdo en que, para cualquier proposición bien construída del sistema matemático habría de existir o bien una demostración de ella o bien una demostración de su negación porque en matemáticas no hay ningún "ignoraremos", kein 'ignorabimus' in der Mathematik.
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La demostración rigurosa de este hecho, que parecía estar fuera de toda duda razonable, fue un objetivo principal del programa que Hilbert proponía (para el desarrollo de esta ciencia .... una especie de recetario que iba en pos de ordenar todo el entramado matemático, hasta hacerlo infalible). Con ello se llegaría a establecer claramente esa condición de árbitro supremo de la ciencia matemática.
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No habían pasado 6 años cuando en 1931 K. Gödel daba al traste de forma definitiva con el programa de Hilbert. Pese a todas las expectativas de los matemáticos del tiempo, Gödel demostró que la situación real era precisamente la contraria: En cualquier sistema matemático suficientemente potente para que en él se pueda desarrollar la aritmética de los números naturales existen proposiciones P con perfecto sentido dentro del sistema que son indecidibles, es decir P no se puede demostrar, pero tampoco no-P se puede demostrar.
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Este es el contenido del primer teorema de Gödel (1931) sobre la incompletitud de la aritmética, que probablemente pasará a la historia como uno de los resultados más importantes de pensamiento matemático, en una artículo titulado Über folmalunentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas relacionados).
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Poco después Gödel demostraría además, como resultado complementario, algo que hacía apreciar aún mejor la profundidad de su anterior teorema: Una de tales proposiciones indecidibles es precisamente la que afirma que en el sistema en cuestión no existen contradicciones.
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Es decir, construyamos el sistema matemático que construyamos, con tal tan sólo de que sea suficiente para en él se pueda desarrollar la aritmética ordinaria, no podemos demostrar dentro de él que nunca van a surgir proposiciones contradictorias, es decir no podemos estar seguros de que en él no va a resultar que P es un teorema a la vez que también no-P es un teorema, lo cual naturalmente invalidaría totalmente el sistema, ya que cualquier afirmación y su negación serían igualmente demostrables.
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No habían pasado 6 años cuando en 1931 K. Gödel daba al traste de forma definitiva con el programa de Hilbert. Pese a todas las expectativas de los matemáticos del tiempo, Gödel demostró que la situación real era precisamente la contraria: En cualquier sistema matemático suficientemente potente para que en él se pueda desarrollar la aritmética de los números naturales existen proposiciones P con perfecto sentido dentro del sistema que son indecidibles, es decir P no se puede demostrar, pero tampoco no-P se puede demostrar.
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Este es el contenido del primer teorema de Gödel (1931) sobre la incompletitud de la aritmética, que probablemente pasará a la historia como uno de los resultados más importantes de pensamiento matemático, en una artículo titulado Über folmalunentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas relacionados).
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Poco después Gödel demostraría además, como resultado complementario, algo que hacía apreciar aún mejor la profundidad de su anterior teorema: Una de tales proposiciones indecidibles es precisamente la que afirma que en el sistema en cuestión no existen contradicciones.
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Es decir, construyamos el sistema matemático que construyamos, con tal tan sólo de que sea suficiente para en él se pueda desarrollar la aritmética ordinaria, no podemos demostrar dentro de él que nunca van a surgir proposiciones contradictorias, es decir no podemos estar seguros de que en él no va a resultar que P es un teorema a la vez que también no-P es un teorema, lo cual naturalmente invalidaría totalmente el sistema, ya que cualquier afirmación y su negación serían igualmente demostrables.
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Dejemos algunos textos de Wikipedia, que nos pueden ayudar a dar luces en esto:
Kurt Gödel ([kuɹtˈgøːdl]) (28 de abril, 1906 Brno (Brünn), Austria-Hungría (ahora República Checa) – 14 de enero, 1978 Princeton, New Jersey) fue un lógico, matemático y filósofo austriaco-estadounidense.
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Reconocido como uno de los más importantes lógicos de todos los tiempos, el trabajo de Gödel ha tenido un impacto inmenso en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX. Gödel, al igual que otros pensadores como Bertrand Russell, A. N. Whitehead y David Hilbert intentó emplear la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de la matemática. A Gödel se le conoce mejor por sus dos teoremas de la incompletitud, publicados en 1931 a los 25 años de edad, un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena.
Reconocido como uno de los más importantes lógicos de todos los tiempos, el trabajo de Gödel ha tenido un impacto inmenso en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX. Gödel, al igual que otros pensadores como Bertrand Russell, A. N. Whitehead y David Hilbert intentó emplear la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de la matemática. A Gödel se le conoce mejor por sus dos teoremas de la incompletitud, publicados en 1931 a los 25 años de edad, un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena.
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El más célebre de sus teoremas de la incompletitud establece que para todo sistema axiomático recursivo auto-consistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (la aritmética de Peano), existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden demostrarse a partir de los axiomas. Para demostrar este teorema desarrolló una técnica denominada ahora como numeración de Gödel, el cual codifica expresiones formales como números naturales.
El más célebre de sus teoremas de la incompletitud establece que para todo sistema axiomático recursivo auto-consistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (la aritmética de Peano), existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden demostrarse a partir de los axiomas. Para demostrar este teorema desarrolló una técnica denominada ahora como numeración de Gödel, el cual codifica expresiones formales como números naturales.
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También demostró que la hipótesis del continuo no puede refutarse desde los axiomas aceptados de la teoría de conjuntos, si dichos axiomas son consistentes. Realizó importantes contribuciones a la teoría de la demostración al esclarecer las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intuicionista y la lógica modal.
También demostró que la hipótesis del continuo no puede refutarse desde los axiomas aceptados de la teoría de conjuntos, si dichos axiomas son consistentes. Realizó importantes contribuciones a la teoría de la demostración al esclarecer las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intuicionista y la lógica modal.
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El triste final de Gödel:
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En sus últimos años Gödel sufrió de períodos de inestabilidad y enfermedad mental. Tenía temores obsesivos de ser envenenado, y no comía a menos que su esposa Adele probara la comida antes que él. A finales de 1977 Adele fue hospitalizada durante seis meses y no pudo continuar probando la comida de Gödel. En su ausencia se rehusó a comer, hasta el punto de dejarse morir de hambre. Al momento de su muerte pesaba 65 libras. El certificado de defunción en el Hospital de Princeton, el 14 de enero de 1978, reporta que murió de "desnutrición e inanición causadas por perturbaciones en la personalidad".
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