Euclides y el nombre de los Irracionales

Euclides llamó "inexpresables" a números como la diagonal de un cuadrado de lado "1". Usaba la palbra griega "alogos" que luego fue traducida en la edad media usando logos como "razón" .... sin razón, irracionales ....

Evolución de la palabra "Irracional"

La palabra "irracional", en matemáticas significa ahora que estos números no pueden expresarse como razones de números enteros, pero en tiempos de los pitagóricos quería decir inconmensurable, inescrutable o incognoscible.

(Morris kline, matemáticas para los estudiantes de humanidades)

Determinar si el siguiente número es irracional o no ....

Los Números Irracionales: son los que tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Para representar el valor numérico de uno de estos números es necesario aproximar ....

Veamos:

NO es un número IRRACIONAL ....

Y qué nos dice Wikipedia de los Irracionales: En matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción m/n, donde m y n son enteros, con n diferente de cero y donde esta fracción es irreducible.

¿ Qué es Racionalizar ?

RACIONALIZACION:

Es el proceso mediante el cual expresiones que tienen denominador irracional, transforman su denominador en racional.

Para ello lo que se hace es amplificar la fracción .... por "1". Un uno muy especial, que permite lograr quitar los irracionales del denominador.

Por ejemplo, amplificar:
Algunas de las principales reglas de la Racionalización .....

Aproximaciones, Estimaciones de Irracionales

Currículum chileno:
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad
CMO: 1. Números. a. Aproximación y estimación de números irracionales. distinción entre una aproximación y un número exacto.
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Hay números con infinitas cifras decimales. Cuando decimos que 11/3 =3,66 o que raiz de 3 = 1,7321, se está usando una aproximación decimal de dichos números.

Raíz de 2 se encuentra comprendido entre dos números decimales que se van acercando cada vez más a su valor exacto.

Si una aproximación es menor que el número exacto se llama aproximación por defecto. Si en cambio es mayor se llama aproximación por exceso.

El número de cifras decimales de la aproximación elegida determina su orden de aproximación. De esta forma si se usa pi como 3,1 diremos que se aproxima en las décimas.

Estimación (de raíz de 2) Usando una calculadora:

Construcción (Geométrica) de decimales no periódicos

Aprovechando el Teorema de Pitágoras, podemos representar geométricamente un irracional como raíz de 2:
Curriculum chileno:
NEM: Primero Medio
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.
CMO: 1. Números. a. Construcción de decimales no periódicos.

Con Euclides construir raiz de 2

Demostración Reducción al Absurdo (poco usado en los colegios)

Demostraremos que









NO es un número racional. Probar lo anterior, es probar que no existe una fracciñón irreductible a/b, con b distinto de cero, que sea igual a raiz de 2.


Una fracción es IRREDUCTIBLE, cuando no se la puede simplificar, es decir, encontrar un mismo divisor exacto tanto para numerador como denominador.

Supongamos precisamente lo contrario, supongamos que:
donde
Procedamos:

Hemos llegado a un ABSURDO pues supusimos que raiz de 2 se podía expresar como una fracción IRREDUCTIBLE y llegamos a que era reductible. Eso implica que la suposición que hicimos es falsa, por tanto raiz de 2 NO puede ponerse como un racional.

Este estilo de demostración se llama reducción al absurdo ....

(Pirateado del Libro Santillana, 1993. Primero Medio)