Estudiando un Cuadrilátero, dados sus vértices

NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Uso de un Programa Computacional de manipulación algebraica y gráfica.
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Este es un potente ejercicio pues se conjugan nociones de Geometría, Geometría Analítica y manejo de un programa gráfico.

Las coordenadas de los vétices de un cuadrilátero ABCD son:

A (-4,-5)
B (3,-2)
C (4,3)
D (-1,2)

a) ¿Qué propiedades tienen las diagonales?
b) ¿Qué propiedad tienen sus lados?
c) ¿Cómo se llama este cuadrilátero?
d) Calcular él área.

Usando Geogebra, trazamos un buen grafo del cuadrilátero a estudiar:

a) Llamamo P al punto de intersección de las dos diagonales.
La recta AC
(y+5)/(x+4)=(3+5)/(4+4); donde y=x-1, pendiente mAC=1
La recta BD
((y-2)/(x+1)=(-2-2)/(3+1); donde y=-x+1, pendiente mBD=-1
Ambas rectas, diagonales, son perpendiculares, pues mAC x MBD = -1
Resolviendo la intersección (que además se ve en el grafo), tras encontrar el punto solución del sistema:
(1) y=x-1
(2) y=-x+1
Se obriene el punto (1,0)
Además, las coordenadas del punto medio del trazo BD
x= 1/2(3-1)=1
y=1/2(-2+2)=0
Es decir, P dimidia el trazo BD.
Pero (1,0) no dimidia a AC, cuyo punto medio es
x=1/2(-4+4)=0
y=1/2(-5+3)=-1
Las diagonales son perpediculare y sólo una dimidia a la otra. ES UN DELTOIDE

b) Como AC es simetral, entonces
Trazo CD = Trazo CD
Trazo AD = Trazo AB

c) Deltoide, las anteriores propiedades sólo las cumple un deltoide.

d) El área es el Semiproducto de las diagonales: (AC x BD) / 2

o bien,

2xArea = Trazo AC x Trazo BD=
2xArea = Raiz ((4+4)^2 + (3+5)^2) x Raiz ((1+3)^2+(2+2)^2)
2xArea = Raiz (64+64) x Raiz(16+16)
2xArea = 8Raiz(2)x4Raiz(2)
2xArea = 32 x 2
Area = 32

Congruencia - Propiedades Triángulos, Cuadriláteros y Circunferencia

Curriculum chileno ....
NEM: Primero Medio
Eje Temático: III. Congruencia.
CMO: c. Demostración de propiedades de triángulos, cuadriláteros y circunferencia, relacionadas con congruencia.
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1) Triángulos:

Sea ABC un triángulo Isósceles, con trazo BC congruente con trazo AC. Sea M el punto medio del trazo diferente AB. Probar que Triángulo AMC es congruente con triángulo BMC:

2) Cuadriláteros: Demostrar que en un paralelógramo, los lados opuestos son CONGRUENTES:

3) CIRCUNFERENCIA: Demostrar que la recta que une los centros de dos circunferencias que se cortan (circunferencias secantes) es simetral de la cuerda común .... Demostración: Pensemos en los triángulos OPO' y OQO'. Son congruentes por los siguientes argumentos:

1) OP es congruente con OQ, ambos radios de la primera circunferencia (de la izquierda)
2) O'Q es congruente con O'P, ambos radios de la otra circunferencia (de la derecha)
3) OO', lado común en ambos triángulos ....

Luego, si los Triángulos OPO' y OQO' son congruentes, sus alturas correspondientes lo serán.

Q.E.D.

Clasificación de Triángulos y Cuadriláteros considerando sus Ejes y Centros de Simetría

Curriculum chileno
NEM: Primero Medio
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: 2. Transformaciones. c. Clasificación de Triángulos y Cuadriláteros considerando sus ejes y centros de Simetría.
+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o

Algunas definiciones previas .....

Cuadrilátero: es un polígono de cuatro lados.

Eje de Simetría: Un eje de simetría es una línea imaginaria que al dividir una forma cualquiera, lo hace en dos partes, cuyos puntos opuestos son equidistantes entre sí, es decir, quedan simétricos.

Centro de Simetría: Es un punto dentro de la figura que, al unirlo con cualquiera de la figura, repite al otro lado del centro y a la misma distancia, un punto similar.

Simetría Rotacional:Hay figuras que podemos hacre rotar alrededor de un punto -y en un determinado ángulo- sin que cambie su apariencia original. Cuando esto sucede decimos que esa figura tiene simetría rotacional de un determinado ángulo.

ELEMENTOS BÁSICOS:

1) Todo polígono regular tiene varios ejes de simetrías.

2) Los polígonos asimétricos no poseen ejes de simetría.

SIMETERÍAS EN LOS TRIÁNGULOS (Polígonos de 3 lados):

SIMETRÍAS EN CUADRILÁTEROS (Polígonos de 4 lados) :

OTRAS FIGURAS (Regulares): ¿Puedes dibujar los ejes de simetrías?

PSU - DEMRE - 2008 - Ejercicio 39

39. ¿Cuálesde los siguientes cuadriláteros tiene(n) siempre ejes de simetría?

I) Cuadrado.
II) Rombo.
III) Trapecio.

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II, III

Solución: Cuadrado y Rombro SIEMPRE tienen ejes de simetría. Un Trapecio sólo si es isósceles.

La alternativa correcta es C)


Siempre: