Decimos que los eventos B1, B2, B3, .... , Bk representan una partición del espacio muestral S si:
En otras palabras, cuando se efectúa el experimento "e" ocurre uno y sólo uno de los eventos Bi.
En el diagrama de Venn de la figura, se ilustra esto para k = 8. Por lo tanto podemos escribir:
Lo importante es que todos los eventos formados por cada una de las intersecciones, son parejas mutuamente excluyentes. Por lo tanto, podemos aplicar la propiedad aditiva para este tipo de eventos y escribir:
cada término de esta suma, se puede expresar usando la Probabilidad Condicional, obteniendo así de esta forma, el llamado Teorema de la Probabilidad Total:
 |
| Hacer UN Click en la imagen para agrandar |
Ejemplo: Cierto artículo es manufacturado en tres fábricas, digamos 1,2 y 3. Se sabe que la primera produce el doble de artículos que la segunda y que ésta y la tercera producen el mismo número de artículos (durante le periodo de producción dado). Se sabe también que el 2% de los artículos producidos por las primeras es defectuoso, mientras que el 4% de de los manufacturados por la tercera lo es. Todos los artículos defectuosos son puestos es una fila y se escoge uno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que este artículo sea defectuoso?
Definamos los eventos:
A = { el artículo es defectuoso }
B1 = { el articulo viene de la fábrica 1 }
B2 = { el articulo viene de la fábrica 2 }
B3 = { el articulo viene de la fábrica 3 }
P(B1) = 1/2
P(B2) = 1/4
P(B3) = 1/4
P(A/B1) = 0,02
P(A/B2) = 0,02
P(A/B3) = 0,04
Nos piden P(A)
P(A)= P(A/B1)P(B1) + P(A/B2)P(B2) + P(A/B3)P(B3)
P(A)= (0,02)(1/2) + (0,02)(1/4) + (0,04)(1/4) = 0,025
Veamos ahora el
Teorema de Bayes:
Usaremos el mismo ejemplo anterior para demostrar un resultado interesante. Supongamos que del depósito se escoge un artículo y se encuentra de que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se produjese en la primera de las fábricas?
Usando la notación de probabilidad condicionada tenemos, siendo B1, B2, B3, .... Bk una partición del espacio muestral S y A un evento asociado a S:
Este resulatdo es conocido como el teorema de Bayes o "Fórmula de la probabilidad de las causas".
Resolviendo para el caso del ejemplo anterior:
 |
| HACER un CLICK EN LA IMAGEN PARA AGRANDAR |
¿Se te ocurre algo o te aporta más incertidumbre?
Y en la gráfica, se cumple la fórmula que han dado ....
Y como son 1000 los socios, se puede completar:
Luego la probabilidad pedida es = 350/1000 = 7/20, Alternativa E)
.JPG)
