Problema MARAVILLOSO - Probabilidades Santillana 3ro. Medio

Tomado de Educación Matemática 3ro. Medio
Editorial Santillana
Página 220.
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Se tienen 3 bolsas, llamadas B1, B2 y B3. Cada una contiene n bolas numeradas por 1,2,3,4, ...., n.
Se extrae al azar una bola de cada bolsa; sean x, y, z los numeros de las bolas extraídas de B1, B2 y B3 respectivamente. Calcula la probabilidad de que x+y = z.

Respuesta:

La verdad es que este ejercicio me pareción desde un comienzo bien complicado. Incluso miré la respuesta y debo reconocer que desde ella construí mi propio camino de solución .... Veamos la respuesta:



¿Se te ocurre algo o te aporta más incertidumbre?

Pero a partir de ella, hice lo siguiente:

CASO Primero (n=3): Pensé en un primer caso, en que en cada una de las bolsas hubiese 3 bolas numeradas del 1 al 3, en este caso n=3.

POR EL PRINCIPIO MULTIPLICATIVO, LA TOTAL POSIBILIDAD DE COMBINACIONES ES 3X3X3 = 27 = 3 al cubo, porque de cada bolsa puedo sacar exactamente cada una de las tres bolas ....

En este caso, nos sirve que en la tercera bolsa se saque el 2 o el 3, porque si saliese el uno, no hay posibilidad de sumar 1 con dos bolas, una de cada unas d4e las dos primeras bolsas .... veamos gráficamente: Y en la gráfica, se cumple la fórmula que han dado ....

CASO Segundo (n=4): Luego pensé en el caso de que cada una de las bolsas tubiese cuatro bolas numeradas del 1 al 4. n=4.

En este caso, las posibilidades totales son 4x4x4 (acorde al principio multiplicativo) pues de cada bolsa se pueden sacar 4 bolas. Veamos gráficamente:

CASO Tercero (n=5): Finalmente pensé en que cada una de las bolsas tubiese 5 bolas numeradas del 1 al 5. n=5


De forma similar:

Suman 5: (1+4) (2+3) (3+2) (4+1) : 4 casos favorables ...
Suman 4: (1+3) (2+2) (3+1) : 3 casos favorables ...
Suman 3: (1+2) (2+1) : 2 casos favorables ...
Suman 2: (1+1) : 1 caso favorable ...

(Recordamos que no nos sirve decir: que sumen 1 .... porque dos bolas, con número mínimo uno, NO pueden sumar 1)


Hay, para n=5, (4+3+2+1) casos favorables ....


Extrapolando para n, hay (n-1)+ (n-2)+ ...... 5+ 4+ 3+ 2+ 1 casos favorables, para n x n x n casos totales ....


Luego, la probabilidad pedida para n bolas en casa saco es:

Para ello debemos recordar previamente que al sumas de 1 a n,
1+2+3+4+5+6+.....+(n-1) + n = {n x (n+1)}/2
Por tanto al sumae sólo hasta (n -1):
1+2+3+4+5+6+....+(n -1) = {(n -1) x n }/2, entonces:


Felicitaciones !