DAVID HILBERT: es un nombre mítico en la historia de la matemática. Y no sólo de la matemática: la física cuántica, la ciencia que transformó el mundo durante el siglo XX, se encuentra íntimamente ligada a unas estructuras matemáticas que llevan su nombre: “espacios de Hilbert”. A su genialidad creativa como científico, Hilbert unió una incomparable perspicacia en su visión de conjunto de la matemática, en cuales eran los problemas realmente importantes a resolver.
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Tal perspicacia se concretó especialmente en una ocasión única, que ha pasado a la historia: la conferencia que pronunció el 8 de agosto de 1900 durante el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París. Fue aquel día cuando presentó sus célebres 23 problemas, las cuestiones más básicas y profundas que los matemáticos debían resolver en el futuro. Les desafió a que lo hicieran. Más de cien años después, algunos de esos problemas han sido, efectivamente, resueltos (como el conocido “Último teorema de Fermat”), pero otros (como la “Hipótesis de Riemann”) aún esperan su juez definitivo.
Nota Blogger:
Los 23(24) problemas de Hilbert están muy bien descrito junto a su grado de avance en WIKIPEDIA:
http://es.wikipedia.org/wiki/Problemas_de_Hilbert#Resumen
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lunes, 20 de abril de 2009
domingo, 19 de abril de 2009
En torno a lo que son las matemáticas ...
A continuacion un buen intento de traduccion del discurso de Hilbert de 1930 en Königsberg, el audio lo pueden escuchar aqui.. El original en aleman raya en poesia.
David Hilbert: Naturerkennen und Logik
Königsberg 1930
El instrumento que media entre la teoría y la practica, entre el pensamiento y la observacion, son las Matematicas: ellas construyen el puente de enlace, lo reestructuran y lo fortalecen. Es por esto que la totalidad de nuestra Cultura actual, al menos en lo que se refiere a la comprension de las leyes fundamentales de la Naturaleza y el dominio de esta para nuestros fines, encuentra sus bases en las Matematicas. Ya lo habia dicho GALILEO hace mucho tiempo: La Naturaleza no se puede entender sin antes comprender el lenguaje y descifrar los caracteres en los que se nos revela. Este lenguaje no es sino el de las Matematicas, y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas. KANT alguna vez declaro: “Yo mantengo que en cada ciencia natural, hay tanta ciencia verdadera como alli se pueda encontrar matematicas”.
De hecho, no dominamos una teoria cientifica sino hasta que hayamos extraido y completamente develado su nucleo matematico. Sin las Matematicas, la Astronomia y la Fisica actual serian imposibles. Aquellas ciencias son en su parte teorica indistinguibles de las Matematicas. Estas y muchas otras aplicaciones son las que justifican el respeto y la autoridad que le otorga a las Matematicas el publico general.
Aun asi, que la importancia de las Matematicas este dada por sus aplicaciones practicas es rechazado por todo matematico. GAUSS habla del atractivo magico de la Teoria de numeros que hizo de esta la favorita de los primeros matematicos, sin olvidar su inagotable riqueza que supera con creces cualquier otra rama de las Matematicas. KRONECKER compara estos teoricos de numeros con los Lotófagos, que una vez probado el manjar, jamas pueden volver a dejarlo. El gran matematico POINCARÉ le responde con gran agudez a TOLSTOI, quien se habia referido al llamado de avanzar “la ciencia por ninguna otra razon que la ciencia misma” como insensato. Los logros de la industria, por ejemplo, no hubieran visto jamas la luz, si solo los “practicos” hubieran existido. El unico proposito de toda la Ciencia, ya lo dijo el famoso matematico de Königsberg JACOBI, es la gloria del espiritu humano.
No podemos creer en aquellos, que hoy con poses de filosofo y en tono prepotente profetizan la decadencia de la Cultura y se complacen en el Ignorabimus. Para nosotros no existe ningun Ignorabimus, y en cualquier caso para las Ciencias Naturales tampoco, en mi opinion. En vez del necio e insensato Ignorabimus, nosotros respondemos, al contrario, con nuestra solucion:
TENEMOS QUE SABER
VAMOS A SABER.
(Tomado de: http://invariante.wordpress.com/2009/04/18/david-hilbert-sobre-la-importancia-de-las-matematicas/)
David Hilbert: Naturerkennen und Logik
Königsberg 1930
El instrumento que media entre la teoría y la practica, entre el pensamiento y la observacion, son las Matematicas: ellas construyen el puente de enlace, lo reestructuran y lo fortalecen. Es por esto que la totalidad de nuestra Cultura actual, al menos en lo que se refiere a la comprension de las leyes fundamentales de la Naturaleza y el dominio de esta para nuestros fines, encuentra sus bases en las Matematicas. Ya lo habia dicho GALILEO hace mucho tiempo: La Naturaleza no se puede entender sin antes comprender el lenguaje y descifrar los caracteres en los que se nos revela. Este lenguaje no es sino el de las Matematicas, y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas. KANT alguna vez declaro: “Yo mantengo que en cada ciencia natural, hay tanta ciencia verdadera como alli se pueda encontrar matematicas”.
De hecho, no dominamos una teoria cientifica sino hasta que hayamos extraido y completamente develado su nucleo matematico. Sin las Matematicas, la Astronomia y la Fisica actual serian imposibles. Aquellas ciencias son en su parte teorica indistinguibles de las Matematicas. Estas y muchas otras aplicaciones son las que justifican el respeto y la autoridad que le otorga a las Matematicas el publico general.
Aun asi, que la importancia de las Matematicas este dada por sus aplicaciones practicas es rechazado por todo matematico. GAUSS habla del atractivo magico de la Teoria de numeros que hizo de esta la favorita de los primeros matematicos, sin olvidar su inagotable riqueza que supera con creces cualquier otra rama de las Matematicas. KRONECKER compara estos teoricos de numeros con los Lotófagos, que una vez probado el manjar, jamas pueden volver a dejarlo. El gran matematico POINCARÉ le responde con gran agudez a TOLSTOI, quien se habia referido al llamado de avanzar “la ciencia por ninguna otra razon que la ciencia misma” como insensato. Los logros de la industria, por ejemplo, no hubieran visto jamas la luz, si solo los “practicos” hubieran existido. El unico proposito de toda la Ciencia, ya lo dijo el famoso matematico de Königsberg JACOBI, es la gloria del espiritu humano.
No podemos creer en aquellos, que hoy con poses de filosofo y en tono prepotente profetizan la decadencia de la Cultura y se complacen en el Ignorabimus. Para nosotros no existe ningun Ignorabimus, y en cualquier caso para las Ciencias Naturales tampoco, en mi opinion. En vez del necio e insensato Ignorabimus, nosotros respondemos, al contrario, con nuestra solucion:
TENEMOS QUE SABER
VAMOS A SABER.
(Tomado de: http://invariante.wordpress.com/2009/04/18/david-hilbert-sobre-la-importancia-de-las-matematicas/)
domingo, 27 de abril de 2008
Totalización Matemática I: El Programa de Hilbert.
El gran matemático David Hilbert, tras 30 años de logros creativos en la frontera de las matemáticas, penetró en lo que para muchos fue el callejón sin salida del reductivismo: En los últimos años se dedicó a crear un programa de formalización que apuntaba a reducir todas las matemáticas a una colección de proposiciones formales, usando un alfabeto finito de símbolos, axiomas y reglas de inferencia.
Entonces Hilbert propuso resolver los problemas matemáticos encontrando un proceso de decisión general que determinara, dada cualquier proposición formal compuesta de símbolos matemáticos, si era verdadero o falsa. Lllamó a este problema ENTSCHEIDUNGSproblem. Este mecanismo, soñaba Hilbert podría resolver todos los problemas matemáticos famosos no resueltos ..... Para ello, el protocolo que generaría, debería operar sobre símbolos de una manera totalmente mecánica, sin que fuese necesario incluso conocer los significados.
Para ello quiso revisaar todos los conocimientos matemáticos y aceptar de ellos las premisas básicas que le ayudaran a construir este entramado gigantesco ..... A pesar de los esfuerzos de Hilbert y sus discípulos, el ENTSCHEIDUNGSproblem jamás se resolvió.
En Wikipedia:
David Hilbert (23 de enero de 1862, Königsberg, Prusia Oriental – 14 de febrero de 1943, Göttingen, Alemania) fue un matemático alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX. Estableció su reputación como gran matemático y científico inventando o desarrollando un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes significativas de la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la distinción entre matemática y metamatemática. Adoptó y defendió vivamente la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en la matemática es su presentación en 1900 de un conjunto de problemas que establecieron el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX. Algunos historiadores siempre han creído que David Hilbert descubrió las ecuaciones correctas para la relatividad general antes que Einstein. Sin embargo esto nunca ha sido probado.
Totalización Matemática II: Chaitin nos habla en torno al Programa de Hilbert
Extracto NO editado de Aleatoriedad en Aritmética y la declinación y caída del reduccionismo en matemáticas puras, por Gregory J. Chaitin
La idea de Hilbert es la culminación de dos mil años de tradición matemática, empezando con el tratamiento axiomático de la geometría de Euclides, el sueño de una lógica simbólica de Leibnitz y la monumental obra Principia Mathematica de Russell y Whitehead. El sueño de Hilbert era clarificar de una vez por todas los métodos de razonamiento matemático. Quería formular un sistema axiomático formal que abarcara todas las matemáticas.
Hilbert destacó una cantidad de propiedades clave que son necesarias para este sistema axiomático formal. Es como un lenguaje de programación computacional. Es una afirmación precisa sobre los métodos de razonamiento, los postulados y los métodos de inferencia que nosotros aceptamos como matemáticos. Hilbert estipuló, además, que el sistema axiomático formal que abarcara todas las matemáticas que quería construir, debería ser "consistente" y "completo".
"Consistente" significa que usted no podría probar una afirmación y su contradictoria. No podría probar A y no A. Sería muy desconcertante. "Completo" significa que si usted hace una afirmación con sentido, podría establecerla de una u otra manera. Eso significa que A o no A serían un teorema, comprobable desde los axiomas y empleando las reglas de inferencia en el sistema axiomático formal.
Considere usted una afirmación significativa A y su contradictoria no A. Exactamente una de las dos debería ser probada si el sistema axiomático formal es consistente y completo.
Un sistema axiomático formal es como un lenguaje de programación. Hay un alfabeto y reglas gramaticales; en otras palabras, una sintaxis formal. Es un tema con el que ahora estamos familiarizados. Reflexione usted sobre los tres enormes volúmenes llenos de símbolos de Russell y Whitehead, y sentirá que está ante un enorme programa computacional en un lenguaje de programación incomprensible.
Ahora hay un hecho muy sorprendente. "Consistente y Completo" significa sólo la verdad y toda la verdad. Parecen ser requisitos razonables. Sin embargo, hay una consecuencia graciosa relacionada con lo que llamamos el problema de la decisión. En alemán es llamado Entscheidungsproblem. Hilbert atribuyó gran importancia a este problema.
Al resolver el problema de la decisión para un sistema axiomático formal, usted tendrá un algoritmo que le permitirá decidir si una afirmación significativa dada es o no un teorema. Una solución al problema de la decisión es el llamado procedimiento de decisión.
Esto suena mal. El sistema formal axiomático que Hilbert quería construir habría incluido todas las matemáticas: aritmética elemental, cálculo, álgebra, todo. Si existe un procedimiento de decisión las matemáticas quedan obsoletas. Este algoritmo, este procedimiento mecánico, puede comprobar si algo es teorema o no; puede comprobar si es verdadero o no. Así, requerir que exista este procedimiento de decisión para este sistema axiomático formal suena como si estuviéramos pidiendo demasiado.
Sin embargo, es muy fácil darse cuenta de que si es consistente y completo debe haber un proceso de decisión. Es así como se hace. Se tiene un lenguaje formal con un alfabeto finito y una gramática. Y Hilbert recalcó que lo más importante en el sistema axiomático formal es que exista un procedimiento mecánico para comprobar si una demostración significativa es o no correcta, si obedece o no las reglas. Es la noción de que la verdad matemática debería ser objetiva, de modo que todos podamos saber si una prueba sigue o no las reglas.
Así, si éste es el caso, hay que recorrer todas las demostraciones en orden de tamaño, y mirar toda la secuencia de símbolos del alfabeto del largo de un, dos, tres, cuatro, mil, mil una... cien mil caracteres de largo. Usted aplica el procedimiento mecánico, que es la esencia del sistema axiomático formal, para comprobar la validez de cada prueba. Naturalmente la mayor parte del tiempo serán disparates, serán agramaticales. Pero eventualmente usted encontrará toda demostración posible, pero sólo en principio, por supuesto. El número crece en forma exponencial y eso es algo que usted no podría hacerlo en la práctica. Nunca llegaría a demostraciones de una página de largo.
En principio puede recorrer todas las demostraciones posibles, comprobar cuáles son válidas, ver qué demuestran y de ese modo puede encontrar sistemáticamente todos los teoremas. En otras palabras, hay un algoritmo, un procedimiento mecánico para generar uno por uno cada teorema que pueda demostrarse en un sistema axiomático formal. Entonces, si para cada afirmación significativa en el sistema, o la afirmación es un teorema o lo es su contradictoria, sólo una de ellas, usted llega a un procedimiento de decisión. Para saber si una afirmación es teorema o no, sólo debe recorrer todas las demostraciones hasta encontrar si la afirmación proviene de un teorema, o prueba la afirmación contradictoria.
Parece que Hilbert realmente creyó que iba a resolver de una vez y para siempre todos los problemas matemáticos. Suena increíble pero aparentemente fue así. Creyó ser capaz de encontrar un sistema formal axiomático completo para todas las matemáticas, y desde ahí obtener un proceso de decisión para todas ellas. Esto sólo sigue la tradición formal y axiomática de las matemáticas.
Estoy seguro que no creyó que éste sería un procedimiento de decisión práctico. El que yo he esbozado funcionaría sólo en principio. Es exponencialmente lento: ¡terriblemente lento! Totalmente impracticable. Pero la idea era que, si todos los matemáticos pudieran estar de acuerdo en que una demostración es correcta, consistente y completa, ello podría entregar en principio un procedimiento de decisión para resolver automáticamente cualquier problema matemático.
¡Por supuesto el único problema con este inspirado proyecto es que resultó ser imposible!
Hilbert destacó una cantidad de propiedades clave que son necesarias para este sistema axiomático formal. Es como un lenguaje de programación computacional. Es una afirmación precisa sobre los métodos de razonamiento, los postulados y los métodos de inferencia que nosotros aceptamos como matemáticos. Hilbert estipuló, además, que el sistema axiomático formal que abarcara todas las matemáticas que quería construir, debería ser "consistente" y "completo".
"Consistente" significa que usted no podría probar una afirmación y su contradictoria. No podría probar A y no A. Sería muy desconcertante. "Completo" significa que si usted hace una afirmación con sentido, podría establecerla de una u otra manera. Eso significa que A o no A serían un teorema, comprobable desde los axiomas y empleando las reglas de inferencia en el sistema axiomático formal.
Considere usted una afirmación significativa A y su contradictoria no A. Exactamente una de las dos debería ser probada si el sistema axiomático formal es consistente y completo.
Un sistema axiomático formal es como un lenguaje de programación. Hay un alfabeto y reglas gramaticales; en otras palabras, una sintaxis formal. Es un tema con el que ahora estamos familiarizados. Reflexione usted sobre los tres enormes volúmenes llenos de símbolos de Russell y Whitehead, y sentirá que está ante un enorme programa computacional en un lenguaje de programación incomprensible.
Ahora hay un hecho muy sorprendente. "Consistente y Completo" significa sólo la verdad y toda la verdad. Parecen ser requisitos razonables. Sin embargo, hay una consecuencia graciosa relacionada con lo que llamamos el problema de la decisión. En alemán es llamado Entscheidungsproblem. Hilbert atribuyó gran importancia a este problema.
Al resolver el problema de la decisión para un sistema axiomático formal, usted tendrá un algoritmo que le permitirá decidir si una afirmación significativa dada es o no un teorema. Una solución al problema de la decisión es el llamado procedimiento de decisión.
Esto suena mal. El sistema formal axiomático que Hilbert quería construir habría incluido todas las matemáticas: aritmética elemental, cálculo, álgebra, todo. Si existe un procedimiento de decisión las matemáticas quedan obsoletas. Este algoritmo, este procedimiento mecánico, puede comprobar si algo es teorema o no; puede comprobar si es verdadero o no. Así, requerir que exista este procedimiento de decisión para este sistema axiomático formal suena como si estuviéramos pidiendo demasiado.
Sin embargo, es muy fácil darse cuenta de que si es consistente y completo debe haber un proceso de decisión. Es así como se hace. Se tiene un lenguaje formal con un alfabeto finito y una gramática. Y Hilbert recalcó que lo más importante en el sistema axiomático formal es que exista un procedimiento mecánico para comprobar si una demostración significativa es o no correcta, si obedece o no las reglas. Es la noción de que la verdad matemática debería ser objetiva, de modo que todos podamos saber si una prueba sigue o no las reglas.
Así, si éste es el caso, hay que recorrer todas las demostraciones en orden de tamaño, y mirar toda la secuencia de símbolos del alfabeto del largo de un, dos, tres, cuatro, mil, mil una... cien mil caracteres de largo. Usted aplica el procedimiento mecánico, que es la esencia del sistema axiomático formal, para comprobar la validez de cada prueba. Naturalmente la mayor parte del tiempo serán disparates, serán agramaticales. Pero eventualmente usted encontrará toda demostración posible, pero sólo en principio, por supuesto. El número crece en forma exponencial y eso es algo que usted no podría hacerlo en la práctica. Nunca llegaría a demostraciones de una página de largo.
En principio puede recorrer todas las demostraciones posibles, comprobar cuáles son válidas, ver qué demuestran y de ese modo puede encontrar sistemáticamente todos los teoremas. En otras palabras, hay un algoritmo, un procedimiento mecánico para generar uno por uno cada teorema que pueda demostrarse en un sistema axiomático formal. Entonces, si para cada afirmación significativa en el sistema, o la afirmación es un teorema o lo es su contradictoria, sólo una de ellas, usted llega a un procedimiento de decisión. Para saber si una afirmación es teorema o no, sólo debe recorrer todas las demostraciones hasta encontrar si la afirmación proviene de un teorema, o prueba la afirmación contradictoria.
Parece que Hilbert realmente creyó que iba a resolver de una vez y para siempre todos los problemas matemáticos. Suena increíble pero aparentemente fue así. Creyó ser capaz de encontrar un sistema formal axiomático completo para todas las matemáticas, y desde ahí obtener un proceso de decisión para todas ellas. Esto sólo sigue la tradición formal y axiomática de las matemáticas.
Estoy seguro que no creyó que éste sería un procedimiento de decisión práctico. El que yo he esbozado funcionaría sólo en principio. Es exponencialmente lento: ¡terriblemente lento! Totalmente impracticable. Pero la idea era que, si todos los matemáticos pudieran estar de acuerdo en que una demostración es correcta, consistente y completa, ello podría entregar en principio un procedimiento de decisión para resolver automáticamente cualquier problema matemático.
¡Por supuesto el único problema con este inspirado proyecto es que resultó ser imposible!
Nota del Blogger: Quien demostró que el programa de Hilbert es imposible fue finalmente Kurt Godel, del cual hay varios posteos en este BLOG.
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