Demostrar (por recursividad)

Demostrar que:

es divisible por 2.

Respuesta: Mirar el siguiente link, en donde hay una hoja a bajar con la demostración por INDUCCION COMPLETA.

Link: Demostración x Inducción

¿Qué es una demostración Matemática?

Demostración matemática
De Wikipedia, la enciclopedia libre

Una deducción o demostración matemática es una sucesión coherente de pasos que, tomando como verdadero un conjunto de premisas llamado hipótesis, permite asegurar la veracidad de una tesis. Estos pasos deben estar fundamentados en la aplicación de reglas de deducción (fundadas ya sea en axiomas o en teoremas anteriormente demostrados o en reglas básicas de deducción del sistema en cuestión).

El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad; sólo la demostración de la negación de este resultado implica que es falso.

Aunque en general no existe un procedimiento único de demostración de teoremas, sí existen diferentes tipos de demostraciones que son utilizados comúnmente en matemáticas:

Demostración por contraposición
Demostración por reducción al absurdo, y como caso particular, descenso infinito
Inducción matemática
Inducción fuerte

Por otra parte, a pesar del alto grado de intervención humana necesario para hacer una demostración, también existen técnicas computacionales que permiten hacer demostraciones automáticas, notablemente en el campo de la geometría euclideana.

(Nota, en este Blog se han tratado ya la reducción al absurdo y la demostración por reducción al absurdo)

Curiosidades Matemáticas y fórmula mayor ..... (Èpsilones)

Fíjense que: Se trata de un caso particular de la estupenda fórmula que se ve a la izquierda, y que expresada mediante sumatorios es:
Se demuestra fácilmente por inducción (BUSCAR en este BLOG) y se debe a Nicomaco, que la dedujo de la fórmula de Pitágoras acerca de la suma de los n primeros impares y de la siguiente observación:

Ojo, aquí va la fórmula de la suma de los impares:

Que se puede apreciar muy facilmente en la siguiente figura:

Inducción Matemática (Demostraciones por Inducción)

(TEXTO: Extracto editado del libro de Polya: "Cómo plantear y cómo resolver un problema")

La inducción es un modo de razonar que conduce al descubrimiento de leyes generales a partir de la observación de ejemplos particualres y de sus combinaciones. Se emplea en todas las aciencias, aún en las matemáticas, donde se focaliza a la demostración de ciertos tipos de teoremas.

realicemos primero una:

INDUCCION SIMPLE

(no como protocolo de demostración)

Casualmente podemos observar que:

1 + 8 + 27 + 64 = 100

Y, constatando que dichos numeros son cubos y su suma un cuadrado, podemos presentar esta observación bajo la forma siguiente:


¿Sucederá siempre que la suma de cubos de números consecutivos sea siempre un cuadrado?

Un científico partiría por tratar de comprobar otros casos, encontrando:

El hecho de que estas diversas sumas de cubos consecutivos sean cuadrados dificilmente puede atribuirse al azar .... Así en primera instancia podríamos decir -por inducción simple: "la suma de los primeros n cubos es un cuadrado .....

Luego la fórmula, la podemos expresar de manera más aprecisa ahora, nuevamente induciendo ....
Pero esta expresión aún es posible simplificarse, porque la suma de la derecha posee una fórmula. Efectivamente es posible disponer una fórmula para:

1+2+3+4+5+6+ .......... + (n-2) + (n-1) + n

Esta fórmula es:

Esta fórmula es fácilmente demostrable y se basa en el mismo tipo de argumentos antes visto en la "Suma de Gauss". Pensemos en la suma que queremos lograr, llamémosla "S":

Escribámosla al revés:

Y luego procedamos a sumar ambas sumas S:

Entonces, tras nuestra inducción intuitiva, la gran fórmula que hemos construido es:

Hsata aquí hemos estado pirateando a POLYA !!!!!

Esta es la fórmula que ahora procederemos a DEMOSTRAR por INDUCCION COMPLETA, un protocolo matemático establecido. Nótese que comstruimos la fórmula inductivamente, pero no bajo el protocolo que es conocido como Inducción Matemática y que ahora revisaremos:

INDUCCION COMPLETA

(Como protocolo de demostración)

La Inducción Completa posee un protocolo que resumimos a contiuación:

1) Se verifica si la fórnula se cumple para algunos casos sencillos, los más fáciles, los iniciales.

2) Se supone que se cumple para n.

3) A partir de la aceptación de cumplirse para n, se comprueba que parmanece cierta para el siguiente entero (n+1).

Demostremos entonces el teorema-fórmula anterior:

Hay que demostrar que, para n natural:

Procedamos paso a paso los tres elementos del protocolo anteriomente descrito:

1) Se verifica si la fórnula se cumple para algunos casos sencillos, los más fáciles, los iniciales.

para n = 1

Se cumple la fórmula !

para n= 2

Se cumple la fórmula !

2) Se supone que se cumple para n.

Aceptamos entonces que se cumple para n:

3) A partir de la aceptación de cumplirse para n, se comprueba que parmanece cierta para el siguiente entero (n+1).

Sumemos (n+1) al cubo a la fórmula anterior:

Fíjense que la fórmula es como si en n hubiésemos reemplazado (n+1) .....

Se CUMPLE para (n+1) !!!!! q.e.d.

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Que dice la Enciclopedia Encarta de lo que es la inducción?

Inducción matemática, axioma y a veces método de demostración usando el axioma de inducción. La inducción matemática no debe confundirse con la inducción en otros campos, en donde se define como la técnica de extracción de conclusiones generales a partir de un gran número de casos o experimentos individuales. En matemáticas, esta conclusión, aunque pueda parecer completamente razonable, puede ser falsa. Sin embargo, la inducción matemática se usa a menudo para verificar, o probar, una conjetura obtenida mediante inducción no matemática. Hablando con precisión, el axioma de inducción dice: si M es un conjunto de enteros positivos, con las siguientes propiedades
IA. M contiene al entero 1, y,
IIA. si M contiene al entero n, se puede demostrar que M contiene además al entero n + 1,
entonces M contiene a todos los enteros positivos.
La primera parte del axioma de inducción, IA, suele llamarse base, y la segunda parte, IIA, parte inductiva. El axioma de inducción es útil para demostrar ciertas expresiones matemáticas. Suponiendo que la proposición P(n) es verdadera o falsa dependiendo sólo del valor de la n, el axioma de inducción se puede utilizar para demostrar que si
IB. P(1) es verdadera, y
IIB. el saber que P(n) es verdadera, implica que P(n+1) es también verdadera,
entonces P(n) se cumple para cualquier n.
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