Qué nos enseña el Discriminante en la Función Cuadrática?

Ejemplo:

En la siguiente Ecuación de Segundo grado el discriminante es negativo y efectivamente las raíces son complejas conjugadas ,,,,, veamos:

PSU - DEMRE 2009 - 32

Respuesta:

La alternativa correcta es la D)

Ejemplo de la vida real - Maximización del INGRESO

Ace Cruise Lines ofrece un crucero en una vía fluvial tierra adentro a un grupo de 50 personas con un precio de $ 30 por persona, pero reduce el precio por persona por cada viajero adicional por encima de los 50.

1)
¿Reducir el precio por persona para tener tener más gente en el grupo da un mayor ingreso a la línea de criceros?, ¿Siempre?
2)
¿Cuántas personas darán el ingreso mañximo para la línea de cruceros?

Solución:

1)
El ingreso de la compañía, si el grupo es de 50 personas y cada una pega $30 es: 50 x 30 = $ 1.500. La siguiente tabla muestra el ingreso variando con el aumento de las personas:

2) Miremos la tabla, se puede ver que cuando las personas que exceden son 20, los igresos alcanzan a 1400, menos que cuando se aumentan sólo dos personas ....

Esto nos lleva a buscar el maximo y ello es plausible porque la función cuadrática en cuestión nos habla de una parábola con sus ramas hacia abajo, dado a que el coeficiente "a" de la parábola es negativo:

Esto significa que el máximo beneficio es de $ 1512,50 cuando hay (50+5) = 55 personas. cada una paga = 30-0,5(5) = 27,50 dólares.

Veamos esto en una gráfica:

Maximizando capacidades

NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
Aprendizaje Esperado: Utilizan un gráfico de la función cuadrática para resolver problemas que involucran máximos y mínimos de la función.
Fuente: Programa de Estudio. Tercero Medio. MINEDUC.
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Para la fabricación de canaletas para las aguas lluvia se dispone de láminas de 30 cm de ancho. ¿Cuál es la medida para hacer los dobleces de modo que se obtenga una canaleta de máxima capacidad?


Pensemos en una unidad de volumen como la siguiente, eligiendo como "x" la medida de los dobleces:

La idea es maximizar este volumen, es decir, maximizar: V= x(30-2x)1

Pero como el fondo elegido es unitario, el probelma equivale a maximizar el área o la sección que llevará caudal.

Debemos maximizar entonces A(x) = x(30-2x)

Veamos la gráfica:

Así, se ve a simple ojho, que la función alcanza un máximo en x=7,5 cm.

Eso se puede comprovar en la expresión analítica de las coordenadas del vértice de una parábola:

Acá f(x) es : x(30-2x) ..... donde "a" es el valor que acompaña a la x al cuadrado, b es el valor que acompaña a x.

a= -2 ; b= 30

-b/(2a) = - 30/(2 x (-2)) = -30/-4 = 7,5

Lo que intuíamos del grafo.

Desafío PSU - La nación

¿En cuál de las anteriores opciones se representan las gráficas de: ...... ?

Solución:

f(x) es la curva simétrica respecto del eje Y, que tiene su vértice en (0,0). Sus ramas se abren hacia arriba, pues a=1, es positivo.

La otra es una parábola con las ramas hacia abajo porque a=-1, en g(x).

Hay una parábola abierta acia arriba y otra hacia abajo. Todo lo anterior descarta C) , D) y E).

en g(x) transformamos factorando:

g(x) = 4x(3-x) = 0, donde las raíces son 0 y 3; luego, A) es la correcta !

Desafío PSU - La Nación

¿Cuál de las siguientes funciones tiene como gráfica la anterior?

Solución: El Y intercepto, según la figura es -4, eso nos deja habilitadas sólo las alternativas B) y E). Pero además, (2,0) es solución, debe cumplir la ecuación y sólo B) la cumple, porque y=f(x) ofrecido en E), nosa da y= -16, cuando x=2. Por lo tanto la alternativa correcta es B)

Desafío PSU - La Nación

La gráfica de la figura, corresponde a la función cuadrática:
Entonces, los valores de a, h y k son, respectivamente:

A) 1; -8; 15
B) 1; 8; 15
C) 1; 4; -1
D) -1; 4; -1
E) -1; -4; -1

Respuesta: C), en estos días el desarrollo ....

La alternativa correcta no es la A), no es la B), no es la D), tampoco la E)

Función Cuadrática - Torpedo Final

NM3 : Enseñanza Media, tercero Medio:

CMO : I Algebra y Funciones. 2. a. Función Cuadrática.

Función Cuadrática - Séptimo Posteo - Materia: Intersección con el eje X, casos.

Especificación CURRICULAR:
NM3 : Enseñanza Media, tercero Medio:
CMO : I Algebra y Funciones. 2. a. Función Cuadrática. Discusión de los casos de intersección de la parábola con el eje X (abcisas).

Función Cuadrática COMPLETA: Sexto Posteo

Especificación CURRICULAR:

NM3 : Enseñanza Media, tercero Medio:
CMO : I Algebra y Funciones. 2. a. Función Cuadrática.


En este posteo estudiaremos la función:

con a, b, c distintos de cero. Resolución de segundo grado por completación de cuadrados y su aplicación en la resolución de problemas.

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Grafiquemos un ejemplo:

Tabla de Valores:
Y ahora, usando GRAPHMATICA, grafiquemos:

Esta gráfica nos da una elegante parábola, con sus ramas que se van abriendo hacia el infinito. Pero OJO que hay dos puntos en donde corta el eje de las X. En la gráfica se puede ver que son los pares de puntos (2,0) y (5,0). A estos puntos se les llama Ceros de la Función, porque en cuando la variable dependiente de hace cero, es decir: y= f(x) =0.

Vamos a revisar esto teóricamente y con el ejemplo anterior. Esto se hace completando el cuadrado de binomio. Partamos con el ejemplo:

Hemos encontrado los dos valores para los cuales Y=0, y son junto x=5, x=2, que era lo que observábamos en la gráfica.

Generalicemos lo anterior y encontraremos una fórmula, para x1 y x2 en función de los coeficientes a, b, c. Veamos:

Veamos un caso concreto (Tomado del libro Santillana):

Problema (página 51, tercero medio)Encuentra la base b y la altura h de un triángulo de área 2 metros cuadrados si su base es 3 metros más larga que su altura.

Y resolvamos esta ecuación por completación de cuadrados:

Obviamente, de las dos soluciones, nos sirve h2=1 metro, porque no pueden haber distancias negativas.

Función Cuadrática: Quinto Posteo - Desplazamiento Horizontal

NM3 : Enseñanza Media, tercero Medio:
CMO : I Algebra y Funciones. 2. a. Función Cuadrática.

En este caso vamos a estudiar la gráfica de la función (con k>0):

En este caso y tal como se ve del desarrollo anterior, a, b, c son distintos de cero. a=1; b=+-2k ; c=k al cuadrado.

Esta es la Tabla de valores:

Esta es la gráfica:

Cuando la función es:

Función Cuadrática: Cuarto Posteo - Desplazamiento Vertical

NM3 : Enseñanza Media, tercero Medio:
CMO : I Algebra y Funciones. 2. a. Función Cuadrática.

Vamos ahora a graficar para los parámetros:

a=1

b=0

c=distintos de cero. Es decir, la siguiente alternativa:

Demos un caso particular, comparamos en gráfica:

Veamos las Tablas de Valores:

Construyamos -con Graphmática- sus gráficas:

Función Cuadrática: Tercer Posteo

NM3 : Enseñanza Media, tercero Medio:
CMO : I Algebra y Funciones. 2. a. Función Cuadrática.

Ahora vamos a hacer una comparación: vamos a seguir con b=0, c=0 ; pero vamos a hacer que a tome tres valores distintos: a=0,5 ; a= 1 ; a= 3


veamos la Tabla de Valores:



veamos la Gráfica:
A mayores valores de a, la curva se contrae (se acerca más al eje Y), a menores valores de a, la curva se dilata (se aleja del eje Y) !!!!

Función Cuadrática: Segundo Posteo

NM3 : Enseñanza Media, tercero Medio:
CMO : I Algebra y Funciones. 2. a. Función Cuadrática.


Y que pasa si el coeficiente a, de una función cuadrática es negativo. Veamos el caso más simple, cuando a=-1; b=0, c=0: es decir, vamos a graficar:

Como el signo menos antecede al cuadtrado, todos los valores de y serán negativos, a excepción del cero. Esto hace que la curva se refleje como en un espejo, se provoca una simetría especular con eje igual a la recta de abcisas.


Tabla de valores pro gráfica:

Y veamos la gráfica, comparativamente a x al cuadrado .....

En Graphmática

Función Cuadrática - Contenidos (3ro. Año Medio): Primer Posteo

NM3 : Enseñanza Media, tercero Medio:
CMO : I Algebra y Funciones. 2. a. Función Cuadrática. Gráfico de las siguientes Funciones:

Tabla de Funciones Cuadráticas:

Discusión de los casos de intersección de la parábola con el eje x. Resolución de ecuaciones de segundo grado por completación de cuadrados y su aplicación en la resolución de problemas.

(Matemáticas) Programa de estudios de Primer año Medio.
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Función Cuadrática:

Una Función Cuadrática es una expresión de la forma:
en donde (único requisito), el cieficiente "a" es distinto de cero.

"a", "b", "c" son coeficientes numéricos conocidos.
"x" es la variable independiente
"y" es la variable dependiente, aquella que depende de los valores que toma "x".

Dependiendo de los valores que tomen "a", "b", "c", se obtendrán, todas y cada una de las funciones expuestas en la Tabla de Funciones Cuadráticas, presentada más arriba. Para muestra un botón:

Ahora vamos a graficar la función anterior, cuando a toma el valor 1: a=1.

Demos algunos valores a la variable independiente (x), para lograr los de la variable dependiente (y):

Tabla de valores PRO gráfica:

Y ahora veamos la gráfica:

PSU - DEMRE - 2008 - Ejercicio 32

32. Considere la función


con x en los números reales. El menor valor que alcanza la función es


A) 5
B) 3
C) 2
D) 0
E) -1


Solución: Como el coeficiente a de la función de segundo grado es a= 2, postivo, las ramas de esta parábola se abren hacia arriba. Hay un mínimo entonces en el par ordenado:


con

a= 2
b= 4
c = 5


-b/2a = -1


f(-b/2a)f(-1) = 3


La solución correcta es: 3; alternativa B)