Maximizando capacidades

NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
Aprendizaje Esperado: Utilizan un gráfico de la función cuadrática para resolver problemas que involucran máximos y mínimos de la función.
Fuente: Programa de Estudio. Tercero Medio. MINEDUC.
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Para la fabricación de canaletas para las aguas lluvia se dispone de láminas de 30 cm de ancho. ¿Cuál es la medida para hacer los dobleces de modo que se obtenga una canaleta de máxima capacidad?


Pensemos en una unidad de volumen como la siguiente, eligiendo como "x" la medida de los dobleces:

La idea es maximizar este volumen, es decir, maximizar: V= x(30-2x)1

Pero como el fondo elegido es unitario, el probelma equivale a maximizar el área o la sección que llevará caudal.

Debemos maximizar entonces A(x) = x(30-2x)

Veamos la gráfica:

Así, se ve a simple ojho, que la función alcanza un máximo en x=7,5 cm.

Eso se puede comprovar en la expresión analítica de las coordenadas del vértice de una parábola:

Acá f(x) es : x(30-2x) ..... donde "a" es el valor que acompaña a la x al cuadrado, b es el valor que acompaña a x.

a= -2 ; b= 30

-b/(2a) = - 30/(2 x (-2)) = -30/-4 = 7,5

Lo que intuíamos del grafo.