Eje Temático: II. Geometría.
Aprendizaje Esperado: Conocen la ecuación vectorial y analítica de un plano en el espacio y consideran las condiciones de paralelismo entre planos.
Fuente: Programa de Estudio. Cuarto Enseñanza Media. MINEDUC.
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Determinar la ecuación analítica y vectorial del plano que interesecta a los ejes del sistema
de coordenadas en los puntos (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1).
Para determinar su ecuación vectorial se puede trasladar este plano en el vector –1(0,0,1).
Con esta traslación los puntos de intersección (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1) se trasladan a las
ubicaciones (1, 0, –1); (0, 1, –1); (0, 0, 0), lo que permite establecer la ecuación de este plano que
pasa por el origen.
De acuerdo a esta representación, si a y b son parámetros reales
(x, y, z) = α (1, 0, –1) + β (0, 1, –1)
es la ecuación vectorial del plano que pasa por el origen y es paralelo al plano que intersecta a los
ejes X, Y, Z en los puntos (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1).
Y, en consecuencia,
(x, y, z) = (0, 0, 1) + α (1, 0, –1) + β (0, 1, –1)
es la ecuación vectorial del plano pedido.
Para continuar con el análisis vectorial y profundizar en el tema, se puede analizar una ecuación
como la siguiente:
(x, y, z) = (1, 2, 3)+ α (1, 0, –1) + β (0, 1, –1)
Se podría llegar a generalizar que
(x, y, z) = (a, b, c)+ α (1, 0, –1) + β (0, 1, –1)
son todos los planos que pasan por el punto (a, b, c) paralelos al plano que intersecta a los ejes X, Y,
Z en los puntos que tienen una distancia 1 desde el origen.
Desde el punto de vista analítico, en relación con el plano que intesecta los tres ejes a una distancia
1 del origen, apoyándose en lo vectorial ya estudiado,
(x, y, z) = (0, 0, 1) + α (1, 0, –1) + β (0, 1, –1)
se puede anotar: x = α; y = β; z = 1 – α – β
de donde x + y + z = 1 es la ecuación analítica del plano pedido.
En forma similar, se pueden analizar otros planos paralelos.
Así se puede obtener que
(x, y, z) = (1, 2, 3)+ α (1, 0, –1) + β (0, 1, –1)
es la ecuación vectorial en tanto que
x + y + z = 6
es la ecuación analítica del mismo plano.
Asimismo, se puede pedir que conjeturen sobre expresiones analíticas de la forma
x + y + z = k
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