Solidaridad x la RED: me pregunta una amiga ....

Por fa explícame con peras y manzanas el ejercicio siguiente, de 2° mnedio: Considera una caja que contiene 4 bolitas rojas y 4 bolitas azules. Cual es la probabilidad de que al extraer sin mirar 3 bolitas , 2 sean rojas y 1 azul?.

Respuesta:

El problema se resuelve con COMBINATORIA, pero lo voy a resolver con peras y manzanas, igual!

La probabilidad pedida es:

P(sacar tres, donde 2 sean Rojas y una Azul) = [ C(4,2) x C(4,1) ] / C(8,3) = número
Ojo que acá he usado la fórmula de Laplace.

Arriba los casos favorables (en verde) y abajo todos los casos posibles (en morado).

Nota que las combinaciones se definen por:

C(n,k) = [n!] / [(n-k)! x k!]

con p! = p x (p-1) x (p-2) x ...... x 2 x 1

Así: C(4,2) = 4! / [(4-2)! x 2!] = 4! / [2! x 2!] = 6

Así, Probabilidad pedida = número = 24 / 56 (que se puede simplificar, pero no nos conviene, fíjate)

Pero arriba de la probabilidad HAY UN PRODUCTO. Esto se debe a la regla del producto o principio multiplicativo.

Si un suceso sucede de n formas y por cada una de ellas hay otro que sucede de m formas, entonces el total de casos es n x m.

Ejemplo: Si tienes 2 caminos para irte al colegio y tres medios por cada uno de esos caminos (a pata, en auto, en micro), entonces hay 2 x 3 = 6 formas de irse.

En este caso, en nuestra pregunta: Puedes elegir de 6 formas las Bolas Rojas y de 4 formas las bolas azules. ¿Por qué?

Si llamamos a las bolas rojas: R1, R2, R3 y R4, se pueden tomar 6 parejas distintas de a dos: R1R2 ; R1R3 ; R1R4 ; R2R3 ; R2R4 ; R3R4 = C(4,2) = 6

Si llamamos a las bolas azules A1, A2, A3, A4, se pueden tomar 4 distintas psoibilidades de a una bola: A1 ; A2 ; A3 ; A4 = C(4,1) = 4

Luego, por el principio multiplicativo, hay 6 x 4 = 24 = C(4,2) x C(4,1)

Tenemos explicada la parte de arriba, los casos favorables, de nuestra fórmula.

¿ Y como hacer lo de abajo?, OJO que son 56 posibilidades .... a pulso, si quieres con peras y manzanas !!!!!

Usando la nomenclatura

R1 ; R2 ; R3 ; R4 y
A1 ; A2 ; A3 ; A4

Te voy a demostrar que hay 56 ,,,,, allí van:

ESTA VEZ SE TRATA DE DEMOSTRAR QUE CUANDO SE INTENTA SACAR 3 BOLAS DE UN TOTAL DE 8, HAY 56 PSIBILIDADES = C(8,3)

Partiendo con R1:

R1 R2 R3
R1 R2 R4
R1 R2 A1
R1 R2 A2
R1 R2 A3
R1 R2 A4, 6

R1 R3 R4
R1 R3 A1
R1 R3 A2
R1 R3 A3
R1 R3 A4, 5

R1 R4 A1
R1 R4 A2
R1 R4 A3
R1 R4 A1, 4

R1 A1 A2
R1 A1 A3
R1 A1 A4, 3

R1 A2 A3
R1 A2 A4, 2

R1 A3 A4, 1
- - - - - - - - - -
Partiendo con R2:

R2 R3 R4
R2 R3 A1
R2 R3 A2
R2 R3 A3
R2 R3 A4, 5

R2 R4 A1
R2 R4 A2
R2 R4 A3
R2 R4 A4, 4

R2 A1 A2
R2 A1 A3
R2 A1 A4, 3

R2 A2 A3
R2 A2 A4, 2

R2 A3 A4, 1
- - - - - - - - -
Partiendo con R3:

R3 R4 A1
R3 R4 A2
R3 R4 A3
R3 R4 A4, 4

R3 A1 A2
R3 A1 A3
R3 A1 A4, 3

R3 A2 A3
R3 A2 A4, 2

R3 A3 A4, 1
- - - - - - - - -
Partiendo con R4:

R4 A1 A2
R4 A1 A3
R4 A1 A4, 3

R4 A2 A3
R4 A2 A4, 2
R4 A3 A4, 1
- - - - - - - - -
Partiendo con A1:

A1 A2 A3
A1 A2 A4, 2

A1 A3 A4, 1
- - - - - - - - -
Partiendpo con A2:

A2 A3 A4, 1

y LA SUMA TOTAL DE ESTOS CASOS ES:
(6+5+4+3+2+1) + (5+4+3+2+1) + (4+3+2+1) + (3+2+1) + (2+1) + 1 =56 CASOS, EXACTOS .....

eSTÁN EXPLICADOS LOS CASOS POSIBLES, LA PARTE DE ABAJO: C(8,3) = 56 bUENO, LUEGO DE ESTA LARGA ENUMERACIÓN, ELLOS DEBIESEN COLEGIR QUE ES NECESARIO ESTUDIAR COMBINATORIA, ABRAZOS, cLAUDIO