Polya y sus consejos para resolver problemas

Consejos para resolver problemas:

1)      ENTIENDE BIEN: todos los términos del problema: Asegúrate de que comprendes cada dato, cada frase. Qué es lo que te piden, en qué puedes basarte … Si el enunciado es algo complicado, intenta explicártelo a ti mismo o a otra persona.

2)      PON EN TENSION TODOS TUS RESORTES MENTALES: Concéntrate al máximo, pues resolver problemas es una actividad mental compleja.

3)      Pon en juego buenas dosis de PACIENCIA Y CONSTANCIA. No abandones a la menor dificultad. Cada problema requiere su tiempo.

4)      RESUELVE DE NUEVO: los problemas complicados. Si para resolver un problema has necesitado ayuda, vuelve a intentarlo por tu cuenta es misma tarde. Y nuevamente, algunos días después.

5)      REFLEXIONA SOBRE OTRAS FORMAS DE RESOLUCION: Si te han mostrado una resolución distinta a la tuya, muestra interés por ella, intentando entenderla. Después, prueba a resolverlo por ese método.

6)      SÁCALES PARTIDO A LOS BUENOS PROBLEMAS: Los buenos problemas son una fuente de aprendizaje. El “volver a hacer” un problema mejorando la redacción, explicitando algún paso, encontrando algún atajo …., lejos de ser una pérdida de tiempo, es un ejercicio magnífico. Y si el problema es interesante, es posible que puedas: a) Generalizar; b) Inventar uno parecido (más fácil, más difícil) ; Cuestionarte sobre lo que ocurriría si se suprimiera tal o cual condición, si se añadiera otra …

7)      INTERCAMBIA CONCLUSIONES: con tus compañeros. Los problema se piensan individualmente. Pero en algunas situaciones tendrá sentido hacer un estudio en grupo para buscar ideas que se encaminen a la solución. También es muy provechoso el intercambio de ideas después de haber resuelto el problema y es beneficioso hacer estas reflexiones sistemáticamente.

 

En el consejo 7), revalorizamos el trabajo grupal, a diferencia de Polya.

George Pólya - Homenaje a este gran matemático (Tomado de Wikipedia)

George Pólya (13 de diciembre de 1887 – 7 de septiembre de 1985, Pólya György en húngaro) fue un matemático que nació en Budapest, Hungría y murió en Palo Alto, EUA.

Trabajó en una gran variedad de temas matemáticos, incluidas las series, la teoría de números, la combinatoria y la probabilidad.

En sus últimos años, invirtió un esfuerzo considerable en intentar caracterizar los métodos generales que usa la gente para resolver problemas, y para describir cómo debería enseñarse y aprender la manera de resolver problemas. Escribió tres libros sobre el tema: Cómo resolverlo (How to solve it), Matemáticas y razonamiento plausible, Volumen I: Inducción y analogía en matemáticas y Matemáticas y razonamiento plausible, Volumen II: Patrones de inferencia plausible.

En Cómo resolverlo, Pólya proporciona heurísticas generales para resolver problemas de todo tipo, no sólo los matemáticos. El libro incluye consejos para enseñar matemática a los estudiantes y una mini-enciclopedia de términos heurísticos. Ha sido traducido a muchos idiomas y vendido más de un millón de copias. El físico ruso Zhores I. Alfyorov, (Premio Nobel de Física de 2000) lo alabó, diciendo que estaba encantado con el famoso libro de Pólya.

En 1976 la Mathematical Association of America estableció el premio George Pólya "para artículos de excelencia expositiva publicados en el College Mathematics Journal".

En Matemáticas y razonamiento plausible, Volumen I, Pólya habla sobre el razonamiento inductivo en la matemática, mediante el que pretende razonar de casos particulares a reglas generales (también incluye un capítulo sobre la técnica llamada inducción matemática, pero no es el tema principal). En Matemáticas y razonamiento plausible, Volumen II, comenta formas más generales de lógica inductiva que pueden usarse para determinar de forma aproximada hasta qué grado es plausible una conjetura (en particular, una matemática).

Algunas citas:

1) How I need a drink, alcoholic of course, after the heavy chapters involving quantum mechanics.

(Esto es una regla mnemotécnica para los primeros quince dígitos de π; siendo las longitudes de las palabras los dígitos)

2) Si no puedes resolver un problema, entonces hay una manera más sencilla de resolverlo: encuéntrala.

3) Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay una pizca de descubrimiento en la solución de cualquier problema. Tu problema puede ser modesto, pero si es un reto a tu curiosidad y trae a juego tus facultades inventivas, y si lo resuelves por tus propios métodos, puedes experimentar la tensión y disfrutar del triunfo del descubrimiento.

Los 10 mandamientos de un profesor (de matemáticas, aunque puede servir para otras asignaturas) según POLYA

Bellísimo !

1. Demuestre interés por su materia. Si el profesor se aburre, toda la clase se aburrirá.

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2. Domine su materia. Si un tema no le interesa personalmente, no lo enseñe, porque no será Vd. capaz de enseñarlo adecuadamente. El interés es una condición necesaria, pero no suficiente. Cualesquiera que sean los métodos pedagógicos utilizados, no conseguiréis explicar algo claramente a vuestros estudiantes si antes no lo habéis comprendido perfectamente. De ahí este segundo mandamiento. El interés es el primero, porque, con algunos conocimientos junto con una falta de interés, se puede uno convertir en un profesor excepcionalmente malo.

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3. Sea instruido en las vías del conocimiento: el mejor medio para aprender algo es descubrirlo por sí mismo. Se puede obtener gran provecho de la lectura de un buen libro o de la audición de una buena conferencia sobre la psicología del acto de aprender. Pero leer y escuchar no son absolutamente necesarios y en todo caso no son suficientes: hay que conocer las vías del conocimiento, estar familiarizados con el proceso que conduce de la experiencia al saber, gracias a la experiencia de vuestros propios estudios y a la observación de vuestros estudiantes.

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4. Trate de leer en el rostro de sus estudiantes, intente adivinar sus esperanzas y sus dificultades; póngase en su lugar. Aunque uno se interese por el tema, lo conozca bien, se comprendan los procesos de adquisición de los conocimientos, se puede ser un mal profesor. Es raro, pero muchos hemos conocido profesores que, siendo perfectamente competentes, no eran capaces de establecer contacto con su clase. Ya que la enseñanza del uno debe acompañarse por el aprendizaje del otro, tiene que existir un contacto entre el Profesor y el estudiante. La reacción del estudiante a vuestra enseñanza depende de su pasado, de sus perspectivas y de sus intereses. Por lo tanto, téngase en consideración lo que saben y lo que no saben; lo que les gustaría saber y lo que no les importa; lo que deben conocer y lo que no importa que no sepan.

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5. No les deis únicamente "saber", sino "saber hacer", actitudes intelectuales, el hábito de un trabajo metódico. El conocimiento consiste, parte en "información" y parte en "saber hacer". El saber hacer es el talento, es la habilidad en hacer uso de la información para un fin determinado; se puede describir como un conjunto de actitudes intelectuales; es la capacidad para trabajar metódicamente. En Matemáticas, el "saber hacer" se traduce en una aptitud para resolver problemas, construir demostraciones, examinar con espíritu crítico soluciones y pruebas. Por eso, en Matemáticas, la manera cómo se enseña es tan importante como lo que se enseña.

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6. Enseñadles a conjeturar. Primero imaginar, después probar. Así es como procede el descubrimiento, en la mayor parte de los casos. El profesor de Matemáticas tiene excelentes ocasiones para mostrar el papel de la conjetura en el campo del descubrimiento y hacer así que los estudiantes adquieran una actitud intelectual fundamental. La conjetura razonable debe estar fundada en la utilización juiciosa de la evidencia inductiva y de la analogía, y encierra todos los conocimientos plausibles que pueden intervenir en el método científico.

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7. Enseñadles a demostrar. "Las matemáticas son una buena escuela de razonamiento demostrativo". De hecho, la verdad va más allá: las matemáticas pueden extenderse al razonamiento demostrativo, que se infiltra en todas las ciencias desde que alcanzan un nivel matemático y lógico suficientemente abstracto y definido.

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8. En el problema que estéis tratando, distinguid lo que puede servir, más tarde, a resolver otros problemas - intentad revelar el modelo general que subyace en el fondo de la situaciónconcreta que afrontáis. Cuando presentéis la solución de un problema, subrayad sus rasgos instructivos. Una particularidad de un problema es instructiva si merece ser imitada. Un aspecto bien señalado, en un problema, y vuestra solución puede transformarse en un modelo de resolución, en un esquema tal que, imitándole, el estudiante pueda resolver otros problemas.

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9. No reveléis de pronto toda la solución; dejad que los estudiantes hagan suposiciones, dejadles descubrir por sí mismos siempre que sea posible. He aquí una pequeña astucia fácil de aprender: cuando se empieza a discutir la solución de un problema, dejad que los estudiantes adivinen su solución. Quien tiene una idea o la ha formulado, se ha comprometido: debe seguir el desarrollo de la solución para ver si lo que ha conjeturado es exacto o no, con lo que no puede despistarse. Voltaire decía: "El secreto para ser aburrido es decirlo todo".

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10. No inculquéis por la fuerza, sugerid. Se trata de dejar a los estudiantes tanta libertad e iniciativa como sea posible, teniendo en cuenta las condiciones existentes de la enseñanza. Dejad que los estudiantes hagan preguntas; o bien planteadles cuestiones que ellos mismos sean capaces de plantear. Dejad que los estudiantes den respuestas; o bien dad respuestas que ellos mismos sean.

Inducción Matemática (Demostraciones por Inducción)

(TEXTO: Extracto editado del libro de Polya: "Cómo plantear y cómo resolver un problema")

La inducción es un modo de razonar que conduce al descubrimiento de leyes generales a partir de la observación de ejemplos particualres y de sus combinaciones. Se emplea en todas las aciencias, aún en las matemáticas, donde se focaliza a la demostración de ciertos tipos de teoremas.

realicemos primero una:

INDUCCION SIMPLE

(no como protocolo de demostración)

Casualmente podemos observar que:

1 + 8 + 27 + 64 = 100

Y, constatando que dichos numeros son cubos y su suma un cuadrado, podemos presentar esta observación bajo la forma siguiente:


¿Sucederá siempre que la suma de cubos de números consecutivos sea siempre un cuadrado?

Un científico partiría por tratar de comprobar otros casos, encontrando:

El hecho de que estas diversas sumas de cubos consecutivos sean cuadrados dificilmente puede atribuirse al azar .... Así en primera instancia podríamos decir -por inducción simple: "la suma de los primeros n cubos es un cuadrado .....

Luego la fórmula, la podemos expresar de manera más aprecisa ahora, nuevamente induciendo ....
Pero esta expresión aún es posible simplificarse, porque la suma de la derecha posee una fórmula. Efectivamente es posible disponer una fórmula para:

1+2+3+4+5+6+ .......... + (n-2) + (n-1) + n

Esta fórmula es:

Esta fórmula es fácilmente demostrable y se basa en el mismo tipo de argumentos antes visto en la "Suma de Gauss". Pensemos en la suma que queremos lograr, llamémosla "S":

Escribámosla al revés:

Y luego procedamos a sumar ambas sumas S:

Entonces, tras nuestra inducción intuitiva, la gran fórmula que hemos construido es:

Hsata aquí hemos estado pirateando a POLYA !!!!!

Esta es la fórmula que ahora procederemos a DEMOSTRAR por INDUCCION COMPLETA, un protocolo matemático establecido. Nótese que comstruimos la fórmula inductivamente, pero no bajo el protocolo que es conocido como Inducción Matemática y que ahora revisaremos:

INDUCCION COMPLETA

(Como protocolo de demostración)

La Inducción Completa posee un protocolo que resumimos a contiuación:

1) Se verifica si la fórnula se cumple para algunos casos sencillos, los más fáciles, los iniciales.

2) Se supone que se cumple para n.

3) A partir de la aceptación de cumplirse para n, se comprueba que parmanece cierta para el siguiente entero (n+1).

Demostremos entonces el teorema-fórmula anterior:

Hay que demostrar que, para n natural:

Procedamos paso a paso los tres elementos del protocolo anteriomente descrito:

1) Se verifica si la fórnula se cumple para algunos casos sencillos, los más fáciles, los iniciales.

para n = 1

Se cumple la fórmula !

para n= 2

Se cumple la fórmula !

2) Se supone que se cumple para n.

Aceptamos entonces que se cumple para n:

3) A partir de la aceptación de cumplirse para n, se comprueba que parmanece cierta para el siguiente entero (n+1).

Sumemos (n+1) al cubo a la fórmula anterior:

Fíjense que la fórmula es como si en n hubiésemos reemplazado (n+1) .....

Se CUMPLE para (n+1) !!!!! q.e.d.

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Que dice la Enciclopedia Encarta de lo que es la inducción?

Inducción matemática, axioma y a veces método de demostración usando el axioma de inducción. La inducción matemática no debe confundirse con la inducción en otros campos, en donde se define como la técnica de extracción de conclusiones generales a partir de un gran número de casos o experimentos individuales. En matemáticas, esta conclusión, aunque pueda parecer completamente razonable, puede ser falsa. Sin embargo, la inducción matemática se usa a menudo para verificar, o probar, una conjetura obtenida mediante inducción no matemática. Hablando con precisión, el axioma de inducción dice: si M es un conjunto de enteros positivos, con las siguientes propiedades
IA. M contiene al entero 1, y,
IIA. si M contiene al entero n, se puede demostrar que M contiene además al entero n + 1,
entonces M contiene a todos los enteros positivos.
La primera parte del axioma de inducción, IA, suele llamarse base, y la segunda parte, IIA, parte inductiva. El axioma de inducción es útil para demostrar ciertas expresiones matemáticas. Suponiendo que la proposición P(n) es verdadera o falsa dependiendo sólo del valor de la n, el axioma de inducción se puede utilizar para demostrar que si
IB. P(1) es verdadera, y
IIB. el saber que P(n) es verdadera, implica que P(n+1) es también verdadera,
entonces P(n) se cumple para cualquier n.
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