Suma de Cuadrados - TRUCO Asqueroso pero Bellísimo !!!!!

Pensemos en la igualdad:Vamos a sustituir consecutivamente en esta igualdad, n por (n-1); por (n-2), etc., hasta llegar a la unidad. Esto nos conducirá a las siguientes igualdades:

Sumemos todas estas igualdades. Si hacemos esto, es posible hacer muchas simplificaciones. De la columna de los sumandos del primer miembro, desaparecerán todos excepto:

en tanto que de la columna de los primeros sumandos del segundo miembro desaparecerán todos los sumandos excepto el último, 1 al cubo.

Seguidamente, se de la columna de los segundos sumandos del segundo miembro se saca el factor común 3, evidentemente quedará la suma que buscamos S, que ha de ser hallada (elipse morada).

Del mismo modo, la columna de los terceros sumandos del segundo miembro nos dará la suma triplicada de los números naturales (elipse verde claro).

la suma de los n unos es igual a n (elipse negra) ....

Lo anterior queda entonces:

Bellísimo!!!!

Y nos servirá en el próximo posteo, cuando tratemos de encontrar la fórmula del Volumen del Cono, haciendo uso de sumas infinitesimales ....