Suma de términos es una Progresión Arirmética

Progresión Aritmética: Es una serie de términos de modo que cada uno de ellos es igual al anterior (el que le precede) aumentado en una cantidad constante llamada razón de la progresión.

Ejemplo: 3, 8, 13, 18, 23, 28 ....

Primer término es: 3
Razón de progresión: 5 ( 8 = 3+5; 13= 8 + 5 ..... r=5)
Tipo de progresión: Creciente.

Cálculo del último término de la Progresión Aritmética:

a: Primer término.
u: Último término.
r: razón o diferencia común.
n: número total de términos.
S: Suma de los n términos.

Así podemos escribir:

Primer término: a
Segundo término: a +r
Tercer término: a+2r
Cuarto Término: a+3r
.....
25 término: a +24r
.....
último término: a + (n-1)r

Términos Equidistantes de los Extremos:

Sea la progresión Aritmética:
a, b, c, d, h .... l, q, s, t, u
Siendo "h" el término que tiene K términos antes que él, y "l" otro término de la misma progresión que tiene K términos después de él. Quiere esto decir que los términos h y l son equidistantes de los extremos a y u. Si la razón de la progresión es "r"

h=a+kr

l=u-kr

Sumando miembro a miembro:

h + l = a +u

Es decir,
"en una progresión aritmética, la suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma del primero con el último.

Suma de los Términos de una Progresión Arimética:

Designemos por S la suma de los "n" términos de la progresión aritmética: a, b, c, .... s, t, u.

S= a+b+c+.....+s+t+u
poniendo lo anterior de otra forma:
S=u+t+s+.....+c+b+a
Luego sumando término a término:
2S= (a+u) + (b+t) + ..... (c+s)+(t+b)+(a+u)
Pero cada uno de estos paréntesis suma (a+u) porque cada par de términos equidistantes de una pregresión aritmética suman igual que la suma del primero y el último.

2S = n(a+u)
S= (a+u)n/2

Problema: Encontrar una fórmula que sirva para calcular la suma de los n primeros números impares.

Primer impar: 1
Segundo impar: 1+2
Tercer impar: 1+2x2
Cuarto impar: 1+3x2

(último impar) n impar: 1+(n-1)x2=1+2n-2=2n-1

S = {1+(2n-1)}xn/2 ={1+2n-1}xn/2={2n}xn/2=nxn, n elevado al cuadrado.

OBSERVACION: Los griegos de la escuela Pitagórica ya habían calculado este resultado, usando el truco de representar los números por puntos en la siguiente figura geométrica:

Los números impares los situaron formando un cuadrado: