Buscando compresiones en el Universo y algunas precisiones en torno al teorema de Gödel

Buscando orden en medio de CAOS:

Supongamos que tenemos dos secuencias distintas de números.

La primera tiene la forma ....

001001001001001001001 ....,

mientras la segunda tiene la forma ....

0100101101011111010010 ....,

Ahora nos preguntamos si estas secuencias son aleatorias u ordenadas. Claramente la primera parece ser ordenada, y decimos esto porque es posible “ver” un patrón en ella; esto es, podemos reemplazar la primera secuencia por una regla que nos permite recordar o comunicarla a otros sin tener que detallar todo su contenido. Así llamaremos a una secuencia NO ALEATORIA si podemos abreviarla con una fórmula o regla más breve que ella (es equivalente al concepto matemático de conjuntos por EXTENSION vs. por COMPRENSION). Si es así decimos que es COMPRIMIBLE.

Por otra parte, si como parece ser el caso de la segunda secuencia (que se generó tirando una moneda), no existe abreviación o fórmula que capture la información que contiene, se dice que es INCOMPRIMIBLE. Si queremos contarle a nuestros amigos de la secuencia incomprimible, tendremos que mostrársela entera. No es posible condensar su información de una manera más corta que la secuencia misma.

Esta simple idea nos permite extraer algunas lecciones sobre la búsqueda científica de una teoría unificada. Podemos definir la ciencia como la búsqueda de compresiones. La ciencia busca PATRONES en los hechos, compresiones de la información que nos ofrece el universo, y estos patrones los hemos llamado leyes de la naturaleza. La búsqueda de una teoría unificada es la búsqueda de una última compresión del mundo. La demostración de Chaitin del teorema de la incompletitud de Gödel, usando los conceptos de complejidad y compresión, revela que el teorema de Gödel es equivalente al hecho que NO SE PUEDE PROBAR QUE UNA SECUENCIA NO SE PUEDA COMPRIMIR. Nunca probaremos que una compresión es la última; siempre existirá una unificación más profunda y simple, esperando ser encontrada. Por todo esto, ¿que piensas del intento de Einstein en buscar una teoría unificada? (John D. Barrow)

Nota: Eintein y el lógico-matemático austriaco Kurt Gödel fueron buenos amigos. Quizás se buscaron como aquellos que buscan referencias y se encuentran comprobando finalmente que no tienen a nadie a quien más recurrir, son el último peldaño escalado en sus respectivas disciplinas ..... Los teoremas de Gödel sobre lo incompleto, publicados en 1931 cuando apenas tenía 25 años, reescribieron las directrices de la ciencia moderna, tanto como la teoría de la relatividad de Einstein lo había hecho hace 15 años antes.

Teorema de Gödel:

La aritmética elemental, según demostró Gödel, estaba incompleta y lo seguiría estando. No importa en que sistema axiomático Ud. base sus cálculos, hay postulados verdaderos más allá del alcance del sistema. Añadir tales postulados al sistema como nuevos axiomas no sirve de nada. El sistema enriquecido es también incompleto, y así “la infección continúa su ascenso gradual”.

Enunciado del TEOREMA DE LA INCOMPLETITUD de Gödel: Todo sistema matemático contiene proposiciones “indecibles”, es decir, que no son ni demostrables ni refutables con los axiomas contenidos en ese sistema matemático. Este teorema subraya además que NO es posible demostrar que un sistema es coherente permaneciendo en su interior ..... para lograr demostrar coherencia, hay que salir del sistema .....