Número Negativos - Comentario Histórico

Currículum chileno:
NEM: Primero Medio
Tema: números Negativos
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.
CMO: 1. d. Comentario histórico en torno a los Número Negativos.
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Números negativos:

En cuanto a los números negativos, aunque se conocían en Europa a través de textos árabes, la mayoría de los matemáticos de los siglos XVI y XVII no los aceptaban como números, o si lo hacían no los aceptaban como raíces de ecuaciones. En el siglo XV Nicolás Chuquet (1445?-1500) y en el siglo XVI Stifel (1553), hablaron de los números negativos como números absurdos. Cardan dio números negativos como raíces de ecuaciones pero las consideraba soluciones imposibles, meros símbolos; él las llamó ficticias, mientras que llamaba reales a las raíces positivas. Vieta descartó por completo los números negativos. Descartes los aceptó en parte. Él llamaba falsas a las raíces negativas de una ecuación, con el fundamento de que ellas requerían representar números menores que nada. Sin embargo, había demostrado que, dada una ecuación, se puede obtener otra cuyas raíces son más grandes que la original en una cantidad dada. De este modo una ecuación con raíces negativas podía ser transformada en otra con raíces positivas. Puesto que se pueden cambiar las raíces falsas por otras reales, Descartes estaba dispuesto a aceptar los números negativos. Pascal consideró el restar 4 de cero como un completo sin sentido.

Un argumento interesante contra los números negativos lo dio Antoine Arnauld (1612-1694) un teólogo y matemático que era buen amigo de Pascal. Arnauld cuestionó que -1:1 = 1:-1 porque, decía, -1 es menor que +1; por lo tanto ¿cómo puede uno menor ser a uno mayor como uno mayor es a uno menor?. El problema fue discutido por muchos. En 1712 Leibniz convino en que era una objeción válida, pero arguyó que se puede calcular con tales proporciones porque su forma es correcta, igual que se calcula con cantidades imaginarias.

Uno de los primeros algebristas que aceptó los números negativos fue Thomas Harriot (1560-1621), que ocasionalmente situó un número negativo como tal en uno de los miembros de una ecuación. Pero no aceptaba las raíces negativas. Raphael Bombelli (siglo XVI) dio definiciones claras para los números negativos. Stevin usó coeficientes positivos y negativos en ecuaciones y también aceptaba las raíces negativas. En su "L'Invention nouvelle en l'algèbre" (1629), Albert Girard (1595-1632) situaba los números negativos a la par que los positivos y daba las dos raíces de una ecuación cuadrática, incluso cuando ambas eran negativas.

De una manera muy general se dio cuenta Girard de que las raíces negativas vienen a estar dirigidas en un sentido opuesto al de los números positivos, anticipándose así en cierto sentido a la idea de la recta numérica. "Lo negativo en geometría indica un retroceso, decía Girard, "mientras que lo positivo es un avance."

En general no demasiados matemáticos del siglo XVI y XVII estaban de acuerdo o aceptaban los números negativos como tales reconociéndolos sólo como raíces verdaderas de ecuaciones. Había curiosas creencias sobre ellos. Aunque Wallis estaba adelantado a su época y aceptaba los números negativos, pensaba que eran tan extensos como el infinito pero no menores que cero. En su "Arithmetica Infinitorum" (1655), argumentaba que puesto que la razón , cuando es positivo, es infinito, luego cuando se cambia el denominador por un número negativo con ß negativo, su razón debe ser mayor que infinito.

La notación exponencial para las potencias negativas fue desarrollada por Wallis a partir de algunos ejemplos solamente. Así, demuestra que si una sucesión de inversos de cubos (1/1, 1/8, 1/27,...), cuyo índice es -3, se multiplica término a término por una sucesión de cuadrados (1, 4, 9, .....) cuyo índice es dos, el resultado es la sucesión (1/1, 4/8, 9/27,....). Esta última es (1/1, 12, 1/3, ....), una sucesión de inversos de las primeras potencias de los números naturales cuyo índice es -1=-3+2. Procede de la misma manera para las raíces, y concluye simplemente: "Y lo mismo se producirá en los demás casos, cualesquiera que sean, y de esta manera la proposición está demostrada.

John Wallis fue el primero en intentar una representación geométrica de las cantidades imaginarias por medio de una ingeniosa interpretación algebraica de un número complejo puro como la primera proporcional entre un número positivo y un número negativo.

(Tomado de la WEB: http://www.iesmurgi.org/matematicas/materiales/numeros/node5.html)