Proporcionalidad Directa

Curriculum chileno ...
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.
CMO: 2. Proporcionalidad.

b. Proporcionalidad Directa. Constante de Proporcionalidad. Gráfico Cartesiano asociado (Primer Cuadrante).

d. Planteo y resolución de problemas que involucren proporcionalidad directa. Análisis y Pertinencia de las soluciones. Construcciones de tablas y gráficos asociados. Resolución de ecuaciones con proporciones.

e. Relación entre las tablas, los gráficos y la expresión algrebraica a la proporcionalidad directa. Relación entre la proporcionalidad directa y los cuocientes constantes.
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Partamos con una pequeña introducción:

RAZON: Se llama razón a la comparación por cuociente entre dos cantidades a y b cualesquiera.

Se expresa una razón como:

Toda razón además, tiene un cuociente de nominado VALOR de la RAZÓN (=k).

PROPORCION: Se llama proporción a la igualdad de dos razones. Una proporción se expresa de las siguientes formas:

y se lee: a es a b como c es a d.

a y d se conocen como términos extremos. b y c como términos medios.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE PROPORCIONES:

Dos razones forman una proporción sí y sólo sí el producto de sus términos extremos es igual al producto de sus términos medios. Es decir

El Teorema Fundamental de las proporciones nos permite resolver ecuaciones. Veamos un ejemplo:

PROPORCIONALIDAD DIRECTA:

Consideremos que cada lapiz de pasta vale $ 100 y hagamos una tabla de valores:

Formemos las razones entre los términos de los pares ordenados:

1/100 = 2/200 = 3/300 = 4/400 = 5/500 ....... = 0,01 (Esta es la que más tarde llamaremos Constante de Proporcionalidad)

Un conjunto de pares ordenados de números reales es directamente proporcional si la razón entre los elementos de cada par es constante (K).

Así, si (a,b) pertenece a un conjunto directamente proporcional de razón k, entonces:

a/b=k , entonces (sí y sólo sí), a = bk

Si yo aumento uno de los términos de la fracción, deberé aumentar también el otro para que la razón de proporcionalidad se siga manteniendo: (2a)/(2b)=k

Al aumentar (o disminuir) la 1ra. componente de uno de ellos aumenta (o disminuye) la 2da. componente en un mismo factor.

Veamos como se graficaría la anterior tabla de valores:

De este gráfico podemos mostrar varios elementos:

1) Los pares de un conjunto directamente proporcional perteneces siempre a una línea recta.

2) La gráfica siempre parte del par (0,0). Interpretación: Si no se compran lápices, hay que pagar cero pesos (0 lápices, 0 pesos) = (0,0)

3) La gráfica tendrá más o menos pendiente, dependiendo de la constante K. A mayor K más pendiente.

4) Si volvemos y observamos la tabla, cada unidad de lapiz adicinal, adita 100 pesos al coste total.

5) Si en la gráfica observamos el cuociente entre: la variación de Y / la variación de X, este se mantiene constante = 100/1 = 200/2 = 300/3 = 400/4 ..... y es la pendiente de la recta. Por cada lapiz que se adita, el costo total subirá 100 pesos.

Veamos un ejemplo:

Tres metros de géreo vales $ 800. ¿Cuánto valen 8 metros del mismo género?

3/800 = 8/x ===> 3x = 6400, luego x=2133,33. La solución es perinente pues se aprecia que a mayor cantidad de metros de género, mayor es el precio y además:

3/800 = 8/2133,33=0,00375