Angulo del Centro y Angulo Inscrito

Curriculum chileno ....

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Geometría.

CMO: d. Ángulos del Centro y Ángulos Inscritos en una Circunferencia. Teorema que relaciona la Medida del ángulo del centro con la del correspondiente del ángulo inscrito.

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Ángulo del Centro: Ángulo formado por dos radios y que tiene su vétice en el centro de la circunfenercia.

Por ejemplo son ángulos del centro los ángulos: EAF y GCH.

Ángulo Inscrito (en una circunfenercia): Ángulo formado por dos cuerdas y su vértice sobre la circunferencia.

Son inscritos los ángulos: CBD y FEG.

Teorema del Ángulo Incrito:

Observe lo que hemos hecho en Geogebra:

Hemos dibujado un ángulo del centro y un ángulo inscrito que subtienden el mismo arco.

Ahora hemos hecho otro de estos ejercicios y le hemos solicitado al programa que nos de las medidas de los dos ángulo:

Se puede ver que, cuando un ángulo inscrito subtiende el mismo arco que uno del centro, la medida del ángulo incrito es la mitad que la del ángulo del centro. 64,83º = (1/2) x 129,66º

Enunciemos el Teorema del Ángulo Inscrito:

En toda circunferencia el ángulo del centro es el doble del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco.

DEMOSTRACION:

Hipótesis (Datos): Trazo OA = Trazo OB = Trazo OD (son radios)

Tesis (Lo que hay que demostrar): Medida Ángulo AOB = 2 Medida Ángulo ACB

Demostración (secuenciamiento lógico para probar la tesis):

Marcamos los ángulos 1, 2, 3, 4. Pero ángulo 1 = ángulo 2, pues forman parte de un triángulo isósceles, formado por dos radios OA y OC. Pero ángulo 3 = ángulo 4, pues forman parte de un triángulo isósceles formado por dos radios OB y OC.

Ángulo AOD = ángulo 1 + ángulo 2

Ángulo DOB = ángulo 3 + ángulo 4 , Sumando estas dos ecuaciones:

Ángulo AOD + Ángulo DOB = ángulo 1 + águlo 2 + ángulo 3 + ángulo 4

Ángulo AOB = 2 ángulo 1 + 2 águlo 3 = 2 (ángulo 1 + águlo 3)

Ángulo AOB = 2 Ángulo ACB