Aplicaciones de Thales - Proporcionalidad de trazos en triángulos, cuadriláteros, circunferencia

Curriculum chileno ....
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Teoremas relativos a proporcionalidad de trazos en triángulos, cuadriláteros y circunferencia, como aplicación del teorema de Thales. Relaciones entre paralelismo, semejanza y la proporcionalidad entre trazos.
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1) Un ejemplo clásico: Teorema de Semejanza de Thales:

Toda paralela a un lado de un triángulo determina otro triángulo semejante al total.


Hipótesis: DE // AB
Tesis: Triángulo CDE es semejante a Triángulo CAB


Demostración:



1) Ángulo CDE es congruente con Ángulo CAB

2) Ángulo CED es congruente con Ángulo CBA


Por AA, ambos triángulos son semejantes.


2) Uno NO clásico: Desde D se traza una transversal que divide al lado AB en razón de 1:n. Demostrar que esta transversal divide a la diagonal AC en razón de 1:(1+n).

Demostración:
AE /EB = 1 / n
Pero Triángulo AEF Es semejante a Triángulo CDF por (AA)
Luego:
AF/AE = CF/CD
Alternando
AF/CF = AE/CD ; pero CD = AB
AF/CF = AE/AB (*)
pero AE/EB = 1/n, Componiendo
AE/(AE + EB) = 1/(1+n)
AE/AB=1/(1+n)
Poniendo esto en (*)
AF/CF=1/(1+n); q.e.d.

3) Uno Clásico: "Los segmentos de dos cuerdas que se cortan dentro de un círculo son inversamente proporcionales".

Hipótesis: AB corta a CD en {P}

Tesis: PA x PB = PC x PD

Demostración:

1) Ángulo 1 = Ángulo 2 (opuestos por vértice)

2) Ángulo 3 = Ángulo 4 (subtienden el mismo arco)

Por AA son semejantes triángulos: APC con DPB

Luego: PA / PC = PD / PB ; Entonces: PA x PB = PC x PD