Sistema de Inecuaciones Lineales

Curriculum chileno:
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: 1. Álgebra. Sistemas de Inecuaciones lineales sencillas con una incógnita. Intervalos de números reales. Planteo y resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita. Analisis de la existencia y pertinencia de las soluciones. Relación entre las ecuaciones y las inecuaciones lineales.
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1) Introducción:

En matemáticas estudaimos muchas relaciones de igualdad. Por ejemplo: el Terorema Particular de Pitágoras, relaciona por igualdad los catetos al cuadrado con la hipotenusa al cuadrado; el área de un triábgulo es A= (bxh)/2, es decir, es el semiproducto entre base y altura.

Pero NO sólo existen relaciones de igualdad en matemáticas. Por ejemplo, el teorema de FERMAT-WILES nos dice que: Si n es un número natural mayor que 2, no existe ningún trío de números naturales x, y, z tales que:

Este teorema -incluida la anterior ecuación conocida como ecuación Diofántica- incluye una desigualdad: la restricción n>2, con n perteneciente a los naturales.

2) ORDEN en el CONJUNTO de los Números REALES:

El conjunto de los números Reales (IR) es ordenado. Esto quiere decir que para un par de puntos a, b pueden suceder tres cosas:

En términos prácticos además planteamos que "Todo número situado a la izquierda de otro es menor que él" lo que equivale a decir que "Todo número que se encuentra a la derecha de otro es mayor que él".

Esta tricotomía nos abre a expresiones conocidas como desigualdades. Es decir, denominamos DESIGUALDAD a toda expresión que se establece entre números reales mediante las relaciones "menor que", "mayor que", "menor o igual que", "mayor o igual que".

3) INTERVALOS en IR:

La expresión, con x perteneciente a los Reales:

Representa al conjunto de TODOS los (infinitos) números reales que están entre otros dos Reales (a y b) dados. Este conjunto se denomina intervalo.

Ejercicio: Representar Diferentes tipos de Intervalo son:

4) Unión e Intersección de INTERVALOS:

Unión: Representa un nuevo conjunto formado por elementos que están en A ó en B (comúnes y no comúnes).
Intersección: Representa un nuevo conjunto formado por elementos que están en A y en B ( elementos comúnes).

5) PROPIEDADES de las DESIGUALDADES: Estas propiedades son importantes a la hora de resolver problemas:

a) Si a ambos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número real, se obtiene otra desigualdad equivalente a la primera, QUE MANTIENE SU SENTIDO.

b) Si se suman, respectivamente, los miembros de dos o más desigualdades, se obtiene otra desigualdad que mantiene el sentido de las desigualdades consideradas.

c) Si a ambos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número real positivo, se obtiene otra desigualdad que MANTIENE EL SENTIDO de la PRIMERA.

d) Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número real negativo, se obtiene otra desigualdad de DISTINTO SENTIDO que la PRIMERA.

6) Inecuaciones de Primer Grado con una Incógnita:

Una inecuación de primer grado con una incógnita es una desigualdad en que intervienen números reales y una incógnita de primer grado.

Resolver una inecuación es determinar el conjunto de números reales que satisfacen la desigualdad, es decir, la hacen verdadera. OJO PIOJO que para resolverla hay que usar las propiedades de las desigualdades. Unos jejemplitos

7) Sistemas de Inecuaciones Lineales con una Incógnita:

Un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita es la reunión de dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes reales.

Resolver un sistema de inecuaciones lineales es determinar un conjunto de los números Reales que satisfacen TODAS las desigualdades del sistema. Este conjunto se llama conjunto de solución del sistema. Para obtener el conjunto de solución, se resuelve cada inecuación independientemente y luego se intersecta todos los conjuntos solución de esas inecuaciones.

Veamos un ejemplito:

8) Comparación entre Ecuaciones e Inecuaciones Lineales:

Considere el siguiente esquema:

Las Ecuaciones Lineales con una incógnita Poseen UNA Solución.

Las Inecuaciones Lineales poseen por solución un Intervalo de números Reales.

Los Sistemas de Inecuaciones Lineales con una incógnita poseen como solución un intervalo de números Reales, esta vez obtenido de la INTERSECCION de todos los conjuntos de solución de todas las inecuaciones que forman el sistema.