Matemáticas y Filosofía

Matemáticas y Filosofía (Tomado de la charla de Dra. Irene Padillas)

Hay diferentes respuestas dadas por las distintas escuelas en la filosofía de las matemáticas, en torno a la pregunta acerca de cuál es el objeto de estudio de las matemáticas y cómo se conoce dicho objeto.

Logicismo

Frege defendía una concepción logicista, según la cual los objetos de las matemáticas son abstractos, eternos e independientes de nuestra mente (por lo tanto a Frege se le considera realista). Él pensaba que tenemos acceso a esos objetos (tales como los números y las colecciones de números) a través de la lógica. Por ejemplo, el cero se puede definir como el conjunto de todos aquellos individuos que no son idénticos a sí mismos. En efecto, para Frege el concepto de identidad es un concepto lógico. El proyecto logicista fracasa debido a la paradoja de las clases que no son miembros de sí mismas. Al contestar ya sea de manera afirmativa o negativa nos encontramos en ambos casos frente a una contradicción.

Intuicionismo

Al tratar de evitar la paradoja del tipo mencionado, los intuicionistas elaboran una nueva concepción de acuerdo a la cual los objetos de estudio de las matemáticas son construcciones mentales y por lo tanto ya no son objetos eternos, pues existen sólo en la medida en que son pensados. Esta escuela admite que existen proposiciones matemáticas que no son ni falsas ni verdaderas, limitando así el alcance del principio del tercero excluido. Como una gran cantidad de demostraciones en matemáticas dependen de la aceptación del principio del tercero excluido, el rechazo de dicho principio reduce en gran medida lo que para los intuicionistas constituyen las matemáticas.

Formalismo

Una nueva concepción matemática se expresa a través del formalismo de Hilbert, quien se propuso llevar a cabo un programa que tenía dos objetivos principales. El primero consistía en formalizar todas las áreas de las matemáticas, es decir, en elaborar sistemas formales a partir de los cuales se pudieran desarrollar las matemáticas. La estrategia de Hilbert fue la de formalizar primero la aritmética para así poder lograr su segundo objetivo: mostrar que dicho sistema era consistente. De acuerdo al formalismo, el objeto de estudio de las matemáticas lo constituyen los sistemas deductivos, los cuales consisten de símbolos y reglas para su manipulación. En la década de los años treinta, el matemático Kurt Gödel demostró que la aritmética no “puede probar su propia consistencia”, lo cual dio fin al programa de Hilbert.

Constructivismo

En matemáticas, muchos enunciados “existenciales” tales como “Existe un número primo mayor que 100 tal que...” sólo se han podido demostrar por lo que se conoce como “prueba por reducción al absurdo” (es decir, la demostración de dichos enunciados consiste en asumir que son falsos y mostrar que esto lleva a una contradicción), la cual depende del principio del tercero excluido. El constructivismo, que es una variante del intuicionismo, admite como demostraciones válidas de enunciados existenciales, únicamente aquellas que exhiben o nos dicen cómo construir el o los objetos cuya existencia afirman dichos enunciados.

Estructuralismo

El estructuralismo considera que el objeto de estudio de las matemáticas son estructuras. Los números naturales, por ejemplo, pueden identificarse con cualquiera de las siguientes dos secuencias de conjuntos:

Cada identificación por separado brinda una respuesta concreta a la pregunta de qué son los números naturales. En el segundo caso, por ejemplo, se afirmaría que el número cero es el conjunto vacío, el uno el conjunto cuyo único elemento es el conjunto vacío, y, en general, que el sucesor de un número natural n (es decir, n + 1) es la unión de los conjuntos n y {n}. En contraste, el estructuralismo afirma que ninguna secuencia como las anteriores constituye “el” conjunto de números naturales (y por lo tanto que no hay una respuesta a preguntas tales como qué objeto es, por ejemplo, el número tres). Secuencias como las anteriores son, de acuerdo al estructuralismo, instancias de algo más general: cada una ejemplifica una estructura cuya descripción está dada por ciertos postulados (los axiomas de Peano). Más precisamente, dichos postulados expresan todas aquellas características, y sólo ésas, que tienen en común secuencias como las dos anteriores. Así, una secuencia infinita como la siguiente:

· · · · · · · · · · . . .

también exhibe “la” estructura que tienen las dos anteriores (pues además de ser infinita, es discreta, es decir, no es continua, y tiene, entre otras características, un primer “elemento” o un comienzo). Las matemáticas estudian, de acuerdo al estructuralismo, las características comunes de secuencias como las anteriores.

Las tradiciones antes mencionadas reflejan algunas de las preocupaciones ontológicas y epistemológicas particulares de los filósofos de las matemáticas, pero la filosofía de las matemáticas no sólo se limita a la clarificación de los conceptos.
- - - - -

Las tradiciones antes mencionadas reflejan algunas de las preocupaciones ontológicas y epistemológicas particulares de los filósofos de las matemáticas.