El paraíso de Cantor .....

El Paraíso de CANTOR

Georg Ferdinand Cantor (1845 – 1918). Matemático Alemán de origen Ruso. Célebre creador de la Teoría de Conjuntos (año 1900). Visiones adelantadas a su tiempo y muy controversiales.

Cuento apócrifo del pastor Cardenio
(El ingenioso hidalgo, Episodio del príncipe Etíope)

Cardenio no sabía contar y para no perder sus ovejas, cada vez que las llevaba a pastar, hacía la siguiente operación:

Por cada oveja que salía del corral, ponía una piedra en un canasto. Luego, por cada oveja que entraba al corral, sacaba una piedra del canasto.

Claramente Cardenio hacía una biyección entre dos conjuntos: el de ovejas y el de piedras.

CANTOR: utilizó esta idea para contar elementos y comparar conjuntos de acuerdo a si es posible o no establecer una biyección entre ellos. Lo interesante es que aquí valen conjuntos finitos o infinitos ya que es posible establecer biyecciones entre algunos conjuntos infinitos.

Esto permitió comparar conjuntos infinitos entre sí y de alguna manera atacar el problema de la existencia de infinitos “más grandes que otros”.

CARDINALIDAD: Si hay dos conjuntos y es posible establecer una función biyectiva entre ellos, entonces poseen la misma cardinalidad (tienen el mismo número de elementos).

Luego se puede decir que INo ≡ IP. Poseen la misma cardinalidad, es decir, comparten el mismo tipo de infinito aunque IP está estrictamente contenido en IN.

Conjunto E N U M E R A B L E: Un conjunto es enumerable, sí y sólo sí es finito o tiene la misma cardinalidad que INo.

Comparación entre el conjunto: ] 0, 1[ y IR:

Ambos son infinitos y de igual cardinalidad, porque es posible establecer una relación biunívoca entre cada uno de los puntos del intervalo y el continuo Real.

GRAN TEOREMA de CANTOR:

IR NO es Enumerable!

Basta demostrar que el intervalo ]0,1[ no es enumerable, ya que es equivalente a IR. Esto se hace mediante el proceso de diagonalización de Cantor. Supongamos que se pueden contar los elementos del intervalo como si fueran (todos) los números de INo (En una relación BIYECTIVA)

Decimal 0 → 0,1642098472110875 ...
Decimal 1 → 0,3142365778799867 ...
Decimal 2 → 0,5467999345678799 ...
Decimal 3 → 0,4320987654321345 ...
Decimal 4 → 0,7654321098765432 ...
....
decimal que
no está en la
lista → 0,25795 .....

construido haciendo que la cifra decimal de la posición n sea diferente a la cifra en posición n del decimal n de la lista.

ERGO (luego): no hay una relación biunívoca entre el conjunto y el intervalo

]0,1[ y por lo tanto tampoco con los Reales.

IR no es enumerable !!!!!!

Luego, hay dos tipos de infinitud: una más pensable: la infinitud enumerable, asociada a los números naturales

y otra infinitud más compleja, asociada al conjunto de los números reales.

¿ Hay otras clases de infinitos entremedio? (Si sabe, no se lo cuente a nadie, sólo a mí !!!!)

Bibliografía:

1) La nueva matemática, SALVAT;

2) Álgebra de Erick Goles,

3) Wikipedia: Cantor y Diagonalización de Cantor.