La Explicación Fractal

Tomado de el
"Ascenso Infinito"
Breve historia de las Matemáticas
David Berlinski
Editorial DEBATE
Año 2007

El autor dice (editado) : "Benoit Mandelbrot es un matemático que ha enriquecido mucho la orninaria felicidad de la humanidad al mostrar como se pueden realizar de modo simple hermosos dibujos con un ordenador (...)

Estas imágenes se conocen como Conjuntos de Mandelbrot (....)

Su cosntrucción depende de una iteración recursiva y de un programa de ordenador que puede asignar colores a regiones del plano complejo. El procedimiento es de una simplicidad extrema. Se empieza por elegir un número complejo particular c y se introduce la función compleja

Esta función le dice al matemático y, en última instancia al ordenador, que tome cualquier número complejo z, lo eleve al cuadrado y después lo sume a c. Es obvio que si z=0, f(0)=c.

En lo sucesivo, con z todavía 0, se aplica f a sí mismo, dando lugar a

Y a fin de cuentas, a la secuencia:

A partir de ese esquema, los dibujos se generan mediante un algoritmo que elige los colores y que, a su vez, depende de una sóla condición.

Primero la condición: Para ciertas elecciones de c, las secuencias resultantes están acotadas. Nunca abandonan cierta región del plano complejo -digamos un círculo cuyo origen es el cero- Si dejamos z fijo en cero, dos elecciones que producen secuencias acotadas son c=-1 y c=el número imaginario i. Otras elecciones de c hacen que la secuencia no tenga límites: c=1 de apariencia tan inocente lleva a una secuencia que sobrepasa cualquier cota y parte hacia regiones desconocidas.

A continuación, el algoritmo para colorear: Al examinar varias elecciones de c y las secuencias que producen, el algoritmo asigna un color a los valores de c que llevan a secuencias acotadas y otro color a las que no. El resultado es un conjunto de Mandelbrot.

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Nota del Blogger: Yo que no soy experto en estos temas, encuentro que esta explicación es poco didáctica, no me da elementos para generar mi propio conjunto de Escobar .... pero vamos a seguir investigando a ver si algun día esto es transparente como el agua .... ¿Alguien tiene una explicación didáctica, como para generar conjuntos en nuestros ordenadores y de manera fácil como advierte Berlinski?