Integrales: Suma Infinita o el Área bajo la Curva .... Primero pasos ....

Pensemos que queremos calcular el área de la anterior curva, entre el punto (0,0) y (a,0). El área está demarcada en tenue color amarillo.

En este caso, la curva está descrita por la ecuación:

y= (b/a)x

(Nota: esto se puede lograr aplicando la fórmula cartesiana para una recta o por simples proporciones)

De antemano, sabemos que esta área es (axb)/2, usando la fórmula del Área de un Triángulo.

Pero pensemos en calcular esta área como una suma infinita ....

Para ello dividimos el Plano Cartesiano (x,y) en cuadrículas de lado "h", siendo "h" bien pequeñito. Incluso pensemos que h=a/n, es decir, dibidimos la base en n partecitas iguales.

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Habrá rectas verticales en x=0; x=h; x=2h; x=3h, etc .....

Habrá rectas horizonatales en y=0; y=h; y=2h; y=3h, etc ....

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OJO que sólo dibujamos las que más nos sirven .....

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El área Bajo la curva será entonces aproximada por los rectángulos de base h. Será una área no exacta, pero que se hará exacta en la medida de que hagamos "h" muy pequeñito.

La columna "m" está entre (m-1)h y mh.

Para la columna "m", el Delta Área (DÁ: Area del rectángulo de lado h, muy pequeño)=

y calculando el área TOTAL:

Y obviamente cuando "h" es muy pequeño, el aporte es muy poco significativo. Re-encontramos la solución que habñíamos ofrecido antes: El área es ab/2

Este es el proceso que nos lleva al concepto de INTEGRAL

El area bajo una curva se logra aproximando por una suma de rectángulos de base infinitesimal. Este número (el area bajo la curva) EXISTE, es una suma posible de obtener y se conoce como INTEGRAL Definida de una función entre los puntos a y b. Liebnitz eligió una S alargada para identificarla .....