Un fractal es un patrón geométrico repetitivo que se puede encontrar en la naturaleza. Una definición corta para una realidad difícil de entender. Casi tres décadas después de que el matemático Benoit Mandelbrot acuñara el término, todavía se desconoce mucho de su funcionamiento. Hace unos años, estaban de moda. Ahora parece que pasan de puntillas por los medios de comunicación.
"La investigación en fractales es un gran campo de las matemáticas conocido como sistemas dinámicos y la teoría del caos, por tanto, surge en cualquier ámbito de la ciencia, desde la biología a la química o la ingeniería. Se ha progresado en el conocimiento, pero dado que los fractales se encuentran en tantos campos, hay mucho que hacer", dice el matemático Robert Devaney, de la Universidad de Boston, que ha impartido una conferencia en Barcelona, invitado por la Obra Social La Caixa.
"En la mayoría de campos científicos, en la ingeniería, todo el mundo pensaba que todo debía ser previsible y que, por ejemplo, una reacción química no podía tener un comportamiento caótico", dice Devaney.
Uno de los ámbitos en los que se ha pensado aplicar la teoría de los fractales es la meteorología. ¿Por qué es tan complicado predecir el tiempo a medio plazo, a partir de tres a cinco días? "Es necesario entender cómo funciona cada molécula del aire, es imposible, y por tanto los científicos intentan realizar predicciones más simples, con fractales, que puedan ayudar a entender qué es lo que está pasando en una situación meteorológica". Reconoce Devaney que los investigadores aún trabajan en los fractales más simples, en los conjuntos de Mandelbrot, "que son muy bellos". "Pero si aún no los entendemos bien, ¿cómo podemos predecir el tiempo, que se mueve en variables infinitas? El camino es muy largo", añade.
El conjunto de Mandelbrot se basa en unas expresiones matemáticas simples (x2
+c) que producen hermosas y complicadas imágenes, cada una de ellas con significados matemáticos propios. El problema es que sólo es posible entender completamente esa ecuación si el límite del conjunto de Mandelbrot está localmente conectado, y hasta ahora nadie sabe si esto es cierto.
Los fractales pueden funcionar bien en biología, para analizar los tumores, dicen los expertos: "Si las células cancerosas son benignas, entonces el fractal es muy redondo; pero si el cáncer es maligno, si se extiende, el fractal será diferente. Y tenemos herramientas que miden cuál será la dimensión fractal del conjunto y determinan si el cáncer hace metástasis. Por tanto, los fractales son una herramienta matemática de la medicina", explica. Devaney participa en algunas reuniones mensuales que hacen en Boston un equipo de biomédicos, discuten sobre el caos y los fractales y cómo pueden incidir éstos en la medicina.
En España también hay varias iniciativas empresariales que utilizan los fractales en el desarrollo de productos: por ejemplo, una empresa nacida en la Universidad Politécnica de Cataluña ha creado unas antenas fractales capaces de enlazar señales de varias bandas de telecomunicaciones simultáneamente.
(www.elpais.com - colabora joelle)
7) Obviamente, el perímetro de esta solución es la suma de los dos perímetros menos 2 veces 2 cm, que se pierden en el contacto:
11) Para los más estudiosos, la gráfica de la anterior función:
Partamos con la imagen de un sol y un planeta. Imaginemos que en cierto momento se encuentra en la posición 1. Pensemos que en un cierto lapso, se traslada a la posción 2. Si el sol no ejerciera fuerza sobre él, entonces, por el principio de inercia de Galileo, el planeta seguría desplazándose en línea recta. Así, en igual lapso, se habría movido la misma distancia hasta el punto 3.
En nuestro esquema del viaje planetario, las distancias de 1 a 2 y de 2 a 3 son iguales, porque el planeta las viaja -sin ninguna coacción- durante un miemo lapso de tiempo. Además, ambos triángulos poseen la misma altura, el trazo SB. Por tanto las áreas a1 y a2 son iguales,
porque si pensamos que debemos llenar cuatro casilleros, se pueden poner 4 en el primero, pero sólo 3 en el segundo (porque ya uno está puesto en el primero) y así dos en el tercero y la cifra que queda en el último.
Si Ud. se fija,
¿Sucederá siempre que la suma de cubos de números consecutivos sea siempre un cuadrado?
El hecho de que estas diversas sumas de cubos consecutivos sean cuadrados dificilmente puede atribuirse al azar .... Así en primera instancia podríamos decir -por inducción simple: "la suma de los primeros n cubos es un cuadrado .....
Luego la fórmula, la podemos expresar de manera más aprecisa ahora, nuevamente induciendo ....
Pero esta expresión aún es posible simplificarse, porque la suma de la derecha posee una fórmula. Efectivamente es posible disponer una fórmula para:
Esta fórmula es fácilmente demostrable y se basa en el mismo tipo de argumentos antes visto en la "Suma de Gauss". Pensemos en la suma que queremos lograr, llamémosla "S":
Escribámosla al revés:
Y luego procedamos a sumar ambas sumas S:
Tras intentar resolverla, llegamos a un resultado que luego no satisface la ecuación. Veamos el procedimiento: 
Esta raíz no verifica la igualdad al sustituirla en la ecuación .... Por lo tanto la ecuación no tiene solución o su solución es el conjunto vacío. Veamos los pasos ..... 
Pero EUREKA, se ocurre utilizar GRAPHMATICA para graficar cada uno de los lados de le ecuación y resulta:
Si te fijas en los tres subcuadros superiores, hay un tres en la fila de arriba y en la de abajo .....
Miremos ahora el 8 que hay en los dos primeros subcuadrados de la fila de arriba, para poner un 8 en el tercer subcuadrado de la misma fila de arriba, pero en el marco de la tercera subcolumna:
Y el sudoku se nos va llenando ..... ahora estamos en:
Ahora Ud. puede seguir llenando ..... y trabajando sobre esta lógica llegamos a: (está bien?)
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