Ecuación de Primer Grado

Curriculum chileno ...
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: II. Álgebra y Funciones.
CMO. f. Ecuación de Primer Grado. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Planteo y resolución de problemas que involucren ecuaciones de primer grado con una incógnita. Anlisis de los datos, las soluciones y su pertinencia.
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Primero es necesario diferenciar los siguientes conceptos:

* Igualdad : Es la expresión de equivalencia de dos cantidades numéricas o literales. Ejemplo: 3+2 = 5; x +2x = 3x
* Identidad : Es una igualdad literal que se verifica para cualquier valor de la variable. Ejemplo: 15 + x = 15 + x
* Ecuación : Es una igualdad en la que hay una o más cantidades literales desconocidas llamadas incógnitas. Ejemplos:

5 + x = 8 ;
2x + 3y = 16 ;
4u + 7w +3z = 27

Nota: Mucho Ojo que hay otro muchos tipos de ecuaciones, entre ellas: ecuaciones logarítmicas, exponenciales, irracionales, etc.

* Las incógnitas, en general, se representan por letras minúsculas x,y,z,u,v, etc.
* El grado de la ecuación con una incógnita, está dado por el mayor exponente de dicha incógnita.

Dentro de las ecuaciones de Primer grado podemos distinguir:

* Ecuación Numérica: la única letra que hay es la incógnita. Ejemplo: 7x – 15 = 6x –2.

* Ecuación Literal: hay una o más letras además de la incógnita. Ejemplo: 12x – 3a = 5x + 2b + 17. La letras "a" y "b" representan constantes (conocidas, que se pueden o no especificar), "x" es la incógnita.

* La ecuaciones pueden tener coeficientes enteros o fraccionarios.
2x + 5 = 7 (NO Fraccionarios) ; 2/3 x - 1 = 5/8 (SI Fraccionarios).

* Solución o raíz: Es el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad.

5x – 2 = 13; tiene por solución 3 pues 3 hace verdadera la igualdad: 5(3) – 2 = 13

Resolución de una Ecuación de Primer Grado con una Incógnita:

Nota Sugerida: Buscar en este mismo BLOG, por la Etiqueta Método de la Balanza.

Resolución:

3x – 8 = 16 +8

para eliminar el -8 del lado izquierdo ...

3x – 8 + 8 = 16 + 8

3x = 24 :3

para despejar el 3 que multiplica a la incógnita

3x/3 = 24/3

x=8

Planteo de problemas que involucren la utilización de ecuaciones de permer grado con una incógnita. Análisis de datos, soluciones y su perinencia:

Veamos un ejemplo:

El largo y el ancho de un rectángulo se aumentan en 3 cm cada uno. Después del aumento, el área del nuevo rectángulo excede en 30 cm2 al área del rectángulo original. Si el ancho original era de 2 cm. ¿Cuáles son las nuevas dimensiones del rectángulo?

Ancho Original: 2

Largo original: x

Nuevo Ancho: 2+3 = 5

Nuevo Largo: x+3

Area original: 2x

Nueva Área: 5(x+3)

Planteo de la ecuación:

Nueva Área - Area Original = 30 cm2

5(x+3) - 2x = 30 (En cm2)

5x + 15 -3x = 30

3x = 30 - 15

x=15/3 = 5

Pero este valor obtenido corresponde al largo original y a nosotros en la pregunt nos inquieren por las nuevas dimensiones que serían:

Nuevo Ancho = 5 cm

Nuevo largo = 8 cm.

Area Nueva = 5 x 8 = 40

Area Antigua = 2 x 5 = 10

Diferencia de áreas = 40 - 10 = 30, la respuesta esta OK, el cálculo OK!