Teorema de Euclides - Demostración con manualidades

Curriculum chileno
NEM: Tercero Medio
Eje Temático: III. Geometría
CMO: a. Demostración de los Teoremas de Euclides relativos a la proporcionalidad en el triángulo rectángulo
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Hagamos un trato, esta va a ser una demostración, pero NO rigurosa, al estilo de las demostraciones euclideanas .... vamos a demostrar manualmente. (Tomado de una idea a prendidad de Pedro Campillai, profesor del Liceo Arturo Alesandri de Providencia).

Dibujemos un triángulo rectángulo y marquemos en él, su nomenclatura tradicional:

Marquemos la altura (h) relativa a la hipotenusa:

Se forman dos triángulos interiores, uno rojo y otro café, que son semejantes al triángulo mayor que los envuelve. Es fácil ver como al interior de cada uno de estos tres triángulos se reproducen los ángulos: alfa, beta y uno recto.

Por el criterio AA(A) son entonces los tres semejantes.

Uno puede recortar los dos triángulos interiores y ponerlos en una copia del mator de la siguiente forma, en donde se ve la semejanza de los tres:

Planteemos relaciones, amparados en esta semejanza:

De aquí podrían salir 6 proporciones, de las cuales nos interresan tres, que mostramos a continuación y de ellas se obtienen los Teoremas de Euclides: