Sumas curiosas ....

SUMAZ en el calendario !!!! (sí, yopuse sumaz)


Podemos resolver la suma de los 9 números seleccionados por un cuadrado 3×3 en un calendario a partir de la siguiente fórmula: N = ( n1 + 8 ) · 9. Veamos un sencillo ejemplo:



Únicamente debemos conocer a priori es n1, que será la primera cifra del cuadrado 3×3 que tenemos seleccionado. En nuestro ejemplo n1 = 11. Aplicamos la formula y obtendremos la suma: N = ( 11+ 8 ) · 9 = 171. El truco reside en que si seleccionamos cualquier hoja de calendario para desplazarnos de un número al que hay exactamente debajo de él hay que sumar 7. En un cuadrado 3×3 (9 números) se para del número menor al que ocupa el centro sumando 8.



(Tomado de Genciencia)

El cero o el Big Bang de la Inteligencia Humana .....

Según el matemático marroquí Georges Ifrah, el cero fue el big bang de la inteligencia humana ya que su descubrimiento permitió que el hombre representara la ausencia, el vacío, la nada… el cero es uno de los símbolos más abstractos de los existentes, gracias a él se lograron abrir todas las puertas al desarrollo de las ciencias. Nació el álgebra, el hombre pasó de unas limitadas teorías basadas en 9 cifras a otras mucho más amplias y generales.
Parece mentira pero se necesitaron una gran cantidad de pruebas y descubrimientos para al final conseguir el más sencillo de todos los métodos numéricos. El cero además permitió al hombre renacentista la posibilidad de desarrollar la aritmética y ganar la batalla que se libró durante la Edad Media en Europa por los abacistas o numerólogos, defensores de la vieja tradición, y por los algoristas, el futuro de las matemáticas.Georges Ifrah asegura que las matemáticas permitieron la agudización de la inteligencia humana. El cero nos ha ayudado en nuestro proceso evolutivo intelectual.

Georges Ifrah es el autor de una de las obras importantes que ha nutrido al intelecto humano, se trata de la Historia Universal de las Cifras, traducida en 35 idiomas y editada cinco veces en España. El libro ha sido el resultado de una tarea de investigación de varios años, donde el autor ha recorrido diversas zonas del planeta para hallar las respuestas necesarias. Un total de 1994 páginas, nos invitan a realizar un viaje a través de las civilizaciones para descubrir sus sistemas de numeración.

En resumidas cuentas, una historia apasionante que se inicia con el recuento a través de las manos y termina en los ordenadores.

MARAVILLOSA: Una fórmula para generarlos todos .... La Ecuación de Dirác

Paul Adrien Maurice Dirac fue un físico inglés del siglo XX considerado un pionero en el campo de la física cuántica. Dirac es recordado como un genio excéntrico por sus ideales y sus brillantes intervenciones. Cuenta la historia que Dirac se encontraba en la Universidad de Göttingen, donde los físicos y matemáticos de la época jugaban a escribir todos los números del 1 al 100 usando todo tipo de operaciones algebraicas únicamente con el número 2. Por ejemplo para 1 tenemos 2/2, para 2 tenemos 2/1, para 3 tenemos 2^2 – (2/2), ... Cuando le plantearon el problema a Dirac dió como solución la siguiente ecuación





donde el número de radicales es igual al número dado N. Con esta solución general, se dejó de jugar en la Universidad de Göttingen.



(Tomado de Genciencia)

Geometría Fractal y Ecología: Focas, Mejillones, Bacterias y Costa

La geometría fractal y los diversos constructos matemáticos que se basan en ella son fuente de asombro y admiración por parte de los curiosos, pero también tienen múltiples aplicaciones en muchas del saber, incluidas la biología y ecología. Ejemplos tan manidos en biología como sorprendentes son la geometría fractal de los helechos, los alveolos pulmonares o los capilares sanguíneos. Pero hay muchos otros aspectos de la naturaleza que se pueden observar desde el punto de vista de la fractalidad, como el uso diferencial del territorio.


Supongamos que 20 focas necesitan una determinada longitud de costa para criar, por ejemplo 1 metro/foca. Su escala de medida está relacionada con su tamaño, y para esas focas la cantidad de recurso disponible es, supongamos, una cómoda playa de, a ojo, 20 metros. Sin embargo, en esos mismos “20” metros de costa, un mejillón mucho más pequeño percibe no 20, sino 120. Y no es que el mejillón “perciba” 120 metros, sino que “hay” realmente 120 metros de costa (medidos a otra escala). Y si es una bacteria que se fija a las rocas, no tendrá 120 m., sino kilómetros de costa en esa misma playa que para una foca son solamente 20 metros.


Es decir: con una geometría clásica podríamos pensar que en la naturaleza un organismo 10 veces más pequeño que otro estará en una densidad de individuos 10 veces mayor en un mismo lugar. ¡Y sin embargo esto casi nunca ocurre!: las especies de pequeño tamaño presentan una densidad de individuos casi siempre bastante (o muy) superior a la que les correspondería según la geometría clásica.


Para resolver esta cuestión y otras la geometría fractal es, hoy en día, una herramienta indispensable para los estudiosos de los ecosistemas.



(Tomado de Genciencia, misma cuestión respecto del texto que viene)

Aplicaciones de la geometría fractal: cómo calcular la edad de un pino

La geometría fractal es una de las cosas más vistosas de la matemática, generando figuras de una simetría compleja y desconcertante para el observador no experto. Los artistas la utilizan para hacer cuadros, y muchas ramas de la ciencia para dar explicación a multitud de fenómenos y situaciones inexplicables según la geometría clásica no-fractal.

Una de las aplicaciones más sencillas que tiene la geometría fractal es el cálculo de la edad de los pinos jóvenes. Las plantas en general son una fuente de ejemplos casi inagotable de fractalidad en la naturaleza. Los pinos, en concreto, presentan unas pautas de crecimiento muy sencillas que permiten incluso al observador menos experimentado calcular su edad muy fácilmente.
La geometría fractal se caracteriza por ser iterativa. El pino en crecimiento refleja esta iteratividad del siguiente modo: en primavera de la punta del tallo principal salen varias ramas a una misma altura en varias direcciones, que continúan creciendo durante la temporada favorable. En invierno este crecimiento se frena, pero al llegar la primavera el patrón se repite: de la punta de cada rama salen a su vez varias ramas en diferentes direcciones. Y así sucesivamente cada año. De este modo las ramas más bajas del pino son más complejas que las superiores y más ramificadas. Contandos los nudos de ramificación de las ramas bajas se puede conocer la edad del árbol.

Este método es aplicable hasta que el árbol tiene 20 ó 25 años. A partir de entonces las ramas más bajas van muriendo por falta de luz y hay que aplicar otras técnicas.

Un clásico de Biología Celular:Un glóbulo blanco persiguiendo a una bacteria

¿Qué es lo que estamos viendo?

Se trata de un neutrófilo (un tipo de glóbulo blanco, la defensa de nuestro organismo), persiguiendo y finalmente fagocitando a una bacteria. Sí, aunque parezca extraño, el bueno es el grandullón y el malo la cosa chiquitita que huye despavorida.

Sopas de letras curiosas ....¡ qué sopas!

Terence Tao, geniomatemático.... (Tomado de Gaussianos)

Mucho hemos hablado sobre las medallas Fields en este blog (Perelman la recibe, Perelman la rechaza y explicamos algo sobre su demostración). Pero sólo en uno de esos posts hemos comentado que no sólo Grigori Perelman ha recibido este galardón en el ICM2006. Otros tres matemáticos ha sido premiados con esta distinción este año: Andrei Okounkov, Wendelin Werner y Terence Tao, el protagonista de este post.

Terence Tao es miembro del Departamento de Matemáticas de la Universidad de UCLA. Sus trabajos abarcan muchas áreas de las Matemáticas: análisis armónico, ecuaciones en derivadas parciales, teoría de números analítica…Precisamente por sus aportaciones a estos 3 campos ha recibido este galardón (aquí os dejo un enlace con información sobre sus trabajos y aquí una entrevista hecha en el ICM2006).

Pero la razón principal de este post es que conozcamos a este hombre, que sepamos cómo ha sido su vida:

Como dice el título del post, Tao es un auténtico genio, pero no sólo ahora, lo ha sido durante toda su vida. A los 2 años de edad ya sumaba y restaba usando unos números magnéticos que sus padres le colocaron en la nevera. A los 8 años obtuvo una puntuación mayor que el 99% de los chicos de 17 años que iban a entrar en la universidad en unos tests de aptitud internacionales de Matemáticas. Con 9 años comienza en la universidad (¿?); con 10, 11 y 12 años compite en la Olimpiada Matemática Internacional y consigue bronce, plata y oro, respectivamente. Obtiene la Licenciatura en Matemáticas con 16 años en la Universidad de Flinders y con 21 un Doctorado en la Universidad de Princeton. Actualmente es profesor y catedrático de la Universidad de UCLA, donde está desde los 24 años (yo, aún acabando 2 años antes que la media en mi plan de estudios terminé con 24 años la carrera; las comparaciones son odiosas). Y ahora con 31 obtiene el premio equivalente al Nobel de Matemáticas.

¿Es o no una vida de película?

Fuentes:
The Sidney Morning Herald
Conferencia plenaria: Terence Tao
Más información sobre Terence Tao en la Wikipedia (versión inglesa).

NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
Aprendizaje Esperado: Conocen la ecuación vectorial y analítica de un plano en el espacio y consideran las condiciones de paralelismo entre planos.
Fuente: Programa de Estudio. Cuarto Enseñanza Media. MINEDUC.
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(Ejercicio y desarrollo tomado íntegramente del texto del Mineduc)

Ejercicio:
Determinar la ecuación analítica y vectorial del plano que interesecta a los ejes del sistema
de coordenadas en los puntos (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1).

Solución:

Para determinar su ecuación vectorial se puede trasladar este plano en el vector –1(0,0,1).
Con esta traslación los puntos de intersección (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1) se trasladan a las
ubicaciones (1, 0, –1); (0, 1, –1); (0, 0, 0), lo que permite establecer la ecuación de este plano que
pasa por el origen.

De acuerdo a esta representación, si a y b son parámetros reales
(x, y, z) = α (1, 0, –1) + β (0, 1, –1)
es la ecuación vectorial del plano que pasa por el origen y es paralelo al plano que intersecta a los
ejes X, Y, Z en los puntos (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1).
Y, en consecuencia,
(x, y, z) = (0, 0, 1) + α (1, 0, –1) + β (0, 1, –1)
es la ecuación vectorial del plano pedido.
Para continuar con el análisis vectorial y profundizar en el tema, se puede analizar una ecuación
como la siguiente:
(x, y, z) = (1, 2, 3)+ α (1, 0, –1) + β (0, 1, –1)

Se podría llegar a generalizar que
(x, y, z) = (a, b, c)+ α (1, 0, –1) + β (0, 1, –1)
son todos los planos que pasan por el punto (a, b, c) paralelos al plano que intersecta a los ejes X, Y,
Z en los puntos que tienen una distancia 1 desde el origen.
Desde el punto de vista analítico, en relación con el plano que intesecta los tres ejes a una distancia
1 del origen, apoyándose en lo vectorial ya estudiado,
(x, y, z) = (0, 0, 1) + α (1, 0, –1) + β (0, 1, –1)
se puede anotar: x = α; y = β; z = 1 – α – β
de donde x + y + z = 1 es la ecuación analítica del plano pedido.
En forma similar, se pueden analizar otros planos paralelos.
Así se puede obtener que
(x, y, z) = (1, 2, 3)+ α (1, 0, –1) + β (0, 1, –1)
es la ecuación vectorial en tanto que
x + y + z = 6
es la ecuación analítica del mismo plano.
Asimismo, se puede pedir que conjeturen sobre expresiones analíticas de la forma
x + y + z = k

NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: I. Algebra y Funciones.
Aprendizaje Esperado: Resuelven problemas acerca de fenómenos de distintos ámbitos que se modelan a través de la función exponencial y logarítmica.
Fuente: Programa de Estudio. Cuarto Enseñanza Media. MINEDUC.
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Investigaciones médicas afirman que el riesgo R, expresado en porcentaje, que tiene una persona de sufrir un accidente mientras conduce un vehículo bajos los efectos del alcohol, está dado por la expresión:

Donde x es la concentración porcentual de alcohol en la sangre y k es una constante.

I) Clacular la constante sabiendo que una concentración de 4% de alcohol en la sangre significa un riesgo de un 10% de tener un accidente.

II) ¿Cuál es el rango de validez del modelo?

x es la concentración del alcohol en la sangre, en el marco de otros fluidos .... la función es válida para concentraciones menores (bastante menores) que el 100%. Imagínense que alguien tuviera en la sangre un 100 % de alcohol, eso quiere decir que estaría muerto porque no tendría sangre alguna.

NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
Aprendizaje Esperado: Analizan gráfica y analíticamente algunos fenómenos o situaciones que se modelan por una función potencia y estudian esas funciones considerando la paridad del exponente, variaciones en los valores de los parámetros, restricciones en el dominio y explicitación de recorrido.
Fuente: Programa de Estudio. Cuarto Enseñanza Media. MINEDUC.
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Se desea hacer una caja de cartón con forma de paralelepípedo recto de base cuadrada, que tenga el mayor volumen posible, sabiendo que se dispone de 1,2 m de cinta decorativa para pegarle en todas las aristas y que se quiere pegar toda la cinta.

Volumen y Restricción de ocupación de toda la cinta:

Luego graficando la función:

De donde se obtiene que habrá máximo volumen cuando la arista de la base mida 1 dm. Nótese que el gráfico no tiene sentido para valores de arista negativa.

NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidad.
Aprendizaje Esperado: Describen y comparan distribuciones de datos utilizando representaciones gráficas, calculando, comparando y relacionando indicadores de tendencia central y dispersión.
Fuente: Programa de Estudio. Cuarto Enseñanza Media. MINEDUC.
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Las dos tablas que siguen resumen las notas obtenidas en una misma prueba de matemáticas, aplicada a dos cursos diferentes.

Calcular para ambos cursos el valor de la media aritmética y de la desviación estándar; hacer un gráfico de tallo para corroborar lo descubierto con las desviaciones estándar.

Ambos cursos obtienen el mismo promedio. Pero hay más variabilidad en el primer curso. Allí algunos educandos se escapan hacia los dos extremos .... En cambio en el segundo curso, el nivel de todos es más parejo porque la desviación de la media es menor .... esto se ve en el diagrama de tallo, para el mismo tronco:

Comparando Grafos ....

NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidad.
Aprendizaje Esperado: Analizan distribuciones de datos a partir de gráficos, indicadores de tendencia central y de dispersión.
Fuente: Programa de Estudio. Cuarto Enseñanza Media. MINEDUC.
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Considerar los siguientes gráficos de barra, que representan los mm de agua caída en dos ciudades diferentes, durante los primeros días de un mes.


I. ¿Qué puede decir de la cantidad de agua caída en esos días en las dos ciudades?
El grafo de la ciudad A muestra MAYOR variabilidad de los milímetros caídos en los días en cuestión.

Los días 1ro. a 4to. los mm caídos se mantienen en 30 mm.

Los días 6to. y 9no., las precipitaciones son iguales a 12,5 mm.

Los días 7mo., 8avo. y 10mo. se alcanzan 10 mm.

Sin embargo, en esta ciudad (A) hay variación en la pluviosidad, respecto de la ciudad B, que se mantiene constante en 20 mm. en todos y cada uno de los días representados en el gráfico.

En la ciudad A, la lluvia tiende a bajar aunque no de manera monótona.

Puesto que en la ciudad B no hay variabilidad, entonces, la desviación estándar es 0 (cero).

En cambio en la ciudad A, por haber variabilidad, la desviación estándar es distinta de cero. Calculemos usando EXCEL:


II. ¿Cuál es la media aritmética de mm de agua caída en cada ciudad?

Media ciudad A = (30x4 + 20 + 12,5x2 + 10x3)/10 = 19,5

Media ciudad B = 20, pues el valor se mantiene constante = (10x20)/10 = 20.

Multiplicación de Probabilidades

NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
Aprendizaje Esperado: Realizan experimentos y resuleven problemas que involucran la multiplicación de probabilidades; discriminan sucesos independientes.
Fuente: Programa de Estudio. Tercero Medio. MINEDUC.
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Lanzar una moneda y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener "sello" y "tres"?

Ambos sucesos son independientes.

La probabilidad de sacar un "sello" al lanzar una moneda es 1/2

La probabilidad de sacar un "tres" al lanzar un dado es 1/6

La probabilidad que involucra a los sucesos independientes es 172 x 173 = 1/12

Lo que se puede corroborar en el gráfico:

Círculo Unitario

NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
Aprendizaje Esperado: En el círculo unitario establecen las funciones de senoy coseno. Construyen artesanalmente y con algún programa de computación o calculadora gráfica los gráficos de ambas funciones.
Fuente: Programa de Estudio. Tercero Medio. MINEDUC.
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Sistemas de Inecuaciones Lineales con Una Incógnita.

NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
Aprendizaje Esperado: Resuelven inecuaciones y sistemas de inecuaciones con una incógnita; expresan las solciones en forma gráfica y en notación de desigualdades; analizan las soluciones y su pertinencia.
Fuente: Programa de Estudio. Tercero Medio. MINEDUC.
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Resolver sistemas de inecuaciones, graficar las soluciones y expresarlas algebraicamente:

Solución:

a)


Veamos la primera inecuación:
3x + 1 > 5
3x > 5-1
3x > 4
Dividiendo por 3 (positivo)
x>4/3

Veamos la segunda inecuación:


5x - 2 >-4
5x > -4+2
5x > -2
Dividiendo por 5 (positivo)
x>-2/5

Se deben cumplir AMBAS condiciones, por tanto la solución es: x>4/3, sin contar 4/3

Veamos gráficamente:
La solución es lo rojo ("al infinito y más allá"), pero sin contar el 4/3

Analicemos ahora el sistema b)

La Primera Inecuación:
3x + 1 > 7
3x > 7-1
3x > 6
x>2

La Segunda Inecuación:
5x - 2 < 8
5x < 8+2
5x < 10
x < 2
No hay ningún número que satisfaga ambas inecuaciones simultáneamente. NO hay solución. Si estas se plantearan como inecuaciones NO estrictas (usando cada una el igual), la solución sería el número 2.

Desafío PSU - La Nación

De 120 estudiantes encuestados se sabe:
60 estudian francés.
50 estudian Inglés.
20 estudian ambos idiomas.
¿Cuáles de las siguientes alternativas son verdaderas?

I. La probabilidad de escoger un estudiante que no estudie francés ni inglés es cero.
II. La probabilidad de escoger un estudiante que estudie francés e inglés es 1/6.
III. La probabilidad de escoger un estudiante que estudie sólo uno de los dos idiommas es 7/12.

A) Sólo I. ; B) Sólo III. ; C) I y II. ; D) I y III. ; E) II y III.

Grafiquemos la situación:

De este grafo se desprende que:

I. Es FALSA, porque hay 30 que no estudian ningún idioma.

II. Es verdadera, 20/120 = 1/6 estudia ambos idiomas.

III. Es verdadera, (40+30)/120 = 70/120 = 7/12 estudian uno de los idiomas, NO ambos.

Alternativa E) II y III.

Desafío PSU - La Nación

Raúl tiene una bolsa con cuatro bolitas de diferentes colores y una de ellas es roja. Al sacar las bolitas una a una (sin reponerlas), ¿Cuál es la probabilidad de que la roja salga al último?

A) 1/4
B) 1/5
C) 1/6
D) 5/24
E) Ninguna de las anteriores.

Cuando uno enfrenta la bolsa, la probabilidad de no sacar la roja es 3/4. Se saca una bola que no es roja.

Luego, habiendo tres, una roja. La probabilidad de no sacar la roja es 2/3. Y se saca una bola que no es roja.

Entonces, habiendo 2, una roja, la probabilidad de no sacar la roja es 1/2. Se saca la que no es roja

Y, la probabilidad de sacar la roja, habiendo una roja es 1.

El proceso encadena sucesos independientes.

La probabilidad pedida es: (3/4) x (2/3) x (1/2) x 1 = 1/4. Alternativa A)

Maximizando capacidades

NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
Aprendizaje Esperado: Utilizan un gráfico de la función cuadrática para resolver problemas que involucran máximos y mínimos de la función.
Fuente: Programa de Estudio. Tercero Medio. MINEDUC.
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Para la fabricación de canaletas para las aguas lluvia se dispone de láminas de 30 cm de ancho. ¿Cuál es la medida para hacer los dobleces de modo que se obtenga una canaleta de máxima capacidad?


Pensemos en una unidad de volumen como la siguiente, eligiendo como "x" la medida de los dobleces:

La idea es maximizar este volumen, es decir, maximizar: V= x(30-2x)1

Pero como el fondo elegido es unitario, el probelma equivale a maximizar el área o la sección que llevará caudal.

Debemos maximizar entonces A(x) = x(30-2x)

Veamos la gráfica:

Así, se ve a simple ojho, que la función alcanza un máximo en x=7,5 cm.

Eso se puede comprovar en la expresión analítica de las coordenadas del vértice de una parábola:

Acá f(x) es : x(30-2x) ..... donde "a" es el valor que acompaña a la x al cuadrado, b es el valor que acompaña a x.

a= -2 ; b= 30

-b/(2a) = - 30/(2 x (-2)) = -30/-4 = 7,5

Lo que intuíamos del grafo.

Crecimiento Lineal vs. Crecimiento modelado por Raíz Cuadrada

NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
Aprendizaje Esperado: Comparan entre crecimiento lineal y crecimiento modelado por la raíz cuadrada.
Fuente: Programa de Estudio. Tercero Año Medio. MINEDUC.
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Luisa llega a un acuerdo con su profesor de ciencias par rendir una prueba de recuperación. Ella obtuvo un 3,5 en una prueba y quiere subirlo. El profesor le acepta a condición de que ambas notas, el 3,5 y la que obtenga, se promedien geométricamente. Un compañero que tuvo un 2,1 se incorpora al acuerdo. Analizar.

La media aritmética para Luisa sería:

La gráfica será una recta !

La media geométrica para Luisa sería:

Veamos un grafo:

El crecimiento vía media está siempre por encima del crecimiento vía raiz cuadrada a excepción del punto en que la nota de la segunda prueba fuera 3,5. Le hubiese convendrido obviamente que la nota hubiese sido modelada por la media aritmética .... y NO por la media geométrica.

Pare el compañero de clases que se sacó un 2,1, NO HAY POSIBILIDAD DE QUE EN UNA ESCALA DE 1 A 7 PUEDA LOGRAR UN 4,0. Veamos:

Tendría que sacarse un 7,6 de nota !!!!! (Y en Chile la escala es hasta el 7)

Practicando una Homotecia en Computador - Geogebra

Centro: E
Razón de Homotecia: 1/2
Figura la la cual se le practica la homotecia es ABCD, para reducirla en área a la figura FIHG

Nota:

1) No encontré un menú que hiciera la homotecia dada la figura, el centro de homotecia y la razón de homotecia. Quizás EXISTE!

2) Lo que hice fue buscar -con ayuda del programa- los puntos medios del trazo que unió cada vértice con el centro de homotecia (E), luego dibujé la figura !!!!!

f(x)=unza unza time!

Una peli muy matemática !!!!!

Kusturica

NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
Aprendizaje Esperado: Relacionan la operatoria de números fraccionarios con la operatoria de las expresiones algebraicas fraccionarias; establecen analogías y diferencias.
Fuente: Programa de estudio. Segundo año Medio. MINEDUC.
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Puedes ver en este paralelo, sumas de fracciones numéricas en comparación con sus similares algebraicas .....

Midiendo con las sombras

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

Aprendizaje Esperado: Estiman distancias o alturas aplicando la semejanza de triángulos; describen las relaciones que justifican la validez de sus estimaciones.

Fuente: Programa de estudio. Segundo año Medio. MINEDUC.

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Exprese la relación que permite calcular la altura del árbol.

Nota: Para una misma hora, la razón entre la longitud de un objeto y de su sombra es la misma.

d, ED y DF son cantidades conocidas.

Semejanza, Homotecia

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

Aprendizaje Esperado: Realizan ampliaciones y reducciones de figuras; utilizan el dibujo a escala e interpretan mapas, planos, dibujos, fotografías u otras formas de representación que utilice el dibujo a escala.

Fuente: Programa de estudio. Segundo año Medio. MINEDUC.
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Construir por homotecia dos figuras semejantes. En la Figura, O es el centro de homotecia, ABCD es la figura original y la razón de homotecia es 1/2.

Una Homotecia es una TRANSFORMACION en el PLANO, que permite obtener un polinomio semejante a otro polígono dado. Se dice que "k" es el factor de conversión o escala de conversión de una homotecia, siendo k la razón entre las medidas de los lados correspondientes de los polígonos semejantes ..... Por eso el trazo correspondiente a "AD" debe medir la mitad de 10=5 cm.

Nota: Bucar Homotecia en este mismo BLOG! (Buscador Interno o en las Etiquetas)

Practicando la Homotecia;

Cajas y Fichas .....

NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
Aprendizaje Esperado: Analizan y resuelven problemas que involucran el cálculo de probabilidades asociado a un experimento aleatorio sencillo, utilizando la fórmula de Laplace y distinguiendo los casos de equiprobabilidad, de certeza y de probabilidad cero.
Fuente: Programa de estudio. Segundo año Medio. MINEDUC.

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1) ¿De cuál de estas cajas es más probable sacar una ficha verde?

2) ¿Si se quiere, en cada caja, tener la misma probabilidad de sacar una ficha verde, qué cambios se podría hacer?

Llamemos Primera caja a la de la iquierda, Segunda caja a la del centro, la tercera es la que queda.

1)

P(verde en primera caja) = 2/5 = 0,4

P(verde en la segunda) = 3/8 = 0,375

P(verde en la tercera) = 3/6 = 0,5

Hay mayor probabilidad en la tercera caja !!!

2)

Propongo el siguiente arreglo para dejar igual la probabilidad de verde en cada caja (hay otro?)

Un chiste matemático

Un chiste matemático de un libro de John Allen Paulos (al parecer de El hombre anumérico, un imprescindible de la divulgación matemática).

Un astrofísico, un físico experimental, un físico teórico y un matemático van en tren por Escocia. En lo alto de una loma divisan una oveja negra pastando.

El astrofísico dice: “¡Eh! ¡Las ovejas en Escocia son negras!”.

El físico experimental le mira con cara de compasión y dice “Querrás decir que en Escocia algunas ovejas son negras”.

El físico teórico arquea las cejas y dice “Es más correcto decir que al menos una oveja es negra en Escocia”.

El matemático, mirando al cielo como solicitando ayuda, recita “En Escocia existe al menos un prado que contiene al menos una oveja que es negra al menos por uno de sus lados”.

Desafío PSU - La Nación

¿Cuál es la probabilidad de obtener tres números consecutivos al lanzar tres dados?

A) 2/9
B) 1/9
C) 1/54
D) 1/2
E) Ninguna de las anteriores.

Los tríos que forman ternas conscutivas son:

(1,2,3) - (2,3,4) - (3,4,5) - (4,5,6)

cada uno de estos tríos se puede ordenar de 6! formas = 3 x 2 = 6 formas, porque importa el orden en que los nñumeros salgan en los dados. Veamos por ejemplo el primer trío:

Puden salir:
123 - 132 - 213 - 231 - 312 - 321

Luego los casos favorables son: 3! x 4 = 24
Los casos totales son: 6 x 6 x 6 = 216

La Probabilidad pedida es: 24/216 = 1/9

Sustituye al MAGO (de El Agujero - Web, linkeada en este Blog)

Desde el escenario, el Mago pide un voluntario para el próximo truco. Una chica se levanta entusiasta y sube de dos en dos las escalerillas laterales.

- ¡Aquí llega nuestra ayudante! ¡Un fuerte aplauso para ella! ¿Te llamas...?
- Susana.
- ¡Susana! Bien, Susana, ¿cómo vas de transmisión del pensamiento?
- ¡Uf! No lo llevo nada bien ... ríe.
- Ahhhh, no me lo creo, no me lo creo. Verás: vamos a realizar un proceso que despertará tu capacidad de telepatía. Piensa un número. ¡No me lo digas! El que tú quieras. ¿Ya? Bien, escríbelo en esta pizarra para que pueda verlo nuestro público.
El Mago se sitúa detrás de la pizarra, desde donde no puede ver lo que Susana escribe. Susana escribe el número.
- Bien. Escribe el número al revés, desde la última cifra a la primera. Ahora tienes dos números, el tuyo y el número invertido. Suma tu edad al mayor. Ahora resta el menor del mayor.
Susana hace la resta y la escribe en la pizarra.
- Ya.
- ¡Perfecto! Ahora suma las cifras del número que has obtenido (el resultado de la resta), y vuelve a hacer lo mismo con las cifras del número que obtengas, y así hasta que te quede una sola cifra.
- Mmmmm... ¡ya!
- Bien. Cuando me digas el resultado, esa única cifra, con ella me transmitirás tu edad por medio del pensamiento. ¿El resultado que has obtenido es...?
El Mago se concentra.
- Seis.
- ¡Ah! ¡Ya noto tu pensamiento! ¡Sí!
La luz cae sobre el Mago y Susana.
- ¡Viene, viene el número! ¡Es un par, creo!¡Tienes...!

¿Cuántos años tiene Susana?

RESPUESTA en los Comentarios ....

Análisis para un número de 3 cifras (por el Blogger: Ya viene)

Veamos un ejemplo:

Pienso en el número 128 y mi edad es 46 (sin mentir!)
Lo invierto: 821
Sumo mi edad al mayor: 821 + 46 = 867.
Resto el menor del mayor: 867 -128 = 739
Sumo las cifras: 7+3+9 = 19 (Como todavía hay dos cifras)
Sumo las cifras: 1 + 9 = 10 (Como todavñia hay dos cifras)
Sumo las cifras: 1+0 = 1

Bueno, si el resultado es 1, obviamente esto vino del 10. Las cifras de la edad sumaban 10.
Esto puede ser dado por los pares:
(1,9)
(2,8)
(3,7)
(4,6)
(5,5)
(6,4)
(7,3)
(8,2)
(9,1)
Aquí es cuando el ojo del Mago sirve, porque Claudio no tiene 91 (par (9,1)), pero ojo, que puede llevar a equívocos!

Veamos esto con un poco de álgebra:
Llamemos u,d,c las cifras del número pensado. Siendo u>c
Sean X,Y las cifras de las decenas y unidades de la edad, respectivamente.
Número pensado: 100c+10d+u (Número menor pues u>c)
Edad: 10X+Y
Número mayor: 100u+10d+c
Número mayor + la edad = 100u+10d+c+10X+y
Resta: 100u+10d+c+10X+Y-(100c+10d+u)=100(u-c)+c-u+10X+Y
Arreglando:
100(u-c) + 10 X + (c-u+y)
Sumando las cifras de este número:
(u-c) + X + (c-u+Y) = X + Y
Que es la suma de los dógitos de la edad !!!!!

Desafío PSU - La nación

¿En cuál de las anteriores opciones se representan las gráficas de: ...... ?

Solución:

f(x) es la curva simétrica respecto del eje Y, que tiene su vértice en (0,0). Sus ramas se abren hacia arriba, pues a=1, es positivo.

La otra es una parábola con las ramas hacia abajo porque a=-1, en g(x).

Hay una parábola abierta acia arriba y otra hacia abajo. Todo lo anterior descarta C) , D) y E).

en g(x) transformamos factorando:

g(x) = 4x(3-x) = 0, donde las raíces son 0 y 3; luego, A) es la correcta !

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.

Aprendizaje Esperado: Analizan y resuelven problemas que involucran el cálculo de probabilidades asociado a un experimento aleatorio sencillo, utilizando la fórmula de Laplace y distinguiendo los casos de equiprobabilidad, de certeza y de probabilidad cero.

Fuente: Programa de estudio. Segundo año Medio. MINEDUC.

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Reparir los números del 1 al 12, al interior de grupos de 4 estudiantes, como lo indica el dibujo:

Se lanzan dos dados simultaneamente; la suma de los puntos selecciona a la persona que gana ese juego ..... ¿En qué grupo convendría estar?

P (sume 1) = 0 (No hay posibilidad, suceso imposible, dos dados nunca sumarán 1)

P (sume 2) = 1/36 (par (1,1))

P (sume 3) = 2/36 (pares (1,2) y (2,1))

Total Grupo 1 = 3/36

P (sume 4) = 3/36 (pares: (1,3) (2,2) (3,1))

P (sume 5) = 4/36 (pares: (1,4) (4,1) (2,3) (3,2))

P (sume 6) = 5/36 (pares: (1,5) (5,1) (2,4) (4,2) (3,3))

Total Grupo 2 = 12/36

P (sume 7) = 6/36 (pares: (1,6) (6,1) (2,5) (5,2) (3,4) (4,3)

P (sume 8) = 5/36 (pares: (2,6) (6,2) (3,5) (5,3) (4,4))

P (sume 9) = 4/36 (pares: (3,6) (6,3) (4,5) (5,4)

Total Grupo 3 = 15/36

P (sume 10) = 3/36 (pares: (4,6) (6,4) (5,5))

P (sume 11) = 2/36 (5,6) (6,5)

P (sume 12) = 1/36 (6,6)

Total Grupo 4 = 6/36

Conviene el grupo "3"

Matemáticas en el Antiguo Egipto ....

La hija Nicolasa está estudiando el Egipto Antiguo, en su clase de Segundo Básico. Todavía no ha tomado tema, pero yo me adelanto a la posibilidad de que tiviese que indagar en torno a las matemáticas en este pueblo .... Veamos mi investigación, tomada del la revista UNIÓN, linkeada en este Blog:

La Matemática en Egipto

La civilización egipcia comienza en el año 3100 A.C. y termina con la conquista de Alejandro el Magno en el 332 A.C. Por razones geográficas los egipcios tuvieron un desarrollo relativamente tranquilo; fueron gobernados por sucesivas dinastías de faraones quienes pensaban que la matemática tenía un origen divino y por tanto fue cultivada por los sacerdotes, quienes además conservaban el conocimiento en general. Herodoto decía que la geometría surgió en Egipto a causa de los continuos desbordes del río Nilo lo que motivó el surgimiento de ciertos instrumentos de medición y de ciertas reglas prácticas para calcular áreas de terrenos; surgió un sistema de longitud. Las grandes Pirámides son un testimonio histórico del valor de la aplicación de la matemática; aún cuando la geometría egipcia era práctica y utilitaria, esta aplicación mereció la admiración universal.

Conocemos a la matemática egipcia (al menos hasta ahora) gracias a dos documentos encontrados en el siglo XIX, el Papiro de Moscú (1850 A.C.) y el Papiro de Rhind (1650 A.C.), los cuales contienen una valiosa información de la matemática de entonces; el Papiro de Moscú contiene 25 problemas y el de Rhind 84. La matemática egipcia se reduce a la aritmética y a la geometría; practicaron también algunas observaciones astronómicas; esta civilización ocupa un lugar importante en la evolución de la matemática.

Un problema planteado y resuelto por los Egipciones:

Pruebe que de todos los triángulos que tienen un par de lados dados, el mayor es aquel en que esos lados son perpendiculares.

Innovaciones Educativas: Moodle, la nueva plataforma educativa

¿ Qué es MOODLE ? (Wikipedia)

Moodle es un sistema de gestión de cursos de distribución libre que ayuda a los educadores a crear comunidades de aprendizaje en línea. Este tipo de plataformas tecnológicas también se conocen como LMS (Learning Management System).

Moodle fue creado por Martin Dougiamas, quien fue administrador de WebCT en la Universidad Tecnológica de Curtin. Basó su diseño en las ideas del constructivismo en pedagogía que afirman que el conocimiento se construye en la mente del estudiante en lugar de ser transmitido sin cambios a partir de libros o enseñanzas y en el aprendizaje colaborativo. Un profesor que opera desde este punto de vista crea un ambiente centrado en el estudiante que le ayuda a construir ese conocimiento con base en sus habilidades y conocimientos propios en lugar de simplemente publicar y transmitir la información que se considera que los estudiantes deben conocer.

La primera versión de la herramienta apareció el 20 de agosto de 2002 y, a partir de allí han aparecido nuevas versiones de forma regular. Hasta julio de 2008, la base de usuarios registrados incluye más 21 millones, distribuidos en 46 000 sitios en todo el mundo y está traducido a más de 75 idiomas

Rudimentos sobre Inteligencia Artificial - Wikipedia

Pro

Diccionario Matemáticas - Maravillosas!

Redes Neuronales (Artificiales): Las redes de neuronas artificiales (denominadas habitualmente como RNA o en inglés como: "ANN") son un paradigma de aprendizaje y procesamiento automático inspirado en la forma en que funciona el sistema nervioso de los animales. Se trata de un sistema de interconexión de neuronas en una red que colabora para producir un estímulo de salida. En inteligencia artificial es frecuente referirse a ellas como redes de neuronas o redes neuronales.

Sistemas Expertos: Los sistemas expertos son llamados así porque emulan el comportamiento de un experto en un dominio concreto y en ocasiones son usados por estos. Con los sistemas expertos se busca una mejor calidad y rapidez en las respuestas dando así lugar a una mejora de la productividad del experto.

Programación Genética: Programación Genética consiste en la evolución automática de programas usando ideas basadas en la selección natural (Darwin).

¿Se han juntado Matemáticas y Derechos Humanos? OBVIAMENTE !!!!!

Souvenirs sur Sofia Kovalevskaya

Escrito por Redacción Matematicalia
lunes, 20 de octubre de 2008
Título: SOUVENIRS SUR SOFIA KOVALEVSKAYA
Autora: Michèle Audin
Editorial: Calvage et Mounet (colección Orizzonti)
Páginas: 220
Formato: 20 x 26 cm
Idioma: francés
Fecha de publicación: octubre de 2008
ISBN: 978-29-163-5205-3

INFORMACIÓN EDITORIAL

Cuando muere en Estocolmo en 1891, Sofia Kovalevskaya sólo tiene 40 años. Sin embargo tiene una vida de gran intensidad. Sus estudios y después su carrera científica la conducen de Moscú a Berlín, París o Estocolmo, a través de Europa. Defiende una tesis en matemáticas, es nombrada catedrática de universidad, edita una importante revista, escribe libros, milita por la causa de la defensa de los derechos de las mujeres, educa a su hija,... Hoy en día esta trayectoria parece clásica, pero en su época estaba fuera de lo común. Un poco más de un siglo después, Michéle Audin, también matemática, universitaria y escritora, vuelve a trazar la vida de esta mujer excepcional, con un respeto, una admiración y un cariño que sólo pueden producir la adhesión de los lectores. Con ella, compartirán las pasiones e indignaciones de Sofía, se sumergirán en el mundo que le rodeaba. Descubrirán también sus matemáticas. Michéle Audin no duda, en efecto, en presentarnos en detalle las cuestiones que Sofía trató, dando así también a los amantes de las matemáticas una manera de alimentar su pasión. Los demás, que podrán tal vez omitir los pasajes demasiado técnicos, no se sentirán al margen.

Con un enorme rigor, con su gran talento de narradora, Michéle Audin nos ofrece una auténtica obra de historiadora, un gran testimonio humano y un relato cautivador.

Como es costumbre en este BLOG, pedí a Claudia Drago, una querida educadora, me diera su testimonio de relación con las mates ....

Bueno, después no te arrepientas jaja, aquí va:

Cuando estaba en el colegio, las matemáticas me parecían una cosa horrorosa y, sobre todo, una pérdida de tiempo. ¿de qué podían servir una sarta de números y símbolos que no ayudaban en nada a transformar la realidad y a hacer mejor la vida? pensaba yo...como decía el chiste aquel :¿si a es igual a b por qué diablos se llaman distinto??? sobre todo en un período (años 1983-1985) en que lo principal era luchar contra la dictadura.

Hasta que apareció en mi vida la geometría!! y ella me hizo reconciliarme con las mates. Era un placer saber que los ángulos complementarios medían tanto (ya se me olvidó cómo era :) y que a partir de eso una intrincada madeja de ángulos incógnitos mágicamente podían ser calculados... No sé por qué, pero descubrí mi veta matemática-geométrica y fue mi salvación. De los eternos promedios 4 en matemáticas, pasé a tener sobre 6... Bueno, igual agradecí que en la Universidad sólo tuviera que hacer un ramo de estadística, en el cual, para mi sorpresa, me fue muy bien.

Humanista como soy, las matemáticas siguen pareciéndome algo intrincado, pero sé que ocupan un lugar importante en el hacer del hombre, sobre todo después de conocer a dos amigos matemáticos, ingenieros y profes que me han demostrado que no existen compartimentos estancos, que nada de lo humano les es ajeno y que las matemáticas colindan con la filosofía, la política, el arte y la vida, en general. Eso pues compañero. Un abrazo, Claudia.

Peso Posicional de Cifras - Desafío PSU - Preu. P. de Valdivia

En un número de tres cifras, el dígito de las centenas es una unidad mayor que el de las decenas y la suma de los tres dígitos es 12. Si se intercambian los dígitos de las unidades y las decenas, el número aumenta en 45. ¿Cuál es el producto de los tres dígitos?

A) 60
B) 42
C) 30
D) 21
E) 18

Respuesta: en la semana
Alternativa: en los comentarios .....

Llamemos
u: a la cifra de las unidades.
d: a la cifra de las decenas.
c: a la cifra de las centenas.

1) c=d+1 (el dígito de la centenas es una unidad mayor que el de las decenas)
2) u+d+c=12 (los tres dígitos suman 12)
3)
el número en cuestión es: u+10d+100c
el número con cifras alternadas: d+10u+100c
luego:
100c+10d+u+45=100c+10u+d (si se intercambian ....)

y si trabajamos esta ecuación se la puede reducir .... a ..... 9d-9u=-45

Luego aparece este sistema de 3 x 3:

1) c=d+1
2) u+d+c=12
3) 9d-9u=-45

Sustituyendo c=d+1 en las ecuaciones 2) y 3)

2d+u=11
9d-9u=-45

d=2
c=3, entonces
u=7

El número es 327
la suma de las cifras es 12.

Con estas señoritas, me despido x este FIN de semana

de Francisca Lagos, Señoritas !

Ruletas Girando ....

NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
Aprendizaje Esperado: Realizan distintos juegos de azar, determinan las condiciones en que podrían ganar, aplican la definición canónica de porbabilidad y la noción de independencia de los eventos.
Fuente: Programa de estudio. Segundo año Medio. MINEDUC.
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Se dispone de discos hechos en cartulina que pueden girar sobre una base que tiene una flecha indicadora.

Si se hacen girar sucesivamente los discos del dibujo, ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números indicados por la flecha sea par, considerando que cada disco está dividido en (sólo) tres ángulos congruentes? Hacer una tabla de valores de los casos posibles y de los que cumplen las conciones pedidas.

El funcionamiento de una de las ruletas no condiciona el de la otra. Y cada suceso elemental (un par de números, donde uno proviene de la primera ruleta y el otro de la segunda) es equiprobable, aplicamos la Ley (Regla) de Laplace o definición canónica de probabilidad, de acorde a la siguiente tabla:

Acorde a la Regla de Laplace (Buscar en este Blog), hay 5 casos favorables de un total de 9 casos posibles, entonces la probabilidad pedida es

5/9