"Educar no es llenar un recipiente, sino encender una hoguera ..."

por amor a las matemáticas .....

por amor a las matemáticas .....
"Yo vivo de preguntar, saber No puede ser lujo" (Sylvio Rodríguez)

Guías Mates Asociadas

Para contactarte conmigo:

mail: psumates2009@gmail.com

Rivers de Ennio Morricone

Pienso en MATEMÁTICAS ..... pero NO sólo en esto

lunes, 30 de junio de 2008

Suma de Cuadrados - TRUCO Asqueroso pero Bellísimo !!!!!

Pensemos en la igualdad:Vamos a sustituir consecutivamente en esta igualdad, n por (n-1); por (n-2), etc., hasta llegar a la unidad. Esto nos conducirá a las siguientes igualdades:



Sumemos todas estas igualdades. Si hacemos esto, es posible hacer muchas simplificaciones. De la columna de los sumandos del primer miembro, desaparecerán todos excepto:


en tanto que de la columna de los primeros sumandos del segundo miembro desaparecerán todos los sumandos excepto el último, 1 al cubo.


Seguidamente, se de la columna de los segundos sumandos del segundo miembro se saca el factor común 3, evidentemente quedará la suma que buscamos S, que ha de ser hallada (elipse morada).

Del mismo modo, la columna de los terceros sumandos del segundo miembro nos dará la suma triplicada de los números naturales (elipse verde claro).


la suma de los n unos es igual a n (elipse negra) ....

Lo anterior queda entonces:

Bellísimo!!!!

Y nos servirá en el próximo posteo, cuando tratemos de encontrar la fórmula del Volumen del Cono, haciendo uso de sumas infinitesimales ....

Volúmen de un CONO - Cálculo de su fórmula por Suma de cantidades Infinitesimales

idea: Lograr la Fórmula que nos da el volúmen del CONO en función de su radio basal (R: radio de la circunferencia de la base) y su altura (H).

El cono se caracteriza por los siguientes elementos (mínimos):


Por si están presurados(as), delantemos que el cono posee por volúmen la siguiente fórmula:
Volúmen de un Cono: Es igual a un tercio del producto del área de la base por su altura. O sea, debiésemos llegar a la siguiente fórmula o a una aproximación:El procedimiento consiste en pensar el CONO como la suma de muchas (infinitas) secciones con altura muy pequeña (infinitesimal).
Pero vamos a aproximar, es decir, pensaremos el cono como la suma de muchos cilindros de altura infinitesimal (muy pequeña) .... (Nota: lo bueno de este método es que SIRVE para calcular el volumen de muchas figuras y yo creo que fue utilizado por Newton, con lo que se dio paso al cálculo infinitesimal) En la medida que los cilindros son altura más pequeña, la pérdida de volumen se hace menor y ello nos permitirá tener una fórmula aproximada, pero muy cercana al volumen real, verdadero, no aproximado.

La anterior figura no es muy exacta, es de mi autoría y es difícil dibujar en PAINT. En ella hay cilindros de diferentes alturas, no son de igual altura. Ahora vamos a pensar en que todo esos cilindros poseen la misma infinitesimal altura: la división del cono es regular y uniforme.

Dividamos la altura (H) del cono en "n" partes iguales, cada una de estas pequeñas (e iguales) lomgitudes, será la altura de un cilindro infinitesimal. Veamos la siguiente figura:

Por los puntos de la anterior división, tracemos planos paralelos a la base del cono. Estos planos paralelos cortarán al cono en "n" capas.

Como ya hemos adelantado, tomaremos cada una de estas capas como cilindros. Esto no nos dará un resultado exacto, aunque para valorers cada vez más grandes valores de "n", el error se hará cada vez más imperceptible.

Desde el vértice del Cono, la distancia hasta el cilindro k será:

Si designamos por


al radio del k-ésimo cilindro elemental, tomado desde arriba, hallaremos que el volumen de ese cilindro elemental será:

Este valor de volumen es aproximado, pero mientras mayor sea el n (número de cilindros) menor será la altura de ellos y por tanto mejor la aproximación .... si Ud. mira la fórmula, al hacer n muy grande (1/n) tiende a cero .... y la fórmula se transforma en:

Que es la fórmula FINAL, EXACTA que deseábamos ------

MUY BELLO !!!!

Desafío respecto deltema SIMETRIA (Ejercicio propiedad del Blogger, todos los derechos COMPARTIDOS)


La figura muestra un sistema de coordenadas cartesianas, con diferentes trazos. Aquellos que se encuentran en el Primero y Segundo Cuadrante, se reflejan simétricamente respecto del eje X, generando una nueva corformación de trazos en el sistema de coordenadas cartesianas.

En la nueva conformación, ¿cuánto mide el trazo más largo?

A) 3
B) 2
C) 4
D) 1
E) No existe tal simetría.

Solución: Alternativa correcta es C)
Análisis del ejercicio:
Creo que el ejercicio es interesante pues incluye los siguientes tópicos:
1) Conocer el Ssistema de Coordenadas Cartesianas.
2) Distinguir cuáles son los cuadrantes I y II.
3) Conocer el concepto de distancia o longitud de un trazo.
4) Saber que es una Simetría.
5) Saber que es un eje de Simetría.
6) Saber seguir un protocolo para pasar de un estadio original a otro estadio.
Variante: Dibujar una sección del Sistema de Coordenadas Cartesianas, que no incluya el achurado para la simetría del trazo vertical de la figura inicial. Esto puede hacer significativa la alternativa E), ante lo cual deberán hechar mano a la concepción de que el Sistema de Coordenadas Cartesianas es infinito.
El Bloger !!!!!


Dibujando un SERRUCHO (nos valemos de la función parte entera)

FUNCION PARTE ENTERA:

Para dibujar los dientes de un serrucho, hacemos primero una escalera .....

MOTIVACION: Pensemos en un taxi y lo que cobra como tarifa. El taxi NO cobra fracciones de cuadras, sino cuadras enteras, subiendo por ejemplo, cada cuadra 150 pesos a la vez .... para ello nos sirve la famosa Función Parte Entera ....

La Función Parte Entera, crea un imagen para cada número, que es precisamente su parte entera y se la define formalmente como:


E(x) = n

Donde n es el mayor entero menor o igual a x.
Entonces, por ejemplo:

E(1,75)=1 ; E(2,0789999)= 2 ; E(19,32) = 19 ; E(-3,2) = -4 ; E(-10,00001) = -11

La gráfica tiene entonces la forma de una escalera, con saltos discontinuos en los números enteros:

Construcción de los dientes del SERUUCHO: Vamos a construir f(x) = x - E(x)


Y ahí tenemos nuestros serrucho buscado !!!!

Homenaje ..... Matemáticas con Lentes .....


En el cuadrado de 3x 3 ..... DESAFíO ....

(Pirateado a Erick Goles)

En el cuadrado de 3 x 3, poner todas las combinaciones de 2 pelotitas que no estén en línea vertical u horizontal .....

Solución:¿ Está bien?

En el cuadrado de 3 x 3 (trama de 3 x 3) ..... DESAFIO

RECORDEMOS el Posteo Anterior: En el cuadrado de 3 x 3, poner todas las combinaciones de 2 pelotitas que no estén en línea horizontal o vertical .....

DEMOSTRACION (+ bien mostración) de INVARIANTES:

Muestre que:

Q o Q = Q(Q(disposición cualquiera)) = disposición cualquiera

P o P = P(P(disposición cualquiera)) = disposición cualquiera

Donde :

Q: cambiar en simetría, cada pelota, respecto del casillero central.
P: cambiar los extremos (vértices) del cuadrado (rectángulo) que determinan las dos pelotitas.

Ojo: MOstrar NO es lo mismo que demostrar !!!!!

domingo, 29 de junio de 2008

Desafío ....

Todas las líneas deben sumar 15

En cada círculo, ubique un dígito (del 1 al 9), SIN REPETIR, cada uno de los 9 dígitos, de tal forma que en cada línea los números sumen 15.

(Ojo que también puede ser que sumen 12 .....) .... Solución para Suma 15

Ta gueno? .....

Palabras de gabriel Salazar - Premio Nacional de Historia 2006 - reafirman lo que piensa este Blogger !!!!!


"Por esto, es preciso considerar en serio el hecho de que la clase política de hoy [en su expresión estatal-parlamentaria, en sus partidos y en la persona de los políticos mismos) carece, para la gran masa ciudadana, de legitimidad, credibilidad y representatividad. Lo han dicho, lo dicen y lo repiten majaderamente todas las encuestas. La de la Universidad Diego Portales, la de El Mercurio Opina S.A., la de Flacso y sus socios, etc. El Congreso y el Poder Judicial marcan una credibilidad inferior a 17% (en una escala de 1 a 100), mientras los partidos políticos y los políticos mismos una inferior a 9%. Estas cifras configuran, sociológicamente, una grave crisis de representatividad y legitimidad. Al extremo grotesco de que, mientras hoy la más grande movilización de profesores, estudiantes secundarios y universitarios de toda la historia de Chile se pronuncia a lo largo de tres años seguidos contra un sistema educacional, los políticos vuelven la espalda a esta voluntad cívica -escondiendo la cabeza como el avestruz- para tratar de "legitimar" sus farandulescos pactos internos y maquillar un sistema que ha producido los peores resultados sociales de toda la historia."

sábado, 28 de junio de 2008

Potencias y Ecuaciones: Una reflexión matemática sobre la fórmula de Newton ....

REFLEXIÓN CRÍTICA SOBRE LA FÓRMULA DE NEWTON (de Cosmo Educa)



¿qué significa realmente?

Reflexionemos con esta fórmula sencilla: si aumentamos una de las masas (por ejemplo, al doble) la fuerza también aumenta (se duplica). Ocurre lo mismo si aumentamos la otra masa. Si aumentamos la distancia entre las masas, al doble también, la fuerza se hace cuatro veces menor (porque la distancia está en el denominador, y al cuadrado). Fíjense que si aumentamos mucho la distancia (por ejemplo 100 veces) la fuerza decae muchísimo más (diez mil veces). Jugando con los números entenderemos mejor cómo actúa la fuerza de la gravedad.

En el lenguaje de las matemáticas es una fórmula simétrica, sencilla y bella. Es maravilloso pensar que la Naturaleza obedece a esta ley tan sencilla y elegante. Podemos preguntarnos por qué es así. Aquí entramos en un terreno resbaladizo (la física no responde a los porqués últimos) donde se mezcla la física con la filosofía y la estética...

¿Por qué hay un exponente 2 en el denominador? ¿Y si fuera ligeramente diferente, p. ej. 2,1276? ¿Es más feo? Observen que con ese exponente "feo" la fórmula es drásticamente diferente: los físicos han calculado que, si en vez de 2 fuera 2,0000001, ya habría efectos medibles en las órbitas planetarias. O sea, es 2 exactamente a una gran precisión (una parte en diez millones): la naturaleza ha elegido un número sencillo. La fuerza electromagnética también tiene el 2 de exponente en la distancia... parece algo profundo que las unifica.

¿Cómo sería el universo con otras leyes? por ejemplo con el exponente 1 ó 3 en la distancia. Los alumnos deben advertir que la fuerza cambiaría enormemente con estos exponentes. Con exponente =1 decaería mucho más despacio y con 3 al revés, se iría a casi cero enseguida. Serían universos muy diferentes al nuestro.

¿Cómo seríamos nosotros, la Tierra, el Sol... el universo sin gravedad? Sin gravedad, el universo no se parecería al nuestro. A nivel microscópico (átomos, moléculas...) pensamos que no habría grandes cambios si no hubiera gravedad... por lo que sabemos (no podemos estar seguros de esto porque no sabemos bien cómo actúa la gravedad a escala microscópica; no hay aún una teoría cuántica de la gravitación.

En el mundo "intermedio", o sea, el nuestro, la gravedad parece que no es vital. Nuestro cuerpo no se mantiene unido por la gravedad que produce nuestra masa, es decir, nuestro brazo, por ejemplo, no está unido al tronco por la fuerza gravitatoria entre ambos; las fuerzas de unión son las electromagnéticas.Pero, al pasar a mayores escalas, por ejemplo la Tierra, los efectos de un mundo sin gravedad serían enormes. Sin gravedad, la Tierra perdería su atmósfera y se rompería ella misma en pedazos, ya que se mantiene unida por gravedad. La Luna y los planetas... igual. Se despedazarían. El Sol, obviamente, no atraería a la Tierra y a los planetas: no habría Sistema Solar. Pero es que, además, el propio Sol (una bola de gases calientes) se desintegraría, ya que también él se mantiene unido por la gravedad. No habría soles (estrellas) ni galaxias, ni cúmulos de galaxias... Un universo frío y sin luz.

Qué son las Matemáticas Discretas?

Tomado de Wikipedia ....

Matemática discreta es la parte de la matemática encargada del estudio de los conjuntos discretos: finitos o infinitos numerables.

En oposición al Cálculo infinitesimal, que se encarga del estudio de procesos infinitos, como la continuidad y el cambio continuo, la matemática discreta estudia estructuras cuyos elementos pueden contarse uno por uno separadamente, sin dar lugar a números decimales ni procesos infinitos. Es decir, los procesos en matemática discreta son finitos y contables.

Mientras que el cálculo es primordial en el estudio de procesos analógicos, la matemática discreta es la base de todo lo relacionado con los procesos digitales, y por tanto, se constituye en parte fundamental de la
ciencia de la computación, una de las ramas de estudio impartidas en los estudios de Ingeniería Informática.
Generalmente se incluyen los siguientes temas de estudio:


Lógica proposicional
Teoría de la computabilidad
Teoría de
complejidad computacional
Teoría de conjuntos
Teoría de grupos
Teoría de grafos
Teoría de autómatas finitos
Combinatoria y nociones de probabilidad
Análisis de ciertos
algoritmos
Teoría de la información

Quebrándome la cabeza con los números Hexagonales

Qué es esto de los números Hexagonales ? .....

Yo soy un poco lento para las secuencias .... me cuestan, aunque he tenido varios aciertos simpáticos ....

Y aunque ya está la respuesta, su término genérico, me gustaría relatarte lo que me pasó con ellos en esta búsqueda (del término general ....)

Me pasaron una secuencia: 6, 15, 28, 45, .....
Y me dieron unos dibujos:

Lo primero fue cachar que onda con los dibujos .... cómo se constituían estas telas de araña .... por último pa sacar el próximo dibujo con sus puntos totales ,,,,,

Primero: Entender cómo se logra la figura .....

Fíjense, que de un nivel menor a otro mayor (del hexágono -con vértices rojos- más chico al segundo), se agrega una pelotita celeste .... al pasar al siguiente hexágono, se agregan dos y así sucesivamente ....

¿ Y cómo encontrar la ley de formación ?

Me dieron los números : 6, 15, 28 , 45 ..... y yo lo pensé asñi, leugo de MUCHO trabajo:


Teniendo

La LEY de FORMACION ya no es necesario dibujar la figura, que cada vez se va haciendo más llena de pelotitas !!!!!

Uno de Hackers ..... DIVERTIMENTO

Señor, descubrieron el código del genoma humano
Malditos hackers!! voy a tener que cambiar la contraseña !!!
- - - - -
¿Qué es el Genoma?
GENOMA: Todo el material genético en una célula u organismo. Se le conoce como "el libro de la vida", "el manual del hombre", "el código de los códigos" y contiene riquezas de valor incalculable. En su libro Genoma, Matt Ridley (1999) señala que el genoma "es un libro inmenso, una receta de longitud desmesurada". A principios de los años noventa se organizó en los Estados Unidos el "Proyecto Genoma Humano", PGH, el más ambicioso, caro y polémico de la historia biología, dotado con 3.000 millones de dólares para determinar el "manual de instrucciones completo del ser humano" leyendo la secuencia precisa de los tres mil millones de bases químicas (A, C, G y T) de su ADN. Tanto fue el impacto de los primeros hallazgos que los editores de la revista Nature lanzaron en abril de 1992 la nueva revista Nature Genetics. Allí se comenzaron a conocer las identificaciones de muchos genes causantes de enferme devastadoras como la distrofia muscular, el mal de Alzheimer y el cáncer de mama . Comenzar a descifrar el genoma humano pasó a ser un asombroso que ha sido equiparado con los grandes avances tecnológicos, a invención de la rueda hasta la del hombre a la llegada del hombre a la Luna. Gracias a este proyecto, el ADN pasó de molécula inerte a ser el mapa del determinismo biológico, en el manual del ser humano. Eric Lander, investigador del Whitehead Institute (EE.UU.), comparó el PGH con la tabla periódica, el principal instrumento organizador de los elementos químicos. "El PGH intenta producir la tabla periódica de la biología, pero no con 100 elementos, sino con 100.000 genes. No es un rectángulo que refleja valencias, sino una estructura en forma de árbol que describe las afinidades ancestrales y funcionales que presentan los genes humanos". (Más tarde se precisó que no eran cien mil sino cerca de veinticinco mil los genes comprometidos).

viernes, 27 de junio de 2008

Colección de Secuencias I (Compilación del autor del Blog)


Colección de Secuencias II


Ecuaciones LOCAS !!!!

Qué pasa si me dan una ecuación como la siguiente:

Caso 1:

2(x + 5)=5x - (3x - 8) , resolvamos:
2x + 10 = 5x - 3x + 8
2x + 10 = 2x + 8
10 = 8

Este es un resultado falaz, no hay un valor que satisfaga la ecuación inicial, es decir MO HAY solución.

Caso 2:

3(2x - 7) = 8x - (2x + 21)
6x - 21 = 8x - 2x -21
6x - 21 = 6x - 21
- 21 = - 21
21 = 21

En este caso, todo valor que se le asigne a X satiface la ecuación, por lo tanto tiene INFINITAS soluciones.

Precioso Ejercicio .....


Alumna: ¿Cómo se lee?,

- Profe: Doselevadoadosmiltresporcincoelevadoadosmilseis (una bella palabra)

Alumna: Ya pohhhh, no sea pesado profe, ¿Cómo se lee?

- Profe: Dos elevado a dos mil tres por cinco elevado a dos mil seis

Alumna: ¿Cuántas Cifras tiene?
- Profe: PLOP !

(Este ejercicio me fue planteado por el Profesor Pedro Campillai, mi maestro de la UAH)

Pistas en el Comentario ..... (trata de no ver esta solución):

Problema de buenos ojos ....

¿Cuántos cuadrados se pueden dibujar con sus vértices en los puntitos rojos de la malla de abajo?

OJO que NO son 20 !!!!

Respuesta en el comentario .... a mi me suman ....

Desafío PSU - U.Católica .... para hacerlo, deberás investigar ....


Si en el triángulo de la figura, trazo CD es la bisectriz del ángulo recto, entonces la medidad del trazo AD es:

A) 30/7
B) 40/7
C) 4,8
D) 3,6
E) 5

Solución: el fin de semana ..... PISTA de Investigación, busca en INTERNET el Teorema de Apolonio. Sin saber esta información, me fue practicamente IMPOSIBLE resolverlo (aunque si pude, je, je, je -pero es un poco trabajoso- .....

1ro. Teorema de Apolonio:

(U. Católica) Teorema de Apolonio: En todo triángulo, la bisectriz de un ángulo interior divide al lado opuesto al ángulo en la misma razón en que están los lados que forman el ángulo.
2do. Solución:


Bellísima Solución Alternativa .....

Realmente bellísimo .... creo que haciendo click o doble click sobre la figura, se puede ver el escaneo más gtrande, YO soy piti, lo veo poco !!!!!

Estudiantes de Chile dicen: ..... (muy interesante .....)

"¿Cómo va a ser buena la LGE?, ¿No recuerda Ud. que en un principio le plantearon 154 indicaciones y NO se aprobaron?, ¿No es lógico entonces que esta Ley tenga 154 errores (al menos)? .....


Nuesta lucha es seria, NO es agradable perder clases, pasar frío durante la noche en la toma, ni perder vacaciones !!!! "


(Tomado de un panfleto, recibido cuando pasaba a solidarizar en un luceo en toma)

jueves, 26 de junio de 2008

Bachelet REPRIME al Movimiento Estudiantil: Urgente !!!!!

URGENTE - REENVIAR

Hoy Miércoles 25 de Junio a las 10, de la mañana, fué RAPTADA nuestra VOCERA, Alejandra Saavedra, estudiante del Liceo Confederaciòn Suiza.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Estando con los demás estudiantes, en el metro Estación Baquedano, les dijo que tenía que hacer una llamada telefónica para coordinar la movilización, atravesó al teléfono público donde fué interceptada por el GOPE, le dijeron que era control de identidad, ella mostró su cédula, a lo cual ellos respondieron que era en Comisería. La subieron al vehículo Policial en donde habían más estudiantes, todas ellas mujeres, la orden del Gope fué la siguiente: SIENTATE SIN LEVANTAR LA CABEZA, NADA DE CELULARES, Y ESTA PROHIBIDO HABLAR, dos estudiantes hablaron e inmediatamente les pegaron. Después de un largo trayecto en el referido vehículo fueron dejando de a una a las estudiantes en distintas comunas de Santiago, a nuestra Vocera la dejaron en la comuna de San Miguel a las 12,30 horas.

Esta es la nueva careta que nos están mostrando las Fuerzas especiales de características violentas de agresión y amedrentamiento hacia nuestros estudiantes. Sabemos que esto sirve, para desviarnos del tema del derecho a la Educación Pública, pero SEGUIREMOS CON MAS FUERZAS JUNTO A NUESTROS HIJOS, que han tenido, desde siempre, el valor de afrontar a un estado represivo; NO NOS AMEDRENTARAN, NI BAJAREMOS LA CABEZA ANTE LAVIOLENCIA EJERCIDA POR EL GOPE. POR CADA GOLPE QUE LES DEN A NUESTROS HIJOS SE SUMARA UN APODERADO MÁS.

Asamblea de Padres y Apoderados de Alumnos en Toma
LICEO CONFEDERACION
EN DEFENSA DE LA EDUCACION

Demostrar .....


Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. (Esta propiedad del ángulo inscrito se conoce con el nobre del Teorema de Thales).

Una Primera DEMOSTRACION: Muy SIMPLE !

Si sabemos -axiomáticamente- es decir, si sentamos como sabido que un ángulo INSCRITO mide la mitad del arco que subtiende, entonces estamos LISTOS ! (por qué?), porque un ángulo que subtiende un ángulo inscrito en una semicircunferencia es de 180º (grados), por tanto mide la mitad, es decir: 90º (grados).

Una Segunda DEMOSTRACION (un poco más formal) :

Tesis :

Un ángulo incrito en una semicircunferencia mide 90º.
(Nota: En el dibujo, habría que demostrar que ángulo ACB es de 90º)

Hipótesis :

El ángulo ACB (vértice en C) está inscrito en una semicircunferencia. Esta semicircunferencia pertenece a la circunferencia de centro O y radio r.

Demostración :

Construcción Primera: construimos el trazo: OC, desde O, el centro de la Circunferencia.


Señalamos los ángulos: ángulo 1, ángulo 2, ángulo 3, ángulo 4.

El triángulo AOC es isósceles, pues AO y OC son radios.

El triángulo BOC es i´sosceles, pues OB y OC son radios.

Por tanto, ángulo 1 = ángulo 2 ; ángulo 3 = ángulo 4. (*)

Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. Sumemos los ángulos internos de los dos triángulos AOC y BOC:

(Suma de ángulos en triángulo AOC) + (Suma de ángulos en triángulo BOC) = 180º + 180º

(ángulo 1 + ángulo 2 + ángulo AOC) + (ángulo 3 + ángulo 4 + ángulo BOC) = 180º + 180º

reordenando y recordando (*):

Que es lo que queríamos demostrar ....

q.e.d.

Calcular el valor de x ....

Solución !!!!Luego, echémosle un ojo al ángulo X .... es un ángulo externo al triángulo y para un ángulo externo a un triángulo se tiene que es igual a la suma de los ángulos no adyacentes con él.
ángulo x = 30º + 50º = 80º

Matemáticas en los colegios del JAPON ....

En Japón, en cada colegio los profesores de matemáticas trabajan en equipo e invierten todo un año en la generación y puesta a punto de una sola lección de 50 minutos. Parten por el diseño de la lección, en que se considera una gran cantidad de aspectos, muchos de carácter personal (por ejemplo, números de hermanos del estudiante con mayor dificultad de aprendizaje) y en la búsqueda de motivaciones intrínsecas en matemática. Luego viene un período de prueba en que los profesores se turnan para dar la lección frente a los estudiantes, mientras que los otros profesores asisten para observar la respuesta del curso e incluso graban en video toda la sesión. Después de reiteradas reuniones de revisión, análisis y ajustes, otro profesor vuelve a dar la lección mejorada, y el resto de los profesores observan y vuelven a grabar, y así sucesivamente. ¡La inversión en tiempo y esfuerzo es casi tan grande como la que requiere un dramaturgo y los actores para escribir y poner a punto una obra de teatro!


(Roberto Araya Schulz, Inteligencia Matemática, página 80).

Nota: Me introdujo a esta sabiduría Elisa Araya, Profesora de la UAH - CIDE

Ejemplo de una Clase en Japón .... Por eso nos llevan tanta ventaja !!!!!

(James Stigler y James Hiebert analizan tres clases (sus videos) : una alemana, una estadounidense y otra japonesa y plasman sus comentarios en un artículo publicado por el CEP, titulado: La Brecha de la Enseñanza)
- - - - -
UNA LECCIÓN EN JAPÓN:
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN FORMA ESTRUCTURADA
Para un estadounidense, las lecciones en Japón comienzan de una manera sorprendente. A una señal del alumno encargado, todos se ponen de pie y saludan al profesor con una venia. Éste se inclina a su vez y la lección se da por iniciada oficialmente.

Repaso de la lección del día anterior. Después del acostumbrado intercambio de venias, los alumnos toman asiento y bromean un poco con el profesor, señor Yoshida, acerca de la cámara de video. El señor Yoshida inicia la lección repasando lo que vieron al final de la lección del día anterior. Recuerda que trabajaron con “la relación entre paralelas” y terminaron resolviendo algunos problemas. “¿Recuerdan cuáles fueron?”, pregunta. Como nadie responde, pide a los alumnos que saquen sus cuadernos y vuelvan a mirar el primer problema, que les pedía encontrar cuánto medía el ángulo señalado con una “x” en el dibujo transcrito más abajo. “Fuimos demasiado rápido con este problema”, dice, “y no pudimos sintetizarlo bien”. Se habían dado varios métodos de solución, pero en forma breve, y el señor Yoshida pide a los alumnos que vuelvan a examinar el problema y lo resuelvan “utilizando el método que les parezca más sencillo… Si pueden explicarlo, sería magnífico”.

Al cabo de dos minutos, pide a los alumnos que le digan a qué conclusión llegaron. Los alumnos sugieren tres métodos diferentes, todos ellos basados en el trazado de una recta adicional. En algunos casos, se forma un triángulo y los alumnos aplican sus conocimientos sobre la medición de los triángulos para encontrar cuánto mide el ángulo x. Después de cada presentación, el señor Yoshida pregunta cuántos alumnos aplicaron ese método. Concluye este segmento de diez minutos resumiendo cada uno de los tres métodos, y señala que, cuando se trata de encontrar lo que miden algunos ángulos, es útil trazar rectas adicionales.

Presentación del problema del día. La lección continúa con el problema del día.

Señor Yoshida: No podemos resolver los problemas de hoy sin trazar rectas auxiliares. Nos interesa resolver esta clase de problemas. En el problema anterior, lo que hicimos fue quebrar la línea una vez entre las paralelas. Hoy, en cambio, quiero que inventen sus propios problemas. No odificaremos las paralelas, sino la forma de los ángulos dentro de ellas.
Mochida: ¿Por fuera?
Señor Yoshida: No importa que se salgan de las rectas. Incluso pueden quebrarse dos veces. No quiero que lo hagan diez veces.
Alumnos: (Risas).
Señor Yoshida: A lo más dos o tres veces. De lo contrario, nadie entenderá nada… Sean creativos… Basta que hagan un problema, pero si es fácil, hagan dos… Pongan los ángulos ustedes mismos e indiquen cuál de ellos es x… Es bastante difícil indicar cuántos grados tienen. No pueden simplemente escribir un número cualquiera... Cuando planteen sus problemas, tienen que ser capaces de resolverlos. Si los compañeros dicen que no entienden, tienen que poder explicárselos. Por favor, piénsenlo bien y háganlo lo mejor que puedan.

Solución del problema en forma individual. Al igual que en la lección en Alemania, el profesor plantea a los alumnos un problema matemático que es difícil de resolver por alumnos de octavo grado. La diferencia es que ahora el señor Yoshida les pide que traten de hacerlo solos en vez de guiar al curso en el desarrollo de la solución. Naturalmente, los alumnos ya han aprendido algunos métodos que los ayudarán a comenzar. Durante los diez minutos siguientes, los alumnos trabajan solos, inventando un problema para que lo resuelvan sus compañeros y asegurándose de que ellos mismos pueden hacerlo. El señor Yoshida se pasea por la sala respondiendo preguntas y formulando algunas sugerencias. Al parecer, le preocupa que los alumnos no avancen más rápido y finalmente dice: “Bien, parece que era un poco difícil. Cometí un error. Muchos de ustedes tienen dificultades... Formen sus grupos y a partir de los problemas que ya han resuelto, elijan uno que tanto ustedes como los demás consideren difícil, y los jefes de grupo, por favor, tráiganmelos. Por favor, verifiquen que el problema realmente pueda resolverse y entonces tráiganmelo”.

Solución de problemas en forma grupal. A medida que los alumnos organizan sus pupitres, circulan por la sala y bromean sobre la dificultad de los problemas que han inventado. El desorden disminuye gradualmente y al cabo de unos dos minutos, los jefes de grupo comienzan a llevar sus problemas al señor Yoshida para que él los dibuje en el pizarrón. Después de que el señor Yoshida ha graficado un problema para cada uno de los seis grupos (véanse los gráficos a continuación), dice: “Éstos son los problemas. No sabremos si podemos o no resolverlos hasta que hayamos tratado de hacerlo… No creo que podamos hacerlos todos en esta clase, así que en la próxima clase también les dedicaremos un tiempo. Por favor, apúrense en copiar los seis problemas”.


Mientras los alumnos copian los problemas, el señor Yoshida se pasea por la sala observando cómo trabajan los alumnos y de tiempo en tiempo comenta lo difícil que son algunos de los problemas inventados por los alumnos. Pronto queda de manifiesto que los alumnos tratan de resolver los problemas a medida que los van copiando. Es posible que ésta haya sido la intención del señor Yoshida, y ciertamente no desaprueba que lo hagan. Los alumnos siguen sentados en sus grupos; algunos trabajan en sus grupos, otros en parejas y algunos lo hacen solos. Al cabo de unos diez minutos el señor Yoshida pregunta cuántos alumnos han resuelto cada uno de los problemas. Luego sigue paseándose por la sala, más que nada observando el trabajo de los alumnos.

A estas alturas, los alumnos han estado trabajando en sus asientos, solos o en pequeños grupos, durante unos veinte minutos, lo que es un lapso inusualmente prolongado para que los estudiantes japoneses se mantengan sentados, pero seguirán haciéndolo por nueve minutos más. A medida que los alumnos siguen trabajando, de cuando en cuando levantan la mano y le piden al señor Yoshida que mire lo que han hecho. No hay duda de que a algunos alumnos les entusiasma haber resuelto problemas que el señor Yoshida consideró particularmente difíciles. El señor Yoshida examina las soluciones pero se niega a comentar si son correctas.

Resumen del punto principal. La lección está a punto de terminar y el señor Yoshida la interrumpe para decir: “Sé que esto es fastidioso, pero quiero saber cuál es la situación”. A continuación pregunta cuántos alumnos han resuelto cada problema. Concluye la lección diciendo: “Muchos utilizan triángulos. Está bien, pero hay tres clases de rectas auxiliares. A veces, los problemas pueden resolverse más fácilmente utilizando otro tipo de líneas auxiliares. Las veremos en la próxima lección”. Su breve resumen es más conciso que lo habitual para una lección en Japón. Ya sonó la campana, cuarenta y cinco minutos después del comienzo de la lección (aproximadamente lo que dura una clase en Japón), y los alumnos se levantan de sus asientos y hacen una venia.

- - - - -

ESTRUCTURA del modelo japonés:

En Japón las lecciones generalmente consisten en una sucesión de cinco actividades, a saber:

1) Repaso de la lección anterior. El repaso consiste en una breve disertación del profesor, o en un debate dirigido por él, o en la repetición de los puntos principales en voz alta por los alumnos. A menudo, la lección del día se basa directamente en la del día anterior, quizá utilizando los métodos desarrollados en esa oportunidad para resolver el problema actual. En la lección descrita en el primer capítulo, el señor Yoshida pedía a los alumnos que expusieran más detalladamente los métodos utilizados el día anterior, con la esperanza de que los alumnos los aplicaran en la lección del día.

2) Presentación del problema del día. Por lo general, hay un problema clave que establece el contexto de la mayor parte de las actividades que se realizarán durante la lección.

3) Los alumnos trabajan individualmente o en grupos. Esta actividad casi siempre tiene lugar después de que se ha planteado el problema y dura de uno a veinte minutos, y a menudo cinco o diez. Los alumnos rara vez trabajan en grupos pequeños para resolver los problemas antes de haberlos trabajado por su cuenta.

4) Discusión de los métodos de solución. Después que los alumnos han trabajado en el problema, se plantean y discuten uno o más métodos de solución. El profesor a menudo pide a uno o más alumnos que compartan con sus compañeros las conclusiones a que hayan llegado. Con frecuencia elige a los alumnos que harán esto (en vez de pedir voluntarios) basándose en los métodos que los vio desarrollar cuando se paseaba por la sala. En algunas oportunidades, el mismo profesor presenta los métodos que ha visto utilizar a los alumnos o bien da a conocer métodos nuevos que desea que éstos aprendan. En los casos en que los alumnos exponen los métodos, el profesor a menudo los resume y profundiza.

5) Destacar y resumir los puntos principales. Por lo general, al término de la lección, y a veces durante ésta, el profesor realiza una breve exposición sobre el punto o puntos principales de la clase. El señor Yoshida resumió el punto principal después de los diez primeros minutos de repaso y otra vez, en forma muy breve, al término de la lección.

Es posible que las actividades dos a cinco se repitan varias veces en la misma lección, pero generalmente no más de dos. Cuando se presenta un segundo problema, con frecuencia éste es muy similar al primero y se espera que los alumnos ejerciten el método o métodos que se proporcionaron para resolverlo.

- - - - -

Así estudian los maestros japoneses sus lecciones: IMPRESIONANTE PROCESO !!!!!

- - - - -

ETAPAS EN EL PROCESO DE ESTUDIO DE LECCIONES
- - - - -
Aun cuando la forma del estudio de lecciones varía en todo el territorio japonés, podemos describir las etapas que al parecer tipifican el proceso.

Primera etapa: Definir el problema. El estudio de lecciones es, fundamentalmente, un proceso de resolución de problemas. La primera etapa, por tanto, consiste en definir el problema que motivará y orientará la labor del grupo de estudio. El problema puede comenzar teniendo un carácter general (por ejemplo, despertar el interés de los alumnos por las matemáticas), o bien puede ser más específico (por ejemplo, mejorar el nivel de comprensión de los alumnos en la suma de fracciones con denominadores distintos). A continuación el grupo delineará y focalizará el problema hasta que pueda ser abordado en una lección específica en la sala de clases. El problema que los profesores escogen suele ser uno que han identificado en su propia práctica, algo que ha planteado particulares desafíos a sus propios alumnos. No obstante, algunas veces lo plantean autoridades superiores; tal vez se trata de encargados de formular políticas educacionales que procuran que los profesores entreguen su opinión sobre problemas identificados como prioridades nacionales. El Ministerio de Educación puede formular una pregunta general —por ejemplo, cómo podemos ayudar a los estudiantes a depender de ellos mismos— e instar a una muestra de escuelas de todo el país a estudiar el problema en el contexto del estudio de lecciones y a presentar un informe con sus conclusiones. En otras ocasiones, las autoridades administrativas formulan recomendaciones que se espera sean aplicadas por los profesores. Esta combinación de planificación desde arriba hacia abajo y desde abajo hacia arriba es una característica exclusiva del contexto de la política educacional de Japón y proporciona una conexión directa entre los profesores en las aulas y los funcionarios de educación a nivel nacional.

Segunda etapa: Planificar la lección. Una vez que se ha escogido un objetivo de aprendizaje, los profesores comienzan a reunirse para planificar la lección. Si bien en definitiva será un solo profesor el que va a desarrollar la lección como parte del proceso, esta última es considerada por todos los participantes como un producto grupal. Con frecuencia los profesores comienzan su planificación revisando libros y artículos escritos por otros colegas que han estudiado un problema similar. Según un libro japonés sobre cómo preparar una lección de investigación, para que ésta resulte de utilidad debería concebirse con una hipótesis en mente: alguna idea para ser sometida a prueba y desarrollada en el contexto de la práctica en el aula. El objetivo no es sólo obtener una lección eficaz sino también comprender por qué y cómo esta lección cumple la función de promover la comprensión entre los alumnos. El plan inicial que elabora el grupo suele presentarse durante una reunión de todo el cuerpo docente de la escuela con el fin de solicitar opiniones críticas. Sobre la base de esa retroinformación se prepara una versión revisada del plan, el cual queda a punto para su aplicación. Este proceso inicial de planificación puede demandar hasta varios meses.

Tercera etapa: Impartir la lección. Se fija una fecha para impartir la lección. Aun cuando habrá un profesor encargado de enseñarla, todos los miembros del grupo participarán de lleno en su preparación. Es posible que
la noche anterior el grupo permanezca hasta tarde en la escuela preparando materiales y efectuando un ensayo final, el cual se completa con una representación dramática. El día en que se imparte la clase los demás profesores del grupo abandonan sus cursos para observar cómo se dicta la clase. (Los maestros dejan sus salas sin supervisión de adultos. Dos alumnos designados para que oficien de monitores quedan a cargo de la clase.) Los profesores permanecen de pie o se sientan en el fondo de la sala al iniciarse la lección, pero cuando se solicita a los alumnos que trabajen en su escritorio, los profesores-observadores se pasean por la sala observando y tomando cuidadosas notas sobre lo que los estudiantes están haciendo a medida que avanza la lección. En ocasiones la lección también es filmada para posteriores análisis y debates.

Cuarta Etapa: Evaluar la lección y reflexionar sobre sus efectos. El día en que se ha impartido la lección, el grupo por lo general permanece en el establecimiento para reunirse después de la jornada escolar. Comúnmente se concede la palabra en primer lugar al profesor a cargo de la lección, quien resume desde su punto de vista la manera en que ella se desarrolló y cuáles fueron los principales problemas que se presentaron. Luego, otros miembros del grupo se refieren, usualmente en términos críticos, a las partes de la lección que les parecieron problemáticas. La atención se centra en la lección, no en el maestro que la impartió; después de todo es un producto colectivo y todos los miembros del grupo se sienten responsables del resultado de su planificación. En efecto, ellos se están criticando a sí mismos, lo cual es importante porque el punto de interés no es el de una evaluación personal sino el de una actividad de perfeccionamiento de la actividad docente.

Quinta etapa: Revisar la lección. A partir de sus observaciones y reflexiones, los profesores miembros del grupo de estudio revisan la lección. Es probable que modifiquen los materiales, las actividades, los problemas planteados, las preguntas formuladas, o todos estos elementos. A menudo fundamentan sus cambios en errores de comprensión específicos manifestados por los alumnos a medida que progresaba la lección.

Sexta etapa: Impartir la lección revisada. Tan pronto como esté preparada la lección revisada, se vuelve a impartir a un curso distinto. A veces la dicta el mismo profesor que la impartió la primera vez, pero por lo general está a cargo de otro miembro del grupo. Además, esta vez se invita a todo el profesorado de la escuela para que asista, lo que resulta muy impresionante en una escuela grande, donde puede haber más profesores agolpados en el aula que alumnos en el curso.

Séptima etapa: Evaluar y volver a reflexionar. Esta vez lo común es que todos los miembros del cuerpo docente participen en una larga reunión. En ocasiones también se solicitará la asistencia de un experto externo. Al igual que antes, se le concede en primer lugar la palabra al profesor que impartió la lección, quien se refiere a lo que el grupo estaba intentando conseguir, entrega su evaluación de cuán satisfactoria fue la lección y qué partes de la misma aún requieren ser reformuladas. Luego los observadores critican la lección y sugieren modificaciones. La lección no sólo se analiza con respecto a lo que aprendieron y comprendieron los
alumnos, sino además con relación a problemas más generales planteados por las hipótesis que orientaron el diseño de la lección. ¿Qué se aprendió, a partir de la lección y su aplicación, en materia de enseñanza y aprendizaje, en términos más generales?

Octava etapa: Compartir los resultados. Toda esta labor se ha concentrado en una sola lección. Pero como Japón es un país con objetivos educacionales y directrices curriculares de carácter nacional, lo que este grupo de profesores ha aprendido tendrá inmediata aplicabilidad para otros profesores japoneses que intentan enseñar los mismos conceptos en el mismo curso. A decir verdad, los maestros que forman parte de un grupo de estudio de lecciones consideran que el hecho de compartir sus conclusiones es un elemento importante de dicho proceso. Ese intercambio puede ocurrir de diversas maneras. Una consiste en redactar un informe, y de hecho la mayoría de los grupos de estudio de lecciones emiten un informe en el que se describe el desarrollo del trabajo colectivo. Estos informes suelen ser publicados en formato de libro, aunque sólo se empleen en la sala de profesores de la escuela. Los leen el cuerpo docente y el rector y, si se estima que revisten suficiente interés, podrían ser remitidos a autoridades educacionales a nivel de prefectura. Si ocurre que un profesor universitario ha colaborado con el grupo, el informe podría redactarse pensando en un universo de lectores más amplio y publicarse por una editorial comercial. Otro método para compartir los resultados de una clase de investigación consiste en invitar a profesores de otras escuelas para que observen cómo se imparte la versión final de la lección. La escuela de Hiroshima observada por Yoshida es la anfitriona de una “exposición de lecciones” celebrada al final del año escolar, ocasión en la cual se invita a profesores de escuelas de toda la región para que observen las lecciones de investigación que han elaborado en diversas asignaturas. Se trata de una ocasión festiva y se la considera parte importante de la formación profesional de los profesores. Es asimismo uno de los principales medios por los cuales los docentes pueden aprender innovaciones que se están ensayando en otras escuelas.

- - - - -

El Bloger con la boca abierta: IMPRESIONANTE !!!!!