Solución al desafío PSU

A un círculo de 5 cm de diámetro se le traza desde un punto P, una tangente PA (trazo) y una secante PBC (trazo) que pasa por el centro -de la circunferencia- como lo indica la figura. Si la cuerda AC (trazo) mide 4 cm, calcular la longitud de la tangente PA (trazo).

A) 3/4 cm

B) 9/16 cm

C) 7/60 cm

D) 60/78 cm

E) 60/7 cm

Solución:

He llenado la imagen de letras, fíjense que he escrito X, Y , Z para designar algunos trazos y puse además un 3, que ya explicaré por qué lo hice.

Nota, lo primero que a uno se le ocurre es:

A) Por el teorema de la Tangente y la Secante, respecto de una circunferencia, aquel que emerge en las "Propiedades métricas que relacionan los elementos de una circuenferencia", se puede establecer la siguiente relación:

En ecuación:
B) Luego uno sigue pensando y puede llegar al siguiente razonamiento: sabiendo que una tangente y el radio de contacto (aquel que la topa en el punto de contacto) forman un ángulo de 90 grados, por Pitágoras se puede plantear:

Pero OJO Piojo, porque a partir de esta relación, llegamos exactamente a lo encontrado en A), vesmos:

Guardemos esta relación, que nos será útil después de dos pasos:

Paso 1: Puesto que un triángulo inscrito en una semicircunferencia, siendo su lado mayor diámetro de esta, poseerá un ángulo de 90 grados, justo en oposición al lado mayor, es que trazo AB debe valer 3 (Recuerde los tríos pitagóricos, uno de los cuales es 3, 4, 5). Estamos pensando en el triángulo ABC:

Paso 2: Usando dos formas de calcular el área del triángulo ABC, podemos encontrar su altura h.

( 4 x 3 ) / 2 = ( 5 x h ) / 2

Luego, h = 12/5

Paso 3: En el triángulo formado Z, h y el trazo de 3 cm, podemos con Pitágoras plantear:

Usando, entonces Pitágoras, calculamos Z:

Paso 4: Usando la anterior relación encontrada y el siguiente dibujo planteamos:

Para calcular el valor de Y:

Y luego sustituyendo:

La alternativa correcta es la E)

Cabezón, pero MARAVILLOSO !!!!!

(Dedico este ejercicio y su costoso desarrollo a la memoria de Víctor Jara)