Distribución NORMAL: Introducción a los rudimentos de la .....

(Extractos de Matemáticas - Bachillerato - McGraw Hill)

1) Una distribución es continua cuando la variable aleatoria sociada puede tomar como valores TODOS los números reales (R) en algún intervalo de la recta real.

2) En una distribución continua, las probabilidades NO NULAS se asignan a los intervalos, mientras que la probabilidad de un valor concreto, es decir de un punto cualquiera de la recta real, ES CERO.

Piensa por ejemplo: la probabilidad de que yo pese 100,786500983331 kilos es ..... tiene más sentido preguntar la probabilidad de que mida entre 100 y 101 kilos (aunque apliquemos redondeo a 100,8 kilos).

3) Entre las distribuciones continuas la más frecuente es la DISTRIBUCION NORNAL. Por mucho tiempo se pensó qie todos los fenómenos aleatorios de caracter natural se ajustaban a una normal. Si bien esto no es 100 % cierto, hay muchos problemas realistas que se rigen por ella.

4) El aspecto de su gráfica, la curva normal, recuerda una campana, por lo que se le suele llamar Campana de Gauss.

5) Distribución de Probabilidad Continua:

Una función de Probabilidad es un modelo matemático que nos ayuda a explicar los resultados de un experimento real. Si esta distribución de probabilidad está ligada a una variable aleatoria continua se llama Distribución de Probabilidad Continua. Un ejemplo:

El tiempo que se tarda en correr una determinada distancia es una variable aleatoria continua. Miles de corredores demoran entre 1 y 2 horas en la maratón. Medidos en los tiempos en intervalos de 10 minutos, se registraron las siguientes frecuencias:


Estos datos pueden graficarse:

6) En la anterior gráfica, el área de cada rectángulo indica las frecuencias relativas fr correspondientes a cada intervalo. Para averiguar la frecuencia de llegada entre el minuto 73 y el 92 hay que hallar el área en rojo.

Hagamos el ejercicio (en pro de buscar continuidad) achicar los intervalos de tiempo en que se miden las frecuencias, obtendríamos algo muy similar a lo siguiente:

Tomado los tiempos de minuto en minuto podríamos entonces obtener histrogramas de escalones más cortos. Y si este proceso se hace idealmente continuo, la función escalonada que limita los rectángulos se transforma en una función continua. En los dos casos, el area coloreada nos da la frecuencia relativa (o la probabilidad) de las llegadas de corredores entre los minutos 73 y 92.

Resumamos:

a) Tenemos una distribución de probabilidad continua cuando conocemos una función f(x) que nos da la probabilidad de que una variable aleatoria tome valores dentro del intervalo

b) Esta probabilidad se mide por el área comprendida entre la gráfica de f(x) y el eje OX, desde x1 hasta x2. Denotaremos esta área por S(x1,x2)

c) En una distribución de probabilidad continua solo cabe hablar de probabilidad de que una variable X pertenezca a un intervalo. Podemos preguntarnos por:

En cambio:

P(X=x1) = P(X=x2) = 0

FUNCION DENSIDAD:

A la función f(x) anterior, que nos permite hallar, por cálculo de áreas, las probabilidades en las distribuciones continuas se le llama función Densidad (de Probabilidad) de la variable aleatoria x.

Para que una función f(x) sea función de densidad de x, se deben cumplir las siguinetes condicones:

a) El área total comprendida entre la gráfica de la función f(x) y el eje OX es 1. En Particular, si x puede tomar solamente valores de a hasta b, entonces:

S(a,b) = 1

Ver Imagen anterior en 1)

b) La probabilidad de que la variable x esté en un intervalo cualquiera (x1,x2), viene dada por el área bajo la función f(x) entre x1 y x2. Es decir,

Ver imagen anterior en 2)

Y nuevamente es necesario tener en cuenta:7) FUNCIÓN de DISTRIBUCION

Dada una variable aleatoria X que toma valores en el intervalo (a,b), se llama Función de Distribución (de probabilidades) de X a la función F(x) definida por:

Mide la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que un cierto valor x. En otras palabras, describe la probabilidad acumulada, hasta cada x, de la variable aleatoria X. Su valor está dado por:

F(x) = S(a,x)

Veamos las propiedades FUERZA de la Función Distribución: