(James Stigler y James Hiebert analizan tres clases (sus videos) : una alemana, una estadounidense y otra japonesa y plasman sus comentarios en un artículo publicado por el CEP, titulado: La Brecha de la Enseñanza)
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UNA LECCIÓN EN JAPÓN:
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN FORMA ESTRUCTURADA
Para un estadounidense, las lecciones en Japón comienzan de una manera sorprendente. A una señal del alumno encargado, todos se ponen de pie y saludan al profesor con una venia. Éste se inclina a su vez y la lección se da por iniciada oficialmente.
Repaso de la lección del día anterior. Después del acostumbrado intercambio de venias, los alumnos toman asiento y bromean un poco con el profesor, señor Yoshida, acerca de la cámara de video. El señor Yoshida inicia la lección repasando lo que vieron al final de la lección del día anterior. Recuerda que trabajaron con “la relación entre paralelas” y terminaron resolviendo algunos problemas. “¿Recuerdan cuáles fueron?”, pregunta. Como nadie responde, pide a los alumnos que saquen sus cuadernos y vuelvan a mirar el primer problema, que les pedía encontrar cuánto medía el ángulo señalado con una “x” en el dibujo transcrito más abajo. “Fuimos demasiado rápido con este problema”, dice, “y no pudimos sintetizarlo bien”. Se habían dado varios métodos de solución, pero en forma breve, y el señor Yoshida pide a los alumnos que vuelvan a examinar el problema y lo resuelvan “utilizando el método que les parezca más sencillo… Si pueden explicarlo, sería magnífico”.
Al cabo de dos minutos, pide a los alumnos que le digan a qué conclusión llegaron. Los alumnos sugieren tres métodos diferentes, todos ellos basados en el trazado de una recta adicional. En algunos casos, se forma un triángulo y los alumnos aplican sus conocimientos sobre la medición de los triángulos para encontrar cuánto mide el ángulo x. Después de cada presentación, el señor Yoshida pregunta cuántos alumnos aplicaron ese método. Concluye este segmento de diez minutos resumiendo cada uno de los tres métodos, y señala que, cuando se trata de encontrar lo que miden algunos ángulos, es útil trazar rectas adicionales.
Presentación del problema del día. La lección continúa con el problema del día.
Señor Yoshida: No podemos resolver los problemas de hoy sin trazar rectas auxiliares. Nos interesa resolver esta clase de problemas. En el problema anterior, lo que hicimos fue quebrar la línea una vez entre las paralelas. Hoy, en cambio, quiero que inventen sus propios problemas. No odificaremos las paralelas, sino la forma de los ángulos dentro de ellas.
Mochida: ¿Por fuera?
Señor Yoshida: No importa que se salgan de las rectas. Incluso pueden quebrarse dos veces. No quiero que lo hagan diez veces.
Alumnos: (Risas).
Señor Yoshida: A lo más dos o tres veces. De lo contrario, nadie entenderá nada… Sean creativos… Basta que hagan un problema, pero si es fácil, hagan dos… Pongan los ángulos ustedes mismos e indiquen cuál de ellos es x… Es bastante difícil indicar cuántos grados tienen. No pueden simplemente escribir un número cualquiera... Cuando planteen sus problemas, tienen que ser capaces de resolverlos. Si los compañeros dicen que no entienden, tienen que poder explicárselos. Por favor, piénsenlo bien y háganlo lo mejor que puedan.
Solución del problema en forma individual. Al igual que en la lección en Alemania, el profesor plantea a los alumnos un problema matemático que es difícil de resolver por alumnos de octavo grado. La diferencia es que ahora el señor Yoshida les pide que traten de hacerlo solos en vez de guiar al curso en el desarrollo de la solución. Naturalmente, los alumnos ya han aprendido algunos métodos que los ayudarán a comenzar. Durante los diez minutos siguientes, los alumnos trabajan solos, inventando un problema para que lo resuelvan sus compañeros y asegurándose de que ellos mismos pueden hacerlo. El señor Yoshida se pasea por la sala respondiendo preguntas y formulando algunas sugerencias. Al parecer, le preocupa que los alumnos no avancen más rápido y finalmente dice: “Bien, parece que era un poco difícil. Cometí un error. Muchos de ustedes tienen dificultades... Formen sus grupos y a partir de los problemas que ya han resuelto, elijan uno que tanto ustedes como los demás consideren difícil, y los jefes de grupo, por favor, tráiganmelos. Por favor, verifiquen que el problema realmente pueda resolverse y entonces tráiganmelo”.
Solución de problemas en forma grupal. A medida que los alumnos organizan sus pupitres, circulan por la sala y bromean sobre la dificultad de los problemas que han inventado. El desorden disminuye gradualmente y al cabo de unos dos minutos, los jefes de grupo comienzan a llevar sus problemas al señor Yoshida para que él los dibuje en el pizarrón. Después de que el señor Yoshida ha graficado un problema para cada uno de los seis grupos (véanse los gráficos a continuación), dice: “Éstos son los problemas. No sabremos si podemos o no resolverlos hasta que hayamos tratado de hacerlo… No creo que podamos hacerlos todos en esta clase, así que en la próxima clase también les dedicaremos un tiempo. Por favor, apúrense en copiar los seis problemas”.
Mientras los alumnos copian los problemas, el señor Yoshida se pasea por la sala observando cómo trabajan los alumnos y de tiempo en tiempo comenta lo difícil que son algunos de los problemas inventados por los alumnos. Pronto queda de manifiesto que los alumnos tratan de resolver los problemas a medida que los van copiando. Es posible que ésta haya sido la intención del señor Yoshida, y ciertamente no desaprueba que lo hagan. Los alumnos siguen sentados en sus grupos; algunos trabajan en sus grupos, otros en parejas y algunos lo hacen solos. Al cabo de unos diez minutos el señor Yoshida pregunta cuántos alumnos han resuelto cada uno de los problemas. Luego sigue paseándose por la sala, más que nada observando el trabajo de los alumnos.
A estas alturas, los alumnos han estado trabajando en sus asientos, solos o en pequeños grupos, durante unos veinte minutos, lo que es un lapso inusualmente prolongado para que los estudiantes japoneses se mantengan sentados, pero seguirán haciéndolo por nueve minutos más. A medida que los alumnos siguen trabajando, de cuando en cuando levantan la mano y le piden al señor Yoshida que mire lo que han hecho. No hay duda de que a algunos alumnos les entusiasma haber resuelto problemas que el señor Yoshida consideró particularmente difíciles. El señor Yoshida examina las soluciones pero se niega a comentar si son correctas.
Resumen del punto principal. La lección está a punto de terminar y el señor Yoshida la interrumpe para decir: “Sé que esto es fastidioso, pero quiero saber cuál es la situación”. A continuación pregunta cuántos alumnos han resuelto cada problema. Concluye la lección diciendo: “Muchos utilizan triángulos. Está bien, pero hay tres clases de rectas auxiliares. A veces, los problemas pueden resolverse más fácilmente utilizando otro tipo de líneas auxiliares. Las veremos en la próxima lección”. Su breve resumen es más conciso que lo habitual para una lección en Japón. Ya sonó la campana, cuarenta y cinco minutos después del comienzo de la lección (aproximadamente lo que dura una clase en Japón), y los alumnos se levantan de sus asientos y hacen una venia.
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ESTRUCTURA del modelo japonés:
En Japón las lecciones generalmente consisten en una sucesión de cinco actividades, a saber:
1) Repaso de la lección anterior. El repaso consiste en una breve disertación del profesor, o en un debate dirigido por él, o en la repetición de los puntos principales en voz alta por los alumnos. A menudo, la lección del día se basa directamente en la del día anterior, quizá utilizando los métodos desarrollados en esa oportunidad para resolver el problema actual. En la lección descrita en el primer capítulo, el señor Yoshida pedía a los alumnos que expusieran más detalladamente los métodos utilizados el día anterior, con la esperanza de que los alumnos los aplicaran en la lección del día.
2) Presentación del problema del día. Por lo general, hay un problema clave que establece el contexto de la mayor parte de las actividades que se realizarán durante la lección.
3) Los alumnos trabajan individualmente o en grupos. Esta actividad casi siempre tiene lugar después de que se ha planteado el problema y dura de uno a veinte minutos, y a menudo cinco o diez. Los alumnos rara vez trabajan en grupos pequeños para resolver los problemas antes de haberlos trabajado por su cuenta.
4) Discusión de los métodos de solución. Después que los alumnos han trabajado en el problema, se plantean y discuten uno o más métodos de solución. El profesor a menudo pide a uno o más alumnos que compartan con sus compañeros las conclusiones a que hayan llegado. Con frecuencia elige a los alumnos que harán esto (en vez de pedir voluntarios) basándose en los métodos que los vio desarrollar cuando se paseaba por la sala. En algunas oportunidades, el mismo profesor presenta los métodos que ha visto utilizar a los alumnos o bien da a conocer métodos nuevos que desea que éstos aprendan. En los casos en que los alumnos exponen los métodos, el profesor a menudo los resume y profundiza.
5) Destacar y resumir los puntos principales. Por lo general, al término de la lección, y a veces durante ésta, el profesor realiza una breve exposición sobre el punto o puntos principales de la clase. El señor Yoshida resumió el punto principal después de los diez primeros minutos de repaso y otra vez, en forma muy breve, al término de la lección.
Es posible que las actividades dos a cinco se repitan varias veces en la misma lección, pero generalmente no más de dos. Cuando se presenta un segundo problema, con frecuencia éste es muy similar al primero y se espera que los alumnos ejerciten el método o métodos que se proporcionaron para resolverlo.
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Así estudian los maestros japoneses sus lecciones: IMPRESIONANTE PROCESO !!!!!
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ETAPAS EN EL PROCESO DE ESTUDIO DE LECCIONES
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Aun cuando la forma del estudio de lecciones varía en todo el territorio japonés, podemos describir las etapas que al parecer tipifican el proceso.
Primera etapa: Definir el problema. El estudio de lecciones es, fundamentalmente, un proceso de resolución de problemas. La primera etapa, por tanto, consiste en definir el problema que motivará y orientará la labor del grupo de estudio. El problema puede comenzar teniendo un carácter general (por ejemplo, despertar el interés de los alumnos por las matemáticas), o bien puede ser más específico (por ejemplo, mejorar el nivel de comprensión de los alumnos en la suma de fracciones con denominadores distintos). A continuación el grupo delineará y focalizará el problema hasta que pueda ser abordado en una lección específica en la sala de clases. El problema que los profesores escogen suele ser uno que han identificado en su propia práctica, algo que ha planteado particulares desafíos a sus propios alumnos. No obstante, algunas veces lo plantean autoridades superiores; tal vez se trata de encargados de formular políticas educacionales que procuran que los profesores entreguen su opinión sobre problemas identificados como prioridades nacionales. El Ministerio de Educación puede formular una pregunta general —por ejemplo, cómo podemos ayudar a los estudiantes a depender de ellos mismos— e instar a una muestra de escuelas de todo el país a estudiar el problema en el contexto del estudio de lecciones y a presentar un informe con sus conclusiones. En otras ocasiones, las autoridades administrativas formulan recomendaciones que se espera sean aplicadas por los profesores. Esta combinación de planificación desde arriba hacia abajo y desde abajo hacia arriba es una característica exclusiva del contexto de la política educacional de Japón y proporciona una conexión directa entre los profesores en las aulas y los funcionarios de educación a nivel nacional.
Segunda etapa: Planificar la lección. Una vez que se ha escogido un objetivo de aprendizaje, los profesores comienzan a reunirse para planificar la lección. Si bien en definitiva será un solo profesor el que va a desarrollar la lección como parte del proceso, esta última es considerada por todos los participantes como un producto grupal. Con frecuencia los profesores comienzan su planificación revisando libros y artículos escritos por otros colegas que han estudiado un problema similar. Según un libro japonés sobre cómo preparar una lección de investigación, para que ésta resulte de utilidad debería concebirse con una hipótesis en mente: alguna idea para ser sometida a prueba y desarrollada en el contexto de la práctica en el aula. El objetivo no es sólo obtener una lección eficaz sino también comprender por qué y cómo esta lección cumple la función de promover la comprensión entre los alumnos. El plan inicial que elabora el grupo suele presentarse durante una reunión de todo el cuerpo docente de la escuela con el fin de solicitar opiniones críticas. Sobre la base de esa retroinformación se prepara una versión revisada del plan, el cual queda a punto para su aplicación. Este proceso inicial de planificación puede demandar hasta varios meses.
Tercera etapa: Impartir la lección. Se fija una fecha para impartir la lección. Aun cuando habrá un profesor encargado de enseñarla, todos los miembros del grupo participarán de lleno en su preparación. Es posible que
la noche anterior el grupo permanezca hasta tarde en la escuela preparando materiales y efectuando un ensayo final, el cual se completa con una representación dramática. El día en que se imparte la clase los demás profesores del grupo abandonan sus cursos para observar cómo se dicta la clase. (Los maestros dejan sus salas sin supervisión de adultos. Dos alumnos designados para que oficien de monitores quedan a cargo de la clase.) Los profesores permanecen de pie o se sientan en el fondo de la sala al iniciarse la lección, pero cuando se solicita a los alumnos que trabajen en su escritorio, los profesores-observadores se pasean por la sala observando y tomando cuidadosas notas sobre lo que los estudiantes están haciendo a medida que avanza la lección. En ocasiones la lección también es filmada para posteriores análisis y debates.
Cuarta Etapa: Evaluar la lección y reflexionar sobre sus efectos. El día en que se ha impartido la lección, el grupo por lo general permanece en el establecimiento para reunirse después de la jornada escolar. Comúnmente se concede la palabra en primer lugar al profesor a cargo de la lección, quien resume desde su punto de vista la manera en que ella se desarrolló y cuáles fueron los principales problemas que se presentaron. Luego, otros miembros del grupo se refieren, usualmente en términos críticos, a las partes de la lección que les parecieron problemáticas. La atención se centra en la lección, no en el maestro que la impartió; después de todo es un producto colectivo y todos los miembros del grupo se sienten responsables del resultado de su planificación. En efecto, ellos se están criticando a sí mismos, lo cual es importante porque el punto de interés no es el de una evaluación personal sino el de una actividad de perfeccionamiento de la actividad docente.
Quinta etapa: Revisar la lección. A partir de sus observaciones y reflexiones, los profesores miembros del grupo de estudio revisan la lección. Es probable que modifiquen los materiales, las actividades, los problemas planteados, las preguntas formuladas, o todos estos elementos. A menudo fundamentan sus cambios en errores de comprensión específicos manifestados por los alumnos a medida que progresaba la lección.
Sexta etapa: Impartir la lección revisada. Tan pronto como esté preparada la lección revisada, se vuelve a impartir a un curso distinto. A veces la dicta el mismo profesor que la impartió la primera vez, pero por lo general está a cargo de otro miembro del grupo. Además, esta vez se invita a todo el profesorado de la escuela para que asista, lo que resulta muy impresionante en una escuela grande, donde puede haber más profesores agolpados en el aula que alumnos en el curso.
Séptima etapa: Evaluar y volver a reflexionar. Esta vez lo común es que todos los miembros del cuerpo docente participen en una larga reunión. En ocasiones también se solicitará la asistencia de un experto externo. Al igual que antes, se le concede en primer lugar la palabra al profesor que impartió la lección, quien se refiere a lo que el grupo estaba intentando conseguir, entrega su evaluación de cuán satisfactoria fue la lección y qué partes de la misma aún requieren ser reformuladas. Luego los observadores critican la lección y sugieren modificaciones. La lección no sólo se analiza con respecto a lo que aprendieron y comprendieron los
alumnos, sino además con relación a problemas más generales planteados por las hipótesis que orientaron el diseño de la lección. ¿Qué se aprendió, a partir de la lección y su aplicación, en materia de enseñanza y aprendizaje, en términos más generales?
Octava etapa: Compartir los resultados. Toda esta labor se ha concentrado en una sola lección. Pero como Japón es un país con objetivos educacionales y directrices curriculares de carácter nacional, lo que este grupo de profesores ha aprendido tendrá inmediata aplicabilidad para otros profesores japoneses que intentan enseñar los mismos conceptos en el mismo curso. A decir verdad, los maestros que forman parte de un grupo de estudio de lecciones consideran que el hecho de compartir sus conclusiones es un elemento importante de dicho proceso. Ese intercambio puede ocurrir de diversas maneras. Una consiste en redactar un informe, y de hecho la mayoría de los grupos de estudio de lecciones emiten un informe en el que se describe el desarrollo del trabajo colectivo. Estos informes suelen ser publicados en formato de libro, aunque sólo se empleen en la sala de profesores de la escuela. Los leen el cuerpo docente y el rector y, si se estima que revisten suficiente interés, podrían ser remitidos a autoridades educacionales a nivel de prefectura. Si ocurre que un profesor universitario ha colaborado con el grupo, el informe podría redactarse pensando en un universo de lectores más amplio y publicarse por una editorial comercial. Otro método para compartir los resultados de una clase de investigación consiste en invitar a profesores de otras escuelas para que observen cómo se imparte la versión final de la lección. La escuela de Hiroshima observada por Yoshida es la anfitriona de una “exposición de lecciones” celebrada al final del año escolar, ocasión en la cual se invita a profesores de escuelas de toda la región para que observen las lecciones de investigación que han elaborado en diversas asignaturas. Se trata de una ocasión festiva y se la considera parte importante de la formación profesional de los profesores. Es asimismo uno de los principales medios por los cuales los docentes pueden aprender innovaciones que se están ensayando en otras escuelas.
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El Bloger con la boca abierta: IMPRESIONANTE !!!!!
Pensemos en la igualdad:
Vamos a sustituir consecutivamente en esta igualdad, n por (n-1); por (n-2), etc., hasta llegar a la unidad. Esto nos conducirá a las siguientes igualdades:
Bellísimo!!!!
Por si están presurados(as), delantemos que el cono posee por volúmen la siguiente fórmula:
El procedimiento consiste en pensar el CONO como la suma de muchas (infinitas) secciones con altura muy pequeña (infinitesimal).
Pero vamos a aproximar, es decir, pensaremos el cono como la suma de muchos cilindros de altura infinitesimal (muy pequeña) .... (Nota: lo bueno de este método es que SIRVE para calcular el volumen de muchas figuras y yo creo que fue utilizado por Newton, con lo que se dio paso al cálculo infinitesimal) 
En la medida que los cilindros son altura más pequeña, la pérdida de volumen se hace menor y ello nos permitirá tener una fórmula aproximada, pero muy cercana al volumen real, verdadero, no aproximado.
¿ Está bien?
Ojo: MOstrar NO es lo mismo que demostrar !!!!!
Yo soy un poco lento para las secuencias .... me cuestan, aunque he tenido varios aciertos simpáticos ....
Lo primero fue cachar que onda con los dibujos .... cómo se constituían estas telas de araña .... por último pa sacar el próximo dibujo con sus puntos totales ,,,,, 
Realmente bellísimo .... creo que haciendo click o doble click sobre la figura, se puede ver el escaneo más gtrande, YO soy piti, lo veo poco !!!!!
Señalamos los ángulos: ángulo 1, ángulo 2, ángulo 3, ángulo 4.
Luego, echémosle un ojo al ángulo X .... es un ángulo externo al triángulo y para un ángulo externo a un triángulo se tiene que es igual a la suma de los ángulos no adyacentes con él.
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