XXI Olimpiada Matemática Argentina - Tomado del Libro Santillana de Tercero Medio: Combinatoria

Problema de combinatoria - Resuelto por Claudio Escobar Cáceres

Niko debe elegir tres números enteros distintos entre 1 y 20 inclusive, de modo que al multiplicar los tres números se obtenga un múltiplo de 4.

Calcular cuántas maneras tiene Niko de elegir sus tres números.

Aclaración: Dos elecciones que tienen los mismos tres números no importa en que orden, son iguales.

----- Solución -----

Tómese en consideración el siguiente cuadro:
La tabla anterior muestra la formación de los números del 1 al 10, buscando todos los factores "2" que hay en ellos. Por ejemplo 19 no se puede descomponer en uno o más factores "2". Pero si 20 que es igual a 20=2x2x5.

Ud puede fijarse, que aquellos números que poseen dos factores "2", pueden ir solitos en la terna, orque estos dos factores ya hanbrán provocado el hecho de que el productos de los tres números sea múltiplo de 4. Como son 5 los números que posee dos factores "2", debo elegir uno entre los 5 números y los dos restantes engre los 1o números que no poseen factor "2". Por el principio multiplicativo, hay todos estos casos:

Uno puede escoger, cualquiera de los 10 números que poseen un factor "2" al menos y hay que tomar dos de estos números de un total de 10. El número restante, se debe tomar de entre los 10 números que no poseen factor "2". De estos hay todos estos casos:

Y finalmente, uno puede tomar tres números de entre los que poseen al menos un facyor 2. De estos hay:

Por tanto, las posibilidades totales de escoger los números requeridos son: