La paradoja de Nicolasita-Inti Simoncito.
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A mis dos hijos les gusta jugar con agua, sobretodo ahora en verano. Yo les advierto que el agua es MUY escasa, pero que podemos jugar con ella en el mundo de las ideas. Les digo que haremos un juego de imaginación y que por tanto dispondremos de objetos mágicos. Sean estos un “curioso reloj”, un “surtidor de infinitas gotas de agua” y un “jarro mágico loco” que crece bajo ciertas condiciones”.
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El reloj tiene sólo una aguja puesta en la hora 11 pm. y avanza hacia las 12. Cuando el reloj avance hasta la mitad de lo que le falta para las 12 pm. (es decir avance media hora, hasta las 11:30), el reloj activará el “surtidor de infinitas gotas de agua” y éste dejará caer una gota de agua que será rotulada con un número natural, partiendo en este caso desde 1. Desde esta posición, otra gota se dejará caer una vez que el reloj avance exactamente la mitad de lo que le queda (entre las 11:30 y las 12:00, hasta las 11:45) y desde la nueva posición, el proceso se repetirá sucesivamente.
La rotulación es automática y no toma tiempo.
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El “jarro mágico loco” al comienzo, tiene capacidad para una sola gota, pero se agranda si y sólo sí le cae una gota rotulada con un número natural, el 1, 2, 3, 4, 5, ….., (aquellos que nos sirven para contar). Cada vez que una gota viene rotulada con un número natural, el jarro tiene la capacidad de aumentarse en el volumen de una gota …. Si una gota no viene rotulada con un número natural, el jarro no se agranda y sería posible que se rebalse.
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Repitamos el proceso: Cuando la aguja avanza desde las 11:00, la mitad de lo que le queda para las 12:00, cae una gota del surtidor. Esta automáticamente se rotula con el número 1 y entra en forma perfecta en el jarro que puede albergar a una gota solamente. Una vez que el reloj avance la mitad de lo que le queda para las 12:00 desde las 11:30, hasta las 11:45, dejará caer otra gota el surtidor, que será rotulada con el número 2 y el “jarro mágico loco” se agranda en la capacidad de una gota, para recibir la gota “2”. Así sucesivamente ….
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La pregunta es: una vez que sean las 12 de la noche, ¿se habrá rebalsado el jarro mágico loco?
Mis hijos no me entienden, echan al aire sus pronósticos y me dicen que estoy loco !!!!
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Respuesta: A las 12:00 de la noche, el jarro se ha rebalsado !!!
¿Por qué ?????
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EXPLICACIÓN:
1) Este es un problema para la imaginación. 2) Posee muchas idealizaciones, pero esperamos que Ud. lo pueda aceptar. 3) Es similar a los problemas planteados por Einstein, sus paradojas para explicar las nuevas visiones de la física contemporánea. El llamada a estos experimentos los "Gedankenexperimenten" ó "Experimentos mentales" ó "Experimentos de Pensamientos" (según Annika) como cuando se preguntaba lo que sucedería si uno "cabalgara en un rayo de luz". 4) En este problema hay dos tipos de INFINITO. 5) Uno es el infinito de los números naturales (1,2,3,4,5 ....) que usamos para enumerar las gotas de agua. Este es un conjunto infinito ENUMERABLE; 6) Otro es el infinito relativo a los medios tiempos que faltan desde una posición dada hasta las 12:00 (11:30 ; 11:45 ....). En esta secuencia hay infinitos números, esto es así porque siempre entre dos números hay otro, equidistante de los extremos, que se calcula promediando los extremos, así 11:30 = (11:00 + 12:00)/2. Este es un infinito NO enumerable. 7) Este infinito NO enumerable es MAYOR que el infinito de los números naturales, por tanto, en algun rincón del país del infinito, las gotas de agua, que caen regidas por la definición de este infinito MAYOR, van a superar a los números (naturales) del infinito enumerable. 8) Obvio que NO se puede decir: "cuando los números naturales se acaben", seguirán cayendo gotas que no podrán ser rotuladas, porque los números naturales son de suyo infinitos, sólo que el infinito de gotas generado por la secuencia de los tiempos, es MUCHO mayor ....
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Osea, ¿Hay VARIOS Tipos de INFINITO, algunos de ellos MAYORES que otros ? !!!!!
Sí!!!!!
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Puede Ud. buscar más información en este blog usando etiquetas como "Cantor" ó "Infinito", etc.
A) (1) por si sóla.
Comentario del El Mercurio:
"Con anécdotas, entrevistados, humor y resolución de problemas, Adrián Paenza nos acerca historias que tienen a la Matemática como protagonista. Alterados por Pi ofrece un panorama distinto sobre esta disciplina, más humano, divertido y cercano a la vida cotidiana" (de www.encuentro.gov.ar).
(Desafío para el fin de semana)
2) Como el enunciado no faculta para que se pueda hacer esto, comencé a razonar .....
No se pueden dejar casilleros no incluidos. Pensemos en que un casillero quedase no incluido.
Quedarían 15 para ser repartidos entre 4 divisiones. En caso de no incluir 2, debería dividir los 14 restantes en cuatro figuras ....
3) Por tanto si son cuatro particiones y hay 16 cuadrados, cada una de ellas (las particiones) debe incluir 4 cuadrados.
4) Las únicas posibilidades de particionar son:
Estas son las únicas formas de particinar el cuadro mayor, en cuatro figuras con las características pedidas. Obviamente hay algunas que se pueden modificar un poco por rotación de las anteriores dibujadas, pero en esencia son iguales.
5) Por qué no sirven algunas de ellas y sólo sirve una de ellas !!!!! Veamos la configuración "4 cuadrados en línea":
7) Bueno, nos queda sólo un estilo de partición y la ventaja de saber que es el correcto .... luego de pensarlo un rato y probar las variadas posibilidades, doy con el resultado: 
Pero hagámos el mismo ejercicio usando un neumático de auto .... usando la misma idea ....
¡ OHHHHHH !
sucede lo mismo, nuevamente la distancia es de 15 cm. ......
OHHHHHH !!!!!!
¿ Se atreve Ud. a buscar otro elemento circular, anadiendo un metro de cuerda ?
YO le aseguro que le dará lo mismo !!!!!
¿ y qué pasaría si lo hiciésemos con la tierra ?
pasa EXACTAMENTE los mismo !!!! Aunque NO lo crean o no les resulte intuitivo !!!!Podríamos conjeturar ... que siempre esto SUCEDE, si realizamos la operación bajo la misma óptica y SIEMPRE obtendremos que esa curiosa distancia es de 15 cm. ....
Pero, qué es conjeturar? Veamos el diccionario:
Conjeturar: Creer en algo por conjeturas. Calcular, suponer, pronosticar.
Conjetura: Juicio que se forma por señales o indicios. Hipótesis.
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Veamos en WIKIPEDIA: Por conjetura (del latín coniectūra) se entiende el juicio que se forma (moral, ético o matemático) de las cosas o sucesos por indicios y observaciones. En la Matemática, el concepto de conjetura se refiere a una afirmación que se supone cierta, pero que no ha sido probada ni refutada hasta la fecha. Una vez se demuestra la veracidad de una conjetura, esta pasa a ser considerada un teorema de pleno derecho y puede utilizarse como tal para construir otras demostraciones formales.
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Demostremos matemáticamente que esto es verdad independientemente del radio de la circunferencia que se utilice ..... (probemos nuestra conjetura)
En realidad la distancia precisa es casi 16 cm!
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Usemos los datos verdaderos de la tierra:
Usemos el radio de la tierra para ver si esto es verdad:
Radio de la Tierra, r: 12.742 km (Diámetro promedio según Wikipedia)
Perímetro de la tierra,: 2 x Pi x 12.742 km = 80060,34718 km.
Sumemos un metro = 80060,34718 km + 0,001 km (1 km = 1000 metros)
Perímetro de la Nueva circunferencia = 80060,34818
El radio 'R' de esta nueva circunferencia es: 2 x Pi x R = 80060,34818
R = 12742,00016
Luego restamos los radios: R - r =12742,00016-12742=0,00016 km
0,00016 km = 0,16 m = 16 cm (semejante a 15,9 cm)
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Currículum Chileno:
NEM: Tercero Medio
Eje Temático: I. Algebra y Funciones.
CMO: 2. Funciones. b. Comentario sobre el Teorema de Fermat.
En este punto aparece lo quees una Conjetura, la cual tras demostrarla, se convierte en un teorema.
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Y ojo que tras esto, si sobran unos minutillos, uno puede hablar del planeta tierra. Hay tanto que un matemático puede decir del planeta tierra .... piense en las guerras actuales, en el colapso de los ecosistemas .... incluso invocar a William Blake para hacer un (poético) llamado a nuestra humildad !!!!
Un paso importante hacia la generalización de la geometría helénica fue dado por René Descartes hacia 1637, cuando aplicó los métodos del álgebra a la geometría, no sólo en el uso del álgebra para manipular las dimensiones de las figuras geométricas, sino también para representar un punto como una pareja de números y expresar a las líneas y a ciertas curvas generales por ecuaciones, transformando así problemas geométricos en algebraicos y viceversa.
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La noción de que cualquier punto, por ejemplo, puede ser indicado por su latitud, longitus y altitud, data de tiempos Arquímides y Apolonio de Perga desde el siglo III a.c. y áun cuando Claudio Ptolomeo explota la idea más de 400 años después (con dines tanto cartográficos como astronómicos), son los franceses Descartes y Fermat quienes en el siglo XVII desarrollaron esta noción sistemáticamente.
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(Este potente extracto, brevísimo y claro fue tomado de "Las matemáticas perejil de todas las salsas", de Berlanga, Bosch y Rivaud, Fondo de Cultura Económica, edición 2008)
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Currículum Chileno:
NEM: Segundo Medio
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: 2. Funciones. b. Evolución del pensamiento geométrico durante los siglos XVI y XVII, Aportes de René Descartes al desarrollo de la relación entre álgebra y geometría.
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NOTA:
Pero .... ¡Y Cuál es la limitación Cartesiana?
El RACIONALISMO CARTESIANO planteó que el “observador” es objetivo y que se puede disociar de la naturaleza o cuestión observada. Este elemento desgraciadamente sentó las bases para la destrucción de la naturaleza.
Hoy en día, el ideal clásico de una descripción objetiva de la naturaleza –o partición cartesiana- YA NO ES VALIDO. En la física moderna ya no es posible separar lo observado del observador.
El papiro egipcio del escribano AHNES (ca. 1550 a.c.) era algo así como un manual práctico que incluyó una cuantas ecuaciones lineales, entre otras las del tipo: x + (1/7)x = 19.
Problema: ¿Qué aproximación de Pí supone esta fórmula?
Mauricio Wiesenthal nos ha recuperado, en su delicioso libro Galería de la estupidez, el artículo de Paul Diffloth Ensayos sobre la matemática del amor (1907), que decididamente nos interesa. Dice el matemático-sociólogo:
Mientras Homero está en ese mundo entre lo animado y lo humano aparece en imagen lo siguiente:Algo sin demasiada importancia. Una igualdad como otra cualquiera, pero ¿será cierta?. Agarrá una calculadora común, una científica y hacé la prueba.
1782^12 + 1841^12 = 2.541210259 · 10^39
1922^12 = 2.541210259 · 10^39
Vemos que la igualdad es correcta.
Ahora: El último Teorema de Fermat (matemático francés contemporáneo a Descartes) dice: "Cuando n es un entero mayor que 2, no existen enteros x, y y z distintos de cero tales que
x^n + y^n = z^n".
Esa igualdad es además imposible porque en su primer miembro aparecen potencias de un número par y de un número impar que siempre son, respectivamente, números par e impar, y en el segundo miembro aparece la potencia de un número par, que a su vez es par. Y es sabido que la suma de un par y un impar no pude ser par. Incógnita resuelta, la igualdad no es cierta y su inclusión en ese capítulo es simplemente una "joda" de los creadores de la serie.
¿Por qué en una calculadora sí se cumple?.
Haciendo los cálculos con todas las cifras:
1782^12 + 1841^12 = 2.541.210.258.614.589.176.288.669.958.142.428.526.657
1922^12 = 2.541.210.259.314.801.410.819.278.649.643.651.567.616
El redondeo de la calculadora en la 10ª cifra (en negrita) se produce en el primer caso por exceso y en el segundo por defecto, dando una engañosa apariencia de igualdad.
¿Lo sabía el creador de los SIMPSON, quería jodernos?
Recomiendo este BLOG:
http://www.monsantopeligros.blogspot.com/
y OJO que hay hasta tattoos bien matemáticos .... un ejemplo:
Título de la Imagen: Tatuaje Fibonacci de la bailarina Bo
Autor: Art by Bones at Fallen Angel Tattoo, Citrus Heights, CA
En la foto se ve una clase que está siendo observada por muchos maestros ....
El Estudio de Clases Japonés en Matemáticas consiste en estrategias colaborativas realizadas por los profesores con el objetivo de mejorar a la vez su conocimiento de contenidos y metodologías y los aprendizajes de los alumnos.
Esta modalidad está en la base de los excelentes resultados obtenidos por Japón en los estudios comparativos internacionales tales como el TIMSS, y ha atraído la atención del mundo entero, de modo que países de los cinco continentes están intentando adecuar el Estudio de Clases a sus propias realidades educacionales.
Este libro explica qué es el Estudio de Clases y cómo permite articular los esfuerzos realizados por los encargados gubernamentales de educación, las universidades que forman profesores y los profesores en sus aulas, de manera que cada actor pueda contribuir a la investigación y el desarrollo educacional de su país y de sus personas.
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