Desafío tomado de "las matemáticas, perejil de todas las salsas" (1999, Fondo de Cultura Económica)

Cuadrículas y Fichas de Dominó ..... (página 12)

He aquí el primer problema: en la figura (a) se muestra una cuadrícula que tiene ocho cuadrados en cada, uno de los ocho renglones, o si prefieren, ocho cuadrados en cada una de las ocho columnas. En la figura (b) hemos suprimido dos cua­drados diagonalmente opuestos, es decir, el primer cuadrado del primer renglón y el último cuadrado del último renglón. Así pues, en la cuadrícula completa de la figura (a) tene­mos en total 8 X 8 = 64 cuadrados y en la de la. figura (b), tenemos 64 — 2 = 62 cuadrados.

Como ven, debajo de las cuadrículas aparece una ficha de do­minó que cubre exactamente dos cuadrados de cualquiera de las dos cuadrículas. Para cubrir exactamente la. primera cuadrícula con fichas de dominó como esa, necesitamos 32 fichas (4 fi­chas por cada renglón), ¿cuántas fichas requeriremos para cu­brir exactamente la segunda, cuadrícula?, ¡muy fácil!, si son 62 cuadrados y cada, ficha cubre 2 cuadrados, necesitaremos 31 fi­chas; pero ¿lo podemos hacer? Invitamos al lector, antes de que siga leyendo y de contestar sí o no, a que trate de realizar tal tarea.

Solución:

Si el lector efectivamente ha jugado con las fichas de dominó y la cuadrícula de la figura (b) debe empezar a sospechar que la tarea es imposible, es decir, que con las 31 fichas no se puede cubrir la cuadrícula, a menos que rompamos por la mitad Una ficha. Pero esto no nos dice por qué no se puede y podemos quedar con la impresión de que lo que sucede es que no hemos tenido suerte en nuestros intentos. Nos tranquilizaría que se nos diera una razón contundente de por qué no se puede. A continuación damos tal argumento.

Para ello, pintemos de negro un cuadrado del tablero y uno no, obteniendo algo parecido a un tablero de ajedrez o de damas. En el caso de la cuadrícula (a) 32 cuadros son blan­cos y 32 cuadros son negros; pero para conseguir la cuadrícula (b) suprimimos dos cuadros del mismo color, en nuestro caso dos cuadros negros. Luego en el caso de la cuadrícula (b) tene­mos 30 cuadros negros y 32 blancos.

Ahora bien, una ficha de dominó colocada sobre la cuadrícula, de tal forma que cubra dos cuadrados, siempre cubre uno blanco y uno negro independientemente de cómo la coloquemos.

Luego, el número de cuadros blancos que cubren 31 fichas, es 31, al igual que el de cuadros negros. Pero nuestra cuadrícula (b) tiene 32 cuadros blancos y 30 negros. Por lo tanto ¡con 31 fichas no podemos cubrir la cuadrícula (b) pues si la cubriésemos tendría 31 cuadrados blancos y 31 cuadrados negros y ya antes vimos que tiene 32 blancos y 30 negros.