"El problema difícil" por Nicolai Bogdanov-Belski

Miren la expresión tan bien lograda de estos chicos que piensan este "problema difícil" ...

(Tomado de Viaje a Ítaca con Manolí .... BLOG Linkeado en este blog)

La operación que aparece en la pintura "El problema difícil " realizada en 1895 por Nicolai Bogdanov-Belski y que se exhibe en la Galería Tretyakov de Moscú no es un problema difícil.
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Como 10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2 = 365. La solución es 2. Para el alumno de hoy, o con una calculadora, el móvil, o una simple hoja de papel , el ejercicio es elemental. Pero volvamos al cuadro, el educador Serguei Rachinski pide a sus alumnos de la escuela rural, pobres y malvestidos, que lo resuelvan mentalmente. Por eso no hay papel, solo rostros que traducen una tremenda concentración. Admirable es el merito de Rachinski que abandona la vida universitaria para llevar a la escuela infantil un gusto que alivie de la miseria de los niños, tal como nos cuenta Perelman en su Álgebra recreativa.
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En este libro Perelman nos plantea una generalidad de este ejercicio:

EL PROBLEMA: ¿Es acaso ésta la única serie de cinco números consecutivos, en la que la suma de los cuadrados de los tres primeros es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos?

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Si expresamos el primero de los números buscados con x, tendremos la siguiente ecuación:
x^2+(x + 1)^2 + (x + 2)^2 = (x + 3)^2 + (x+ 4)^2
Sin embargo, es más cómodo expresar con x, no el primer número de los buscados, sino el segundo. Así la ecuación tendrá un aspecto más sencillo:
(x – 1)^2+ x^2 + (x + 1)^2 = (x + 2)^2 + (x+ 3)^2

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Al desarrollar los binomios al cuadrado y reducir los términos semejantes, resultará:

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x^2 -10x - 11 = 0,

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de donde se obtienen las soluciones 11 y -1.
Existen por consiguiente, dos series de números que tienen las propiedades exigidas:

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la serie de Rachinski 10, 11, 12, 13, 14

y la serie -2, -1, 0, 1, 2.