Si continuamos con las tradiciones religiosas, vemos que el capítulo decimotercero del Apocalipsis está dedicado al Anticristo.
sábado, 29 de noviembre de 2008
¿Por qué el número 13 es de mala suerte?
Si continuamos con las tradiciones religiosas, vemos que el capítulo decimotercero del Apocalipsis está dedicado al Anticristo.
viernes, 28 de noviembre de 2008
Comentario de libro: "Un matemático lee el periódico"
Reseña Breve:
José Luis Calvo
Interpretación de datos - Accionistas con PODER, accionistas COMPARSA
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: a. Graficación e iterpretación de datos estadísticos provenientes de distintos contextos.
Fuente: Tomnado del Libro: "Un matemático lee el periódico" (A Matematician Reads the Newspaper), de John Allen Paulós. Editorial: TusQuets Editores. Primera Edición: 1996.
TRES ACCIONISTAS CON PODER:
"Imaginemos una pequeña empresa con tres accionistas. Supongamos que poseen, respectivamente, el 47, el 44 y el 9 por ciento de las acciones, y que basta una mayoría simple del 51 % para aprobar cualquier medida. Me parece a mi que está calro que, aunque uno de los tres accionsitas pueda conducir un todoterreno, los tres tienen el mismo poder. Y es así porque bastan sólo dos, cualesquiera, para aprobar una medida." (pag. 26)
CUATRO DIPUTADOS UNO ES COMPARSA :
(Texto editado de la página 27) Imaginemos que los diputados de Perplejistán se organizan en cuatro grupos, con 45, 44, 7 y 4 por ciento respectivamente. De los tres primeros grupos, dos cualesquiera podrán formar una colaición mayoritaria, pero el grupo menor será siempre una comparsa. Así, a pesar de que la representación del tercer grupo es muy inferior a la de los dos primeros y sólo un poco superior a la del último, tiene tanto poder como los dos primeros, mientras que el último no tiene ninguno.
Interpretación de datos estadísticos .... Votaciones en New York y otros demonios
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: a. Graficación e iterpretación de datos estadísticos provenientes de distintos contextos.
Fuente: Tomnado del Libro: "Un matemático lee el periódico" (A Matematician Reads the Newspaper), de John Allen Paulós. Editorial: TusQuets Editores. Primera Edición: 1996.
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Se ha dicho hace poco que el voto de los negros en NY está más influido por criterios raciales que el de los blancos. La pruba invocada era que el 95 % de los negros dio su voto al alcalde David Dinkins (negro), mientras que sólo el 75 % de los blancos votó al candidato (ganador) Rudolph Giuliani (blanco).
Pero el razonamiento tiene un error, tal como se desprende de la siguiente información adicional:
miércoles, 26 de noviembre de 2008
Evolución histórica de los signos del álgebra - Evolución del Álgebra
Eje Temático: II. Álgebra y Funciones.
CMO: d. Comentario Histórico sobre la evolución del lenguaje algebraico.
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Este tópico ayuda a intruducir el OBJETIVO FUNDAMENTAL: "Percibir la matemática como una disciplina en evolución y desarrollo permanente" (Para el Primero medio) ....
OUGHTRED, Matemático Inglés (1574-1660) Introduce el signo de multiplicación.
RECORDE, Matemático Inglés (1510-1558) Propone el sugno de la igualdad (=), que lentamente fue aceptado.
BOMBELLI, Matemático Italiano (1522-1572) Introduce los paréntesis en los cálculos algebraicos.
HARRIOT, Matemático Inglés (1560-1620) Seguidor del trabajo de Jiéte, lo enriqueción con los signos de la desigualdad (mayor y menor).
VIÉTE, Matemático Francés (1540-1603) Comeinza a usar las letras para representar los números.
STIFEL, Matemático Alemán (1487-1567) Usa los signos (+) y (-) de adición y Sustracción.
martes, 25 de noviembre de 2008
Me pongo este sayo y me queda grande, pero estoy consciente .....
Miguel de Guzmán.
Matemática de las Flores ..... (de la Página de Antonio Pérez)
Las CURVAS Botánicas .....
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En apariencia las hojas de las plantas y los pétalos de las flores están hermanados con la poesía y muy alejados de las matemáticas. Sin embargo también podemos acercarnos a los misterios del crecimiento vegetal a través de curvas y de ecuaciones, y además no demasiado complejas.
Existe una familia de curvas, investigada en el siglo XVIII, que parece haber nacido para identificarse con algunas de las flores que podrás encontrar esta primavera en el Jardín botánico y en tus excursiones por el campo.
Se trata de la CONCOIDE DE ROSETÓN, también conocida como PÉTALO GEOMÉTRICO o ROSETÓN DE TROYA.
haciéndose variar el angulo Teta entre (-Pi/n) y (Pi/n). Pi=3,1415 ...
Para el caso : a y b positivos, a mayor que b,
Usemos en este caso: a=2, b=1; n = 5
Y graficando en Coordenadas Polares, mediante el programa WINPLOT, tenemos:
Entre (-pi/5) y (Pi/5), para nuestro caso, el águlo debe variar entre -36º y 36º o en radianes entre (-0,62831853) y (0,62831853). Entre estos dos valores, se tiene todavía una función ... las otras partes de la flor vienen con la periodicidad de coseno, dada para los ángulos mayores y menores al rango del que hablamos ....
Usando EXCEL, hice una tabla y luego grafiqué las polares a mano, dando lo que vene a continuación:
Tabla de valores:
Gráfica a mano, para algunos valores de ángulos:Nota: ¿Cómo lograr la flor entera?
Con simetrías y rotaciones !
Por ejemplo, el semi-pétalo mayor se puede hacer simétrico respecto del eje horizontal y luego rotarlo 4 veces. El pétalo menor se puede hacer simétrico respecto de la recta con ángulo 36º y luego rotarlo 4 veces. Ojo que la pendiente de la recta sería: m= tg (36º)
El timo bursátil (llamado así por Coto) o Cómo conseguir contrato con un poco de mates (llamado así por Paenza)
crecen las potencias de un número.
Claro, qué importancia tendría. Haber acertado un día lo que pasaría con el oro tiene poca relevancia. Pero sigamos con la idea: el lunes a la noche, de las 64.000 personas que habían recibido su primer mail diciéndoles que el precio del oro subiría, ustedes seleccionan la mitad (32.000) y les dicen que el martes volverá a subir. Y a la otra mitad, los otros 32.000, les envían
un mail diciéndoles que va a bajar. Llegado el martes por la noche, ustedes están seguros de que
hay 32.000 para los cuales ustedes no sólo acertaron lo del martes, sino que ya habían acertado el lunes. Ahora repitan el proceso.
el martes y el miércoles lo que pasaría con el precio del oro. Y acertaron las tres veces (para este grupo).
Para Claudita Drago, la "Paradoja de Gôdel" .....
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El enunciado de su TEOREMA DE LA INCOMPLETITUD dice: Todo sistema matemático contiene proposiciones “indecibles”, es decir, que no son ni demostrables ni refutables con los axiomas contenidos en ese sistema matemático. Este teorema subraya además que NO es posible demostrar que un sistema es coherente permaneciendo en su interior ..... para lograr demostrar coherencia, hay que salir del sistema .....
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No habían pasado 6 años cuando en 1931 K. Gödel daba al traste de forma definitiva con el programa de Hilbert. Pese a todas las expectativas de los matemáticos del tiempo, Gödel demostró que la situación real era precisamente la contraria: En cualquier sistema matemático suficientemente potente para que en él se pueda desarrollar la aritmética de los números naturales existen proposiciones P con perfecto sentido dentro del sistema que son indecidibles, es decir P no se puede demostrar, pero tampoco no-P se puede demostrar.
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Este es el contenido del primer teorema de Gödel (1931) sobre la incompletitud de la aritmética, que probablemente pasará a la historia como uno de los resultados más importantes de pensamiento matemático, en una artículo titulado Über folmalunentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas relacionados).
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Poco después Gödel demostraría además, como resultado complementario, algo que hacía apreciar aún mejor la profundidad de su anterior teorema: Una de tales proposiciones indecidibles es precisamente la que afirma que en el sistema en cuestión no existen contradicciones.
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Es decir, construyamos el sistema matemático que construyamos, con tal tan sólo de que sea suficiente para en él se pueda desarrollar la aritmética ordinaria, no podemos demostrar dentro de él que nunca van a surgir proposiciones contradictorias, es decir no podemos estar seguros de que en él no va a resultar que P es un teorema a la vez que también no-P es un teorema, lo cual naturalmente invalidaría totalmente el sistema, ya que cualquier afirmación y su negación serían igualmente demostrables.
Reconocido como uno de los más importantes lógicos de todos los tiempos, el trabajo de Gödel ha tenido un impacto inmenso en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX. Gödel, al igual que otros pensadores como Bertrand Russell, A. N. Whitehead y David Hilbert intentó emplear la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de la matemática. A Gödel se le conoce mejor por sus dos teoremas de la incompletitud, publicados en 1931 a los 25 años de edad, un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena.
El más célebre de sus teoremas de la incompletitud establece que para todo sistema axiomático recursivo auto-consistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (la aritmética de Peano), existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden demostrarse a partir de los axiomas. Para demostrar este teorema desarrolló una técnica denominada ahora como numeración de Gödel, el cual codifica expresiones formales como números naturales.
También demostró que la hipótesis del continuo no puede refutarse desde los axiomas aceptados de la teoría de conjuntos, si dichos axiomas son consistentes. Realizó importantes contribuciones a la teoría de la demostración al esclarecer las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intuicionista y la lógica modal.
Frases curiosas .... la matemáticas en el cotidiano ....
Estas frase, entre otras recopiladas por Alberto Coto, en su libro "entrenamiento mental" ....
¿Quién es Alberto Coto? (de Wikipedia)
Alberto Coto García (nacido el 20 de mayo de 1970, Lada, Langreo, Asturias) es una reconocida calculadora humana y actual campeón del mundo en cálculo mental.
Asesor Laboral, Fiscal y Contable de profesión, ha demostrado sus habilidades y ha aparecido en numerosos programas e informativos de televisión. En los últimos años ha llevado a cabo demostraciones y conferencias.
VER para Creer:
lunes, 24 de noviembre de 2008
¿Cómo quebrar un casino? Juego de la Ruleta
Considero muy importantes los juegos de mesa para desarrollar las habilidades de cálculo e, incluso, para desarrollar otras habilidades como pueden ser la concentración o la memoria. Yo, ante las jugadas de cartas —tute, mus, brisca, escoba, etc.—, siempre juego calculando. Procuro llevar la cuenta de las cartas que han salido y de los puntos que llevo acumulados y, ante cada jugada, tomo la mejor decisión en función de los puntos que me puede reportar o de si me interesa un grado mayor o menor en el riesgo a tomar.
Jugando de igual a igual, si somos buenos calculadores y controlamos las cartas que van saliendo, tenemos muchísima ventaja y mayor probabilidad de resultar vencedores. Esto es así porque te pueden venir cartas malas y perder, pero jugando con criterio a medio o largo plazo te van a venir cartas de todo tipo.
En los juegos de casino la complicación es mucho mayor, vamos a ver cómo se podría atacar la ruleta.
Si tuviese que escoger un método para tratar de ganar dinero en la ruleta, lo haría basándome en una suposición: «No hay ruleta perfecta, físicamente hablando». Si no hay ruleta perfecta, esto implica que las ruletas son imperfectas. Y si las ruletas son imperfectas, la bola caerá más en unos casilleros que en otros.
Respuesta sencilla: Estudiando cada ruleta. Esto es, armarse de paciencia, trabajar preferiblemente en equipo para ser lo más discretos posible y tomar nota de la caída de la bola en las ruletas (esto está permitido, sin problema).
Cuantas más tiradas tomemos, pues mejor. A partir de aquí, hacemos un estudio matemático, estadístico. Si la bola cae más en unos casilleros que en otros, podremos concluir que en esa ruleta hay mayor facilidad para caer en esos lugares, con lo que nuestras apuestas se dirigirán a esos sitios concretos.
Eso sí, tenemos que contar con que en la ruleta Europea el Casino tiene un 2,7% de beneficio, con lo cual sería lógico que apostásemos cuando la imperfección superase ese 2,7% (en la ruleta americana el beneficio del casino es del 5,26%, con lo que tendríamos que encontrar ruletas quizá demasiado «imperfectas»).
Otra cuestión a tener en cuenta es que estamos hablando de una tendencia que se dará a largo plazo, con lo cual nuestro éxito, matemáticamente hablando, tendrá lugar también a largo plazo. Esto significa que habría que contar con un capital previo (estamos hablando de tendencias a largo plazo, a corto plazo podríamos perder).
El principio fundamental sobre el que se ha de basar el trabajo en la ruleta es fácil de entender: los 37 casilleros que se reparten alrededor de la circunferencia de una ruleta no son físicamente iguales y, por lo tanto, la bola tiene más facilidad para entrar en unos que en otros, dependiendo de las características físicas de cada casilla.
Otro posible factor que otorgue imperfecciones al juego de la ruleta es que el crupier, cansado de hacer siempre lo mismo, tuviese una tirada un tanto automatizada y lanzara la bola y el plato de la ruleta a una velocidad parecida. Es lógico suponer, entonces, que la bola caería aproximadamente a la misma distancia del sitio en el que salió.
Hay casos de jugadores que trabajaron la ruleta de esta forma y a largo plazo consiguieron ganar mucho dinero. Siempre con disciplina y paciencia y, por supuesto, aplicando siempre un criterio matemático a la hora de jugar.
Replanteando COMPUTACIONALMENTE (Programa manipulación gráfica) un anterior problema !!!!
Eje temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Ecuación de la recta. Distancia entre dos puntos. Uso de programa computacional de manipulación algebraica o gráfica.
Recuerdan el problema:
La ecuación de la recta es 3y = -7x+4, entonces la distancia más corta de un punto de la recta al origen del sistema es:
En la anterior resolución se muestra un protocolo de acción que luego es desarrollado. Acá lo resolvimos usando el programa -que se puede bajar de la RED: Geogebra!
En el gráfico:
AB: Recta dada: 3y = -7x + 4
Recta CD, perpendicular a recta AB, Trazo CD es la distancia mas corta, al origen .....
Miren como GEOGEBRA nos da la distancia entre C y D, que es según el gráfico = 0,53 aproximadamente, lo que equivale a:
la solución que antes habíamos encontrado.
viernes, 21 de noviembre de 2008
Continúe el cuento .....
se cayó de un séptimo piso.
Se qebró seis costillas, diez
personas lo vieron caer y entre
dos le dijeron...
Matemáticas y Comics (extracto de Divulgamat)
Luego, en esa nueva sala, el aire se va enrareciendo, mientras una pared se ilumina con unos cuadros con símbolos incomprensibles. Los símbolos no significan nada y así lo reconoce Flash Gordon, pero la disposición de los cuadros le recuerda finalmente la de la tabla periódica de los elementos. Por ello, al presionar sobre los cuadros que, pese a sus símbolos extraños, ocupan el lugar que correspondería a los números atómicos del Nitrógeno y del Oxígeno (los dos mayores componentes de la atmósfera terrestre) se renueva el aire.
El test de ciencia ha sido superado con éxito.
jueves, 20 de noviembre de 2008
Otro Desafío PSU (Santillana) MUY anclado a la realidad
El frente del sitio 2 de la calle Oriente es:
A) 53 m.
B) 40 m.
C) 36 m.
D) 27 m.
E) 26,6 m.
Como al parecer está poco legible el escrito escaneado:
Que corresponde a la siguiente figura:
miércoles, 19 de noviembre de 2008
Desafío PSU - Santillana
Acá, en este ejercicio pedimos UN PROTOCOLO de resolución, cuál será el protocolo más óptimo, el más corto? La idea es entregar un protocolo que cualquier matemático y no tan matemático, al leerlo pueda seguir como un autómata, sus instrucciones.
Si se trata de resultados específicos, será alguna de las siguientes alternativas:
Solución: Posible protocolo a revisar y a mejorar:
1) Sabiendo que la distancia más corta del origen a la recta, es una perpendicular a la recta que pasa por el origen, obtenemos la pendiente de la recta dada.
2) Sabiendo que el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculates es -1, obtenemos la pendiente de la recta perpendicular a la recta dada.
3) Con está última pendiente y el punto (0,0), logramos la recta perpendicular a la dada.
4) Formando el sistema de 2x2 con las dos rectas, obtenemos (buscando la solución al sistema) el punto o pie de de intersección (a,b).
5) Calculamos con (0,0) y (a,b) la distancia, usando la fórmula de distancia.
Hay otro protocolo mejor? Resolvamos usando el protocolo:
La alternativa correcta es la E)Desafío PSU
lunes, 17 de noviembre de 2008
Noticias de Educación en Chile ....
El proyecto LAMOST permitirá conocer la historia de los astros a través de sus emisiones de luz. Entrará en operaciones el 2009. Costó 34.4 millones de dólares. La colina donde está ubicado tiene 960 metros de altura.
4 mil tubos de fibra óptica posee para analizar la luz de las estrellas.
LAS SALAS SE DESORDENAN PARA PROMOVER MEJORES APRENDIZAJES
Esa es la tendencia. Nuevos mobiliarios y formas de distribuir a los estudiantes dentro del espacio del aula pueden ayudar a generar clases más activas y provechosas, tanto para los alumnos como para el profesor., dicen los expertos.
En los colegios de nuestro país hay un promedio de 25.5 alumnos por profesor en básica y 26 en media. EL promedio de los países desarrollados es de 16.2 en básica y 13.2 en media.
viernes, 14 de noviembre de 2008
La Nación - Desafío PSU
I) Obtener un número mayor que 2
II) Obtener un número menor que 4
III) Obtener un número primo
A) I y II
B) I y III
C) II y III
D) I, II, III
E) No son equiprobables.
Solución: El fin de semana o en la semana que viene!
Veamos:
I) Obtener un número mayor que 2: (favorables: números 3,4,5,6 ; 4/6)
II) Obtener un número menor que 4: (favorables: números 1,2,3 ; 3/6)
III) Obtener un número primo: (favorables: números 2,3,5 ; 3/6)
Como dice Joelle, II y III
Suceso Imposible .... Desafío PSU
A) Que al lanzar una moneda no salga cara.
B) Que mañana amanezca nublado.
C) Que al lanzar un dado salga un número primo.
D) Que la sacar una carta de un mazo de naipes de 52 cartas salga un AS.
E) Nacer el 31 de Julio.
Solución: ¿Te atreves? .... mira en los comentarios está la letra de la respuesta !!!!
ERROR del Blogger: la alternativa E) debía decir:
E) Nacer el 31 de JuNio .... Y este si que es un suceso IMPOSIBLE ..... Para Joelle: Nublado mañana, puede ser!
El Aleph - Texto Completo
Hamlet, II, 2
But they will teach us that Eternity is the Standing still of the Present Time, a Nunc-stans (ast the Schools call it); which neither they, nor any else understand, no more than they would a Hic-stans for an Infinite greatnesse of Place.
Leviathan, IV, 46
Beatriz Viterbo murió en 1929; desde entonces, no dejé pasar un treinta de abril sin volver a su casa. Yo solía llegar a las siete y cuarto y quedarme unos veinticinco minutos; cada año aparecía un poco más tarde y me quedaba un rato más; en 1933, una lluvia torrencial me favoreció: tuvieron que invitarme a comer. No desperdicié, como es natural, ese buen precedente; en 1934, aparecí, ya dadas las ocho, con un alfajor santafecino; con toda naturalidad me quedé a comer. Así, en aniversarios melancólicos y vanamente eróticos, recibí las graduales confidencias de Carlos Argentino Daneri.
He visto, como el griego, las urbes de los hombres,
los trabajos, los días de varia luz, el hambre;
no corrijo los hechos, no falseo los nombres,
pero el voyage que narro, es... autour de ma chambre.
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-Estrofa a todas luces interesante -dictaminó-. El primer verso granjea el aplauso del catedrático, del académico, del helenista, cuando no de los eruditos a la violeta, sector considerable de la opinión; el segundo pasa de Homero a Hesíodo (todo un implícito homenaje, en el frontis del flamante edificio, al padre de la poesía didáctica), no sin remozar un procedimiento cuyo abolengo está en la Escritura, la enumeración, congerie o conglobación; el tercero -¿barroquismo, decadentismo; culto depurado y fanático de la forma?- consta de dos hemistiquios gemelos; el cuarto, francamente bilingüe, me asegura el apoyo incondicional de todo espíritu sensible a los desenfadados envites de la facecia. Nada diré de la rima rara ni de la ilustración que me permite, ¡sin pedantismo!, acumular en cuatro versos tres alusiones eruditas que abarcan treinta siglos de apretada literatura: la primera a la Odisea, la segunda a los Trabajos y días, la tercera a la bagatela inmortal que nos depararan los ocios de la pluma del saboyano... Comprendo una vez más que el arte moderno exige el bálsamo de la risa, el scherzo. ¡Decididamente, tiene la palabra Goldoni!
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Otras muchas estrofas me leyó que también obtuvieron su aprobación y su comentario profuso. Nada memorable había en ellas; ni siquiera las juzgué mucho peores que la anterior. En su escritura habían colaborado la aplicación, la resignación y el azar; las virtudes que Daneri les atribuía eran posteriores. Comprendí que el trabajo del poeta no estaba en la poesía; estaba en la invención de razones para que la poesía fuera admirable; naturalmente, ese ulterior trabajo modificaba la obra para él, pero no para otros. La dicción oral de Daneri era extravagante; su torpeza métrica le vedó, salvo contadas veces, trasmitir esa extravagancia al poema1.
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Una sola vez en mi vida he tenido ocasión de examinar los quince mil dodecasílabos del Polyolbion, esa epopeya topográfica en la que Michael Drayton registró la fauna, la flora, la hidrografía, la orografía, la historia militar y monástica de Inglaterra; estoy seguro de que ese producto considerable, pero limitado, es menos tedioso que la vasta empresa congénere de Carlos Argentino. Éste se proponía versificar toda la redondez del planeta; en 1941 ya había despachado unas hectáreas del estado de Queensland, más de un kilómetro del curso del Ob, un gasómetro al norte de Veracruz, las principales casas de comercio de la parroquia de la Concepción, la quinta de Mariana Cambaceres de Alvear en la calle Once de Septiembre, en Belgrano, y un establecimiento de baños turcos no lejos del acreditado acuario de Brighton. Me leyó ciertos laboriosos pasajes de la zona australiana de su poema; esos largos e informes alejandrinos carecían de la relativa agitación del prefacio. Copio una estrofa:
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Sepan. A manderecha del poste rutinario
(viniendo, claro está, desde el Nornoroeste)
se aburre una osamenta -¿Color? Blanquiceleste-
que da al corral de ovejas catadura de osario.
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-Dos audacias -gritó con exultación-, rescatadas, te oigo mascullar, por el éxito. Lo admito, lo admito. Una, el epíteto rutinario, que certeramente denuncia, en passant, el inevitable tedio inherente a las faenas pastoriles y agrícolas, tedio que ni las geórgicas ni nuestro ya laureado Don Segundo se atrevieron jamás a denunciar así, al rojo vivo. Otra, el enérgico prosaísmo se aburre una osamenta, que el melindroso querrá excomulgar con horror pero que apreciará más que su vida el crítico de gusto viril. Todo el verso, por lo demás, es de muy subidos quilates. El segundo hemistiquio entabla animadísima charla con el lector; se adelanta a su viva curiosidad, le pone una pregunta en la boca y la satisface... al instante. ¿Y qué me dices de ese hallazgo, blanquiceleste? El pintoresco neologismo sugiere el cielo, que es un factor importantísimo del paisaje australiano. Sin esa evocación resultarían demasiado sombrías las tintas del boceto y el lector se vería compelido a cerrar el volumen, herida en lo más íntimo el alma de incurable y negra melancolía.
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Hacia la medianoche me despedí.
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Dos domingos después, Daneri me llamó por teléfono, entiendo que por primera vez en la vida. Me propuso que nos reuniéramos a las cuatro, "para tomar juntos la leche, en el contiguo salón-bar que el progresismo de Zunino y de Zungri -los propietarios de mi casa, recordarás- inaugura en la esquina; confitería que te importará conocer". Acepté, con más resignación que entusiasmo. Nos fue difícil encontrar mesa; el "salón-bar", inexorablemente moderno, era apenas un poco menos atroz que mis previsiones; en las mesas vecinas, el excitado público mencionaba las sumas invertidas sin regatear por Zunino y por Zungri. Carlos Argentino fingió asombrarse de no sé qué primores de la instalación de la luz (que, sin duda, ya conocía) y me dijo con cierta severidad:
-
-Mal de tu grado habrás de reconocer que este local se parangona con los más encopetados de Flores.
-
Me releyó, después, cuatro o cinco páginas del poema. Las había corregido según un depravado principio de ostentación verbal: donde antes escribió azulado, ahora abundaba en azulino, azulenco y hasta azulillo. La palabra lechoso no era bastante fea para él; en la impetuosa descripción de un lavadero de lanas, prefería lactario, lacticinoso, lactescente, lechal... Denostó con amargura a los críticos; luego, más benigno, los equiparó a esas personas, "que no disponen de metales preciosos ni tampoco de prensas de vapor, laminadores y ácidos sulfúricos para la acuñación de tesoros, pero que pueden indicar a los otros el sitio de un tesoro". Acto continuo censuró la prologomanía, "de la que ya hizo mofa, en la donosa prefación del Quijote, el Príncipe de los Ingenios". Admitió, sin embargo, que en la portada de la nueva obra convenía el prólogo vistoso, el espaldarazo firmado por el plumífero de garra, de fuste. Agregó que pensaba publicar los cantos iniciales de su poema. Comprendí, entonces, la singular invitación telefónica; el hombre iba a pedirme que prologara su pedantesco fárrago. Mi temor resultó infundado: Carlos Argentino observó, con admiración rencorosa, que no creía errar en el epíteto al calificar de sólido el prestigio logrado en todos los círculos por Álvaro Melián Lafinur, hombre de letras, que, si yo me empeñaba, prologaría con embeleso el poema. Para evitar el más imperdonable de los fracasos, yo tenía que hacerme portavoz de dos méritos inconcusos: la perfección formal y el rigor científico, "porque ese dilatado jardín de tropos, de figuras, de galanuras, no tolera un solo detalle que no confirme la severa verdad". Agregó que Beatriz siempre se había distraído con Álvaro.
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Asentí, profusamente asentí. Aclaré, para mayor verosimilitud, que no hablaría el lunes con Álvaro, sino el jueves: en la pequeña cena que suele coronar toda reunión del Club de Escritores. (No hay tales cenas, pero es irrefutable que las reuniones tienen lugar los jueves, hecho que Carlos Argentino Daneri podía comprobar en los diarios y que dotaba de cierta realidad a la frase.) Dije, entre adivinatorio y sagaz, que antes de abordar el tema del prólogo, describiría el curioso plan de la obra. Nos despedimos; al doblar por Bernardo de Irigoyen, encaré con toda imparcialidad los porvenires que me quedaban: a) hablar con Álvaro y decirle que el primo hermano aquel de Beatriz (ese eufemismo explicativo me permitiría nombrarla) había elaborado un poema que parecía dilatar hasta lo infinito las posibilidades de la cacofonía y del caos; b) no hablar con Álvaro. Preví, lúcidamente, que mi desidia optaría por b.
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A partir del viernes a primera hora, empezó a inquietarme el teléfono. Me indignaba que ese instrumento, que algún día produjo la irrecuperable voz de Beatriz, pudiera rebajarse a receptáculo de las inútiles y quizá coléricas quejas de ese engañado Carlos Argentino Daneri. Felizmente, nada ocurrió -salvo el rencor inevitable que me inspiró aquel hombre que me había impuesto una delicada gestión y luego me olvidaba.
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El teléfono perdió sus terrores, pero a fines de octubre, Carlos Argentino me habló. Estaba agitadísimo; no identifiqué su voz, al principio. Con tristeza y con ira balbuceó que esos ya ilimitados Zunino y Zungri, so pretexto de ampliar su desaforada confitería, iban a demoler su casa.
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-¡La casa de mis padres, mi casa, la vieja casa inveterada de la calle Garay! -repitió, quizá olvidando su pesar en la melodía.
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No me resultó muy difícil compartir su congoja. Ya cumplidos los cuarenta años, todo cambio es un símbolo detestable del pasaje del tiempo; además, se trataba de una casa que, para mí, aludía infinitamente a Beatriz. Quise aclarar ese delicadísimo rasgo; mi interlocutor no me oyó. Dijo que si Zunino y Zungri persistían en ese propósito absurdo, el doctor Zunni, su abogado, los demandaría ipso facto por daños y perjuicios y los obligaría a abonar cien mil nacionales.
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El nombre de Zunni me impresionó; su bufete, en Caseros y Tacuarí, es de una seriedad proverbial. Interrogué si éste se había encargado ya del asunto. Daneri dijo que le hablaría esa misma tarde. Vaciló y con esa voz llana, impersonal, a que solemos recurrir para confiar algo muy íntimo, dijo que para terminar el poema le era indispensable la casa, pues en un ángulo del sótano había un Aleph. Aclaró que un Aleph es uno de los puntos del espacio que contienen todos los puntos.
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-Está en el sótano del comedor -explicó, aligerada su dicción por la angustia-. Es mío, es mío: yo lo descubrí en la niñez, antes de la edad escolar. La escalera del sótano es empinada, mis tíos me tenían prohibido el descenso, pero alguien dijo que había un mundo en el sótano. Se refería, lo supe después, a un baúl, pero yo entendí que había un mundo. Bajé secretamente, rodé por la escalera vedada, caí. Al abrir los ojos, vi el Aleph.
-
-¿El Aleph? -repetí.
-
-Sí, el lugar donde están, sin confundirse, todos los lugares del orbe, vistos desde todos los ángulos. A nadie revelé mi descubrimiento, pero volví. ¡El niño no podía comprender que le fuera deparado ese privilegio para que el hombre burilara el poema! No me despojarán Zunino y Zungri, no y mil veces no. Código en mano, el doctor Zunni probará que es inajenable mi Aleph.
Traté de razonar.
-Pero, ¿no es muy oscuro el sótano?
-
-La verdad no penetra en un entendimiento rebelde. Si todos los lugares de la tierra están en el Aleph, ahí estarán todas las luminarias, todas las lámparas, todos los veneros de luz.
-
-Iré a verlo inmediatamente.
Corté, antes de que pudiera emitir una prohibición. Basta el conocimiento de un hecho para percibir en el acto una serie de rasgos confirmatorios, antes insospechados; me asombró no haber comprendido hasta ese momento que Carlos Argentino era un loco. Todos esos Viterbo, por lo demás... Beatriz (yo mismo suelo repetirlo) era una mujer, una niña de una clarividencia casi implacable, pero había en ella negligencias, distracciones, desdenes, verdaderas crueldades, que tal vez reclamaban una explicación patológica. La locura de Carlos Argentino me colmó de maligna felicidad; íntimamente, siempre nos habíamos detestado.
En la calle Garay, la sirvienta me dijo que tuviera la bondad de esperar. El niño estaba, como siempre, en el sótano, revelando fotografías. Junto al jarrón sin una flor, en el piano inútil, sonreía (más intemporal que anacrónico) el gran retrato de Beatriz, en torpes colores. No podía vernos nadie; en una desesperación de ternura me aproximé al retrato y le dije:
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-Beatriz, Beatriz Elena, Beatriz Elena Viterbo, Beatriz querida, Beatriz perdida para siempre, soy yo, soy Borges.
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Carlos entró poco después. Habló con sequedad; comprendí que no era capaz de otro pensamiento que de la perdición del Aleph.
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-Una copita del seudo coñac -ordenó- y te zampuzarás en el sótano. Ya sabes, el decúbito dorsal es indispensable. También lo son la oscuridad, la inmovilidad, cierta acomodación ocular. Te acuestas en el piso de baldosas y fijas los ojos en el decimonono escalón de la pertinente escalera. Me voy, bajo la trampa y te quedas solo. Algún roedor te mete miedo ¡fácil empresa! A los pocos minutos ves el Aleph. ¡El microcosmo de alquimistas y cabalistas, nuestro concreto amigo proverbial, el multum in parvo!
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Ya en el comedor, agregó:
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-Claro está que si no lo ves, tu incapacidad no invalida mi testimonio... Baja; muy en breve podrás entablar un diálogo con todas las imágenes de Beatriz.
-Bajé con rapidez, harto de sus palabras insustanciales. El sótano, apenas más ancho que la escalera, tenía mucho de pozo. Con la mirada, busqué en vano el baúl de que Carlos Argentino me habló. Unos cajones con botellas y unas bolsas de lona entorpecían un ángulo. Carlos tomó una bolsa, la dobló y la acomodó en un sitio preciso.
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-La almohada es humildosa -explicó-, pero si la levanto un solo centímetro, no verás ni una pizca y te quedas corrido y avergonzado. Repantiga en el suelo ese corpachón y cuenta diecinueve escalones.
Cumplí con sus ridículos requisitos; al fin se fue. Cerró cautelosamente la trampa; la oscuridad, pese a una hendija que después distinguí, pudo parecerme total. Súbitamente comprendí mi peligro: me había dejado soterrar por un loco, luego de tomar un veneno. Las bravatas de Carlos transparentaban el íntimo terror de que yo no viera el prodigio; Carlos, para defender su delirio, para no saber que estaba loco, tenía que matarme. Sentí un confuso malestar, que traté de atribuir a la rigidez, y no a la operación de un narcótico. Cerré los ojos, los abrí. Entonces vi el Aleph.
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Arribo, ahora, al inefable centro de mi relato; empieza, aquí, mi desesperación de escritor. Todo lenguaje es un alfabeto de símbolos cuyo ejercicio presupone un pasado que los interlocutores comparten; ¿cómo transmitir a los otros el infinito Aleph, que mi temerosa memoria apenas abarca? Los místicos, en análogo trance, prodigan los emblemas: para significar la divinidad, un persa habla de un pájaro que de algún modo es todos los pájaros; Alanus de Insulis, de una esfera cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna; Ezequiel, de un ángel de cuatro caras que a un tiempo se dirige al Oriente y al Occidente, al Norte y al Sur. (No en vano rememoro esas inconcebibles analogías; alguna relación tienen con el Aleph.) Quizá los dioses no me negarían el hallazgo de una imagen equivalente, pero este informe quedaría contaminado de literatura, de falsedad. Por lo demás, el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial, de un conjunto infinito. En ese instante gigantesco, he visto millones de actos deleitables o atroces; ninguno me asombró como el hecho de que todos ocuparan el mismo punto, sin superposición y sin transparencia. Lo que vieron mis ojos fue simultáneo: lo que transcribiré, sucesivo, porque el lenguaje lo es. Algo, sin embargo, recogeré.
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En la parte inferior del escalón, hacia la derecha, vi una pequeña esfera tornasolada, de casi intolerable fulgor. Al principio la creí giratoria; luego comprendí que ese movimiento era una ilusión producida por los vertiginosos espectáculos que encerraba. El diámetro del Aleph sería de dos o tres centímetros, pero el espacio cósmico estaba ahí, sin disminución de tamaño. Cada cosa (la luna del espejo, digamos) era infinitas cosas, porque yo claramente la veía desde todos los puntos del universo. Vi el populoso mar, vi el alba y la tarde, vi las muchedumbres de América, vi una plateada telaraña en el centro de una negra pirámide, vi un laberinto roto (era Londres), vi interminables ojos inmediatos escrutándose en mí como en un espejo, vi todos los espejos del planeta y ninguno me reflejó, vi en un traspatio de la calle Soler las mismas baldosas que hace treinta años vi en el zaguán de una casa en Fray Bentos, vi racimos, nieve, tabaco, vetas de metal, vapor de agua, vi convexos desiertos ecuatoriales y cada uno de sus granos de arena, vi en Inverness a una mujer que no olvidaré, vi la violenta cabellera, el altivo cuerpo, vi un cáncer en el pecho, vi un círculo de tierra seca en una vereda, donde antes hubo un árbol, vi una quinta de Adrogué, un ejemplar de la primera versión inglesa de Plinio, la de Philemon Holland, vi a un tiempo cada letra de cada página (de chico, yo solía maravillarme de que las letras de un volumen cerrado no se mezclaran y perdieran en el decurso de la noche), vi la noche y el día contemporáneo, vi un poniente en Querétaro que parecía reflejar el color de una rosa en Bengala, vi mi dormitorio sin nadie, vi en un gabinete de Alkmaar un globo terráqueo entre dos espejos que lo multiplican sin fin, vi caballos de crin arremolinada, en una playa del Mar Caspio en el alba, vi la delicada osatura de una mano, vi a los sobrevivientes de una batalla, enviando tarjetas postales, vi en un escaparate de Mirzapur una baraja española, vi las sombras oblicuas de unos helechos en el suelo de un invernáculo, vi tigres, émbolos, bisontes, marejadas y ejércitos, vi todas las hormigas que hay en la tierra, vi un astrolabio persa, vi en un cajón del escritorio (y la letra me hizo temblar) cartas obscenas, increíbles, precisas, que Beatriz había dirigido a Carlos Argentino, vi un adorado monumento en la Chacarita, vi la reliquia atroz de lo que deliciosamente había sido Beatriz Viterbo, vi la circulación de mi oscura sangre, vi el engranaje del amor y la modificación de la muerte, vi el Aleph, desde todos los puntos, vi en el Aleph la tierra, y en la tierra otra vez el Aleph y en el Aleph la tierra, vi mi cara y mis vísceras, vi tu cara, y sentí vértigo y lloré, porque mis ojos habían visto ese objeto secreto y conjetural, cuyo nombre usurpan los hombres, pero que ningún hombre ha mirado: el inconcebible universo.
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Sentí infinita veneración, infinita lástima.
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-Tarumba habrás quedado de tanto curiosear donde no te llaman -dijo una voz aborrecida y jovial-. Aunque te devanes los sesos, no me pagarás en un siglo esta revelación. ¡Qué observatorio formidable, che Borges!
Los zapatos de Carlos Argentino ocupaban el escalón más alto. En la brusca penumbra, acerté a levantarme y a balbucear:
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-Formidable. Sí, formidable.
La indiferencia de mi voz me extrañó. Ansioso, Carlos Argentino insistía:
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-¿Lo viste todo bien, en colores?
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En ese instante concebí mi venganza. Benévolo, manifiestamente apiadado, nervioso, evasivo, agradecí a Carlos Argentino Daneri la hospitalidad de su sótano y lo insté a aprovechar la demolición de la casa para alejarse de la perniciosa metrópoli, que a nadie ¡créame, que a nadie! perdona. Me negué, con suave energía, a discutir el Aleph; lo abracé, al despedirme, y le repetí que el campo y la serenidad son dos grandes médicos.
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En la calle, en las escaleras de Constitución, en el subterráneo, me parecieron familiares todas las caras. Temí que no quedara una sola cosa capaz de sorprenderme, temí que no me abandonara jamás la impresión de volver. Felizmente, al cabo de unas noches de insomnio, me trabajó otra vez el olvido.
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Posdata del primero de marzo de 1943. A los seis meses de la demolición del inmueble de la calle Garay, la Editorial Procusto no se dejó arredrar por la longitud del considerable poema y lanzó al mercado una selección de "trozos argentinos". Huelga repetir lo ocurrido; Carlos Argentino Daneri recibió el Segundo Premio Nacional de Literatura
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Dos observaciones quiero agregar: una, sobre la naturaleza del Aleph; otra, sobre su nombre. Éste, como es sabido, es el de la primera letra del alfabeto de la lengua sagrada. Su aplicación al disco de mi historia no parece casual. Para la Cábala, esa letra significa el En Soph, la ilimitada y pura divinidad; también se dijo que tiene la forma de un hombre que señala el cielo y la tierra, para indicar que el mundo inferior es el espejo y es el mapa del superior; para la Mengenlehre, es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes. Yo querría saber: ¿Eligió Carlos Argentino ese nombre, o lo leyó, aplicado a otro punto donde convergen todos los puntos, en alguno de los textos innumerables que el Aleph de su casa le reveló? Por increíble que parezca, yo creo que hay (o que hubo) otro Aleph, yo creo que el Aleph de la calle Garay era un falso Aleph.
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Doy mis razones. Hacia 1867 el capitán Burton ejerció en el Brasil el cargo de cónsul británico; en julio de 1942 Pedro Henríquez Ureña descubrió en una biblioteca de Santos un manuscrito suyo que versaba sobre el espejo que atribuye el Oriente a Iskandar Zú al-Karnayn, o Alejandro Bicorne de Macedonia. En su cristal se reflejaba el universo entero. Burton menciona otros artificios congéneres -la séptuple copa de Kai Josrú, el espejo que Tárik Benzeyad encontró en una torre (1001 Noches, 272), el espejo que Luciano de Samosata pudo examinar en la luna (Historia verdadera, I, 26), la lanza especular que el primer libro del Satyricon de Capella atribuye a Júpiter, el espejo universal de Merlin, "redondo y hueco y semejante a un mundo de vidrio" (The Faerie Queene, III, 2, 19)-, y añade estas curiosas palabras: "Pero los anteriores (además del defecto de no existir) son meros instrumentos de óptica. Los fieles que concurren a la mezquita de Amr, en el Cairo, saben muy bien que el universo está en el interior de una de las columnas de piedra que rodean el patio central... Nadie, claro está, puede verlo, pero quienes acercan el oído a la superficie, declaran percibir, al poco tiempo, su atareado rumor... La mezquita data del siglo VII; las columnas proceden de otros templos de religiones anteislámicas, pues como ha escrito Abenjaldún: En las repúblicas fundadas por nómadas es indispensable el concurso de forasteros para todo lo que sea albañilería".
-¿Existe ese Aleph en lo íntimo de una piedra? ¿Lo he visto cuando vi todas las cosas y lo he olvidado? Nuestra mente es porosa para el olvido; yo mismo estoy falseando y perdiendo, bajo la trágica erosión de los años, los rasgos de Beatriz.
A Estela Canto