dos círculos hechos por papá e Inti Simón

Alejandría

EL MUNDO ALEJANDRINO

El devenir de las matemáticas ha dependido en gran medida de los caprichos humanos. Qué otras cosas hubieran producido los griegos clásicos de haberse prolongado indefinidamente su hegemonía, nunca lo sabremos. En el año 352 a.C., Filipo II de Macedonia, provincia al norte de Atenas y al margen de la cultura griega, emprendió la conquista del mundo. Derrotó a los atenienses en 338 a.C. En el año 336 a.c., Alejandro Magno, hijo de Filipo, al frente de las falanges macedonias, consumó la conquista de Grecia, se apoderó de Egipto y, marchando hacia el Oriente, llegó hasta la India, y también, pasando a África, siguió hacia el sur y llegó hasta las cataratas del Nilo. Para nueva capital eligió un lugar de Egipto que era más o el centro de su imperio. Grande en demasía para ser contenido por la modestia, bautizó la nueva ciudad como Alejandría. Alejandro hizo planes para erigir una ciudad y también para poblarla, y empezaron los trabajos. Poco después Alejandria era el centro del mundo helénico, y 700 años más tarde era llamada todavía la más noble de todas las ciudades.

Cosmopolita activo, Alejandro pugnó por derrumbar las barreras de las razas y los credos. Animó e invitó a griegos, egipcios, judíos, romanos, etíopes, árabes, persas y negros a establecerse en la nueva urbe. Florecía en aquella época la cultura persa, y Alejandro puso especial empeño en difundir los estilos de vida griego y persa. Casó con Estatira, hija de Darío, en 325 a.C., y obligó a 100 de sus generales y a 10000 de sus soldados a casarse con mujeres persas. Luego de su muerte se encontraron órdenes escritas en donde disponía el traslado de grandes grupos de asiáticos a Europa y viceversa.

Alejandro murió sin haber terminado de reconstruir el mundo; su imperio se divisió en tres fracciones. De éstas, Egipto resultó ser la más importante desde el punto de vista de los progresos matemáticos que allí se hicieron. Grande fue el acierto de Alejandro al escoger la ubicación de su capital. Localizada en la con junción de África, Asia y Europa, la ciudad recién fundada pronto se convirtió en centro del comercio, gracias a lo cual se hizo opulenta. Los sucesores de Alejandro que gobernaron Egipto, los Ptolomeos, fueron hombres sabios. Apreciaron la gran- . deza cultural de la Grecia clásica y decidieron hacer de Alejandría un gran centro ' cultural.

Bajo su gobierno, dedicaron parte de las copiosas rentas del Estado al embellecimiento de la ciudad, levantando espléndidos edificios, construyendo baños públicos, parques, teatros, templos, bibliotecas y un archivo nacional. Erigieron también el famoso Museo, edificio dedicado a las musas de la literatura, las artes y las ciencias y, adyacente a él, la enorme Biblioteca que, según se dice, llegó a contener 750000 manuscritos, número extraordinario en vista de que en aquellos días los "libros" se escribían y reproducían a mano. Los Ptolomeos invitaron a estudiosos de todas partes del mundo para que, bajo su patrocinio, trabajaran en la afanosa metrópoli. Euclides y Eratóstenes, para hablar por el momento sólo de personajes ya mencionados en nuestro estudio, vivieron y trabajaron en esta urbe. Apolonio se educó allí, y así como éstos hubo muchos otros sabios (algunas de cuyas obras comentaremos más adelante). Estos hombres, procedentes de todas partes del mundo, llevaron a Alejandría el conocimiento de sus lugares de origen, sus costumbres, especímenes de la flora y de la fauna, todo lo cual contribuyó a hacer de la flamante capital una población cosmopolita.

Los sabios se pusieron a laborar en los campos de las matemáticas, la física, la filosofía, la filología, la astronomía, la historia, la geografía, la medicina, la jurisprudencia, la historia natural, la poesía y la crítica literaria. Por fortuna, abundaba el papiro, más barato que el pergamino, para escribir libros, de los cuales era posible confeccionar, aunque muy laboriosamente, muchos ejemplares. Así se convirtió Alejandría en el centro de copiado y adquisición de libros del mundo antiguo. Los sabios no únicamente se dedicaron al trabajo intelectual y a escribir; también enviaron expediciones por todo el mundo con objeto de acopiar más conocimientos. Hicieron construir un enorme parque zoológico y un gigantesco jardín botánico, para albergar las especies de animales y vegetales recogidas en esas expediciones.

Alejandro quería que en su imperio diferentes culturas se fundieran en una sola; en Alejandría cristalizaron sus deseos. La cultura allí nacida fue muy diferente de la griega clásica, y nos interesa conocer la razón de ello porque explica la clase de matemáticas que produjeron los alejandrinos. Por principio de cuentas, la manifiesta segregación de hombres libres y esclavos, típica de Atenas, aquí no existió. Los sabios que aquí mismo trabajaron procedían de todas partes del mundo y de todos los niveles económicos, y como cosa natural se interesaron, desde el punto de vista científico y técnico, en los problemas del comercio, la industria, la ingeniería y la navegación. Como Atenas, Alejandría fue ante todo potencia marítima y vivió del intercambio comercial, sólo que en escala mucho mayor. De ahí el gran interés de los alejandrinos en la astronomía y la geografía, ciencias que les permitirían medir el tiempo con precisión, recorrer grandes distancias por tierra o por mar seguros de su destino, construir carreteras y determinar las fronteras del imperio. Los hombres libres dedicados al comercio se ocuparon más a fondo en la clase de materiales con que traficaban, los métodos de producción y también de expandir sus empresas. Por último, si bien era de griegos el núcleo de eruditos con­gregados en Alejandría, todos ellos asimilaron la influencia de los egipcios, hom­bres prácticos para quienes las matemáticas fueron ante todo instrumento propio de la ingeniería, el comercio y la administración estatal.

Son fáciles de apreciar los resultados que acarrearon la nueva actitud y los intereses de los alejandrinos. Aumentó bruscamente la invención y construcción de aparatos mecánicos que aligeraron parte del trabajo humano. Se establecieron planteles para adiestrar a jóvenes en el campo de la mecánica. Se inventaron cuñas, aparejos, engranajes y hasta un instrumento para medir distancias, igual al que se encuentra en los automóviles de hoy. Arquímedes, el mayor intelecto del mundo alejandrino, construyó un planetario en el cual reprodujo los movimientos de los cuerpos celestes y proyectó una bomba para extraer agua de los ríos. Utilizó un juego de poleas para botar una pesada galera de la flota del rey Hierón de Siracusa. También se inventaron instrumentos para hacer más exactas las mediciones astronómicas.

(Morris Kline, Matemáticas para los estudiantes de Humanidades)

Otro Enfoque: 7 períodos en la Historia de las Matemáticas

1er Período: De la época más remota a la antigua Babilonia y Egipto Inclusive.

2do Período: Contribución Griega, desde 600 años a.c. hasta 300 años de nuestra era. Siendo el período más floreciente los siglos IV y III a.c.

* Grecia, Invención del razonamiento deductivo extricto.
* Geometría Sintética Métrica.

3er Período: Los pueblos orientales y semíticos - hindú, chino, persa, mulsulmán, judío, etc. - en parte antes y en parte después del 2do. período y extendiéndose hasta el 4to.período.

4to Período: Europa durante el renacimiento y la Reforma, aproximadamente los siglos XV y XVI.

* Francia e Italia, surgimiento del álgebra simbólica.

5to Período: Siglos XVII y XVIII.

*XVII: Geometría Analítica.
* Francia, Alemania e Inglaterra: Surgimiento del Cálculo y el Análisis.
* Matemática aplicada a la astronomía.
* Surgimiento de la Ciencia Moderna.

6to Período: Sigo XIX.

7mo Período: Siglo XX.

* Descubrimiento de limitaciones al Razonamiento Deductivo Clásico.

Tres Períodos en la Historia de las Matemáticas (División más gruesa)

1er Período : Desde el albor de la humanidad hasta 1637.

2do Período: desde 1638 hasta 1800 (Algunos prefieren 1821)

3er Período : desde 1801 hasta nuestros días.

1637: La Geometría llegó a ser Analítica, con la publicación de Descartes.

1801: Publicación de la obra maestra de Gauss (Disquisitiones arithmeticae)

1821: Publicación de la obra maestra de Cauchy (Primer Método de Cálculo Diferencial e Integral)

(E.T. Bell, Historia de las Matemáticas, Fondo de Cultura Económica)

Progreso Histórico en el arte de resolver Ecuaciones ....

¿Cómo dimensionar la historia de las Matemáticas ?

"Un babilónico de un siglo bastante remoto que encontró 4 como raíz de la anterior ecuación, había resuelto su ecuación completamente, porque -3, que hoy decimos es la otra raíz, no existía para él; los números negativos no figuraban en su sistema numérico. Las ampliaciones sucesivas del sistema numérico, necesarias para proveer a todas las ecuaciones algebraicas de un número de raíces igual al grado respectivo de las ecuaciones, fué uno de los hechos más significativos en el proceso matemático, y transcurrieron cerca de 4000 años de civilización matemática para establecerlo. El último paso necesario se retardó hasta el siglo XIX"

(E.T. Bell, Historia de las Matemáticas)

La última de Amenábar .... (Comentario Epsilones)

La última de Amenábar cuenta la historia de Hipatia de Alejandría.

Visualmente muy conseguida, el guión resulta muy flojo, al igual que los actores. Tratándose la protagonista de una filósofa, se echa en falta más diálogo, más palabra. La componente filosófica se centra en su descubrimiento (que se pierde con su muerte) de que las órbitas de los errantes (los planetas) son elípticas y no circulares.

La idea es curiosa: suponiendo la idea de Aristarco de que la Tierra gira alrededor del Sol, ¿cómo se explica que este parezca estar a veces más lejos y otras más cerca? Es como si ocupase dos posiciones a la vez. Ahora, si un planeta se mueve en círculos, está a la misma distancia del centro. Pero si este ocupa dos posiciones distintas, será la suma de distancias a estas dos posiciones la que se mantenga constante. Le voilà, la elipse.

El resto de la película es una sucesión de matanzas entre los seguidores de Serapis, los judíos y los cristianos. Y claro, tratándose de matar, ganan los cristianos. Pero esto es todo: una sensación de profunda malestar, mucha violencia y poca profundidad.

La pelicula tiene algunos hallazgos visuales: en unas vistas cenitales aceleradas de una algarada cristiana, los humanos parecen auténticas cucarachas. También son atractivas algunas vistas de la Tierra desde el espacio exterior. Da la sensación de que el silencio del cosmos se viese roto en las próximidades de Tierra, tan ruidosa ella.

Título original: Agora. España, 2009. Dirección: Alejandro Amenábar. Guión: Alejandro Amenábar y Mateo Gil.

Hyphatia (Tomado de Epsilones)

Hipatia (355 o 370 - 415), filósofa y matemática alejandrina, escribió comentarios sobre Diofanto, Tolomeo y Apolonio. Llegó a ser reconocida cabeza de la escuela de filosofía neoplatónica de Alejandría, y su elocuencia, belleza y dotes intelectuales atrajeron gran cantidad de alumnos.

Hipatia simbolizó el aprendizaje y la ciencia, lo cual los primeros cristianos identificaban con el paganismo. Por este motivo fue cruelmente asesinada por una fanática turba cristiana formada por monjes y seguidores del obispo Cirilo el año 415. La marcha poco después de estos hechos de muchos sabios marcó el inicio de la decadencia de Alejandría como centro del saber antiguo, y para muchos el final de la matemática antigua.

Cine: Ágora

Matemáticas Cortazianas .... Clasificando con las Esperanzas!

Una esperanza creía en los tipos fisonómicos, tales como los ñatos, los de cara de pescado, los de gran toma de aire, los cetrinos y los cejudos, los de cara intelectual, los de estilo peluquero, etc. Dispuesto a clasificar definitivamente estos grupos, empezó por hacer grandes listas de conocidos y los dividió en los grupos citados más arriba. Tomó entonces el primer grupo, formado por ocho ñatos, y vio con sorpresa que en realidad estos muchachos se subdividían en tres grupos, a saber: los ñatos bigotudos, los ñatos tipo boxeador y los ñatos estilo ordenanza de ministerio, compuestos respectivamente por 3, 3 y 2 ñatos. Apenas los separó en sus nuevos grupos (en el Paulista de San Martín, donde los había reunido con gran trabajo y no poco mazagrán bien frappé) se dio cuenta de que el primer subgrupo no era parejo, porque dos de los ñatos bigotudos pertenecían al tipo carpincho, mientras el restante era con toda seguridad un ñato de corte japonés. Haciéndolo a un lado con ayuda de un buen sandwich de anchoa y huevo duro, organizó el subgrupo de los dos carpinchos, y se disponía a inscribirlo en su libreta de trabajos científicos cuando uno de los carpinchos miró para un lado y el otro carpincho miró hacia el lado opuesto, a consecuencia de lo cual la esperanza y los demás concurrentes pudieron percatarse de que mientras el primero de los carpinchos era evidentemente un ñato braquicéfalo, el otro ñato producía un cráneo mucho más apropiado para colgar un sombrero que para encasquetárselo. Así fue como se le disolvió el subgrupo, y del resto no hablemos porque los demás sujetos habían pasado del mazagrán a la caña quemada, y en lo único que se parecían a esa altura de las cosas era en su firme voluntad de seguir bebiendo a expensas de la esperanza.

Comentario (Matemático) de "Agora" .... (Cine)

Comentario (Matemático) de Ágora .... (Cine)

¿Y si la tierra, no describiera orbitalmente un círculo, si no siguiera esa sección cónica -considerada en Alejandría- como "la" curva perfecta ? ¿ Y si estuvíesemos equivocados, y el sistema heredado de Ptolomeo se desgajara, y nos obligara sentirnos que no somos el centro del universo ?

El camino de la ciencia es un (auto)exilio existencial, un derrotero que siempre nos lleva a la incertidumbre; hoy a la incapacidad (Heisenberg-iana) de saber -a la vez- la posición y la velocidad de una partícula subatómica; ayer a la soledad del ser humano que comienza a descubrir con dolor su periferia, pues como bien poetiza Drexler: somos apenas "una estrellita de nada, en la periferia de una galaxia menor, una entre tantos millones y un grano de polvo girando a su alrededor" ....

Hypatia se transformó en una constante de fondo en mi vida, primero cuando vi su imagen acuñada en lo que quizás fuera una moneda antigua, en un libro de texto de mi educación secundaria en matemáticas, desde el que extraje una técnica algebraica asociada a su creación; luego como la primera mártir mujer de la ciencia astronómica/matemática; y más tarde al considerar su muerte como un atentado patriarcal, como la intolerancia religiosa frente a "un otro" que profesó abiertamente -en desmedro de todo tipo de culto- creer en la filosofía y en la ciencia, desacato acrecentado por el hecho de que el referido "un otro" era atrevidamente "una otra".

No aceptaron los dueños del orden sagrado que una mujer fuera inteligente, que dirigiera la cátedra más elevada, que sus decisiones dibujaran el destino de la descomunal borgeana-biblioteca de Alejandría, y se dejaron bautizar por el miedo, por el miedo a perder el poder, los que en uno u otro bando la miraron con admiración e incluso con "amor"....

¿Puede una mujer abandonar el designio societal compulsivo de construir una familia y ser solamente una buena dueña de casa? ¿Puede una mujer pensar más allá del catecismo oficial?

El sol ocupa uno de los 2 focos de una elpipse, ese imperfecto círculo (con excentricidad mayor que 0 y menor que 1, como decimos los matemáticos), con lo cual la tierra a veces está más lejos o más cerca del sol, lo que a su vez significa observarlo de diferentes tamaños y sentirlo con diferentes intensidades climáticas. Esta, que fuera la primera Ley de Kepler: "Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el sol situado en uno de sus focos" fue intuida -tal vez- por Hypathia, 1200 años antes del propio Kepler, cuando se atrevió a soñar que no hay campos vedados -para nadie- en el quehacer humano.

Con Hypathia aprendo día a día a soñar prohibido y construyo con su ejemplo -poco a poco y desde mis limitaciones- la convicción profunda de que los valores y la verdad no tienen precio. Gracias por tu vida, bella Hypathia ....

P.D.: Ahhhh, la película es un buen logro de Alejandro Amenábar, con una excelente recreación de la época, no atiborrada de fórmulas como yo esperaba, con unos mapeos desde Alejandría al planeta Tierra en el espacio, como sintomáticos del viaje que debemos realizar a diario, para trascender nuestras búsquedas. Recomendada para matemáticos(as) y no matemáticos(as) ....

• Nombre de la pelicula: Ágora (2009).
• Sinopsis de la película:
  En el siglo IV, Egipto era una provincia del Imperio Romano. Su ciudad más emblemática, Alejandría, se había convertido en el último baluarte de un mundo en crisis, confuso y violento. En el año 391, las revueltas callejeras alcanzaron una de sus instituciones más legendarias: la biblioteca. Atrapada tras sus muros, la brillante astrónoma Hypatia (Rachel Weisz), filósofa y atea, lucha por salvar la sabiduría del mundo antiguo, sin percibir que su joven esclavo, Davo, se debate entre el amor que le profesa en secreto y la libertad que podría alcanzar uniéndose al imparable ascenso de los cristianos...
• (by peliculasyonkis.com)
• Categorías de la película: Aventuras. Romance. Histórico. Imperio romano.
• Año de estreno: 2009.
• (Tomado de Películas Yonkis)

Para VER Ágora online, en español, pero en dos partes (por día deja ver sólo la mitad del film)

http://www.peliculasyonkis.com/pelicula/agora-2009-vo/

http://www.megavideo.com/?s=seriesyonkis&v=92Q4SQUU&confirmed=1

Humor ....

Chalaila de Moebius (Contribución de Philip)

¿ Cómo se dice en Alemán ?

Cómo ven las matemáticas ..... Cómo las vemos, los matemáticos .....

El camino de Bunyan:

"Probablemente no hay ciencia como las matemáticas que presente tan distinta apariencia a los ojos de quien las cultiva que a los de quien no las cultiva. Para {este último} es antigua, venerable y completa; un cuerpo de razonamiento árido, irrefutable y lúcido. En cambio, para el matemático su ciencia está todavía en el purpúreo florecimiento de la juventud vigorosa, extendiéndose por doquier tras lo "asequible pero no logrado", y traspasada de la excitación de los pensamientos nacientes: su lógica acosada de ambigüedades, y sus procesos analíticos, como el camino de Bunyan, discurren entre terreno fangoso, de un lado, y del otro un profundo canal, y se ramifican en múltiples veredas que van todas a dar a un yermo."

(Lie, Theorie der Transformationsgruppen)

LAS OCAS Y EL TIEMPO

Existen algunos aspectos de la matemática ligados a la temporalidad. Según el artículo de Apéry (1984), la creación matemática comporta dos fases:

Primera fase: auténtica actividad matemática, caracterizada por la fugacidad y la incomunicabilidad, ligada a la temporalidad intuitiva (subjetiva, independiente del lenguaje).

Segunda fase: introducción de notaciones, fbrmalización, traducción (parcial); la intuición en términos comunicables.

Por otra parte, hay otro elemento temporal que es ineludible; para describirlo, Apéry (1984), recurre a una comparación con la música:

Al revés de los monumentos, que perduran, la melodía desaparece; para que reaparezca, es necesario reproducirla [...] Del mismo modo, un razonamiento matemático, esencialmente frágil, necesita rehacerse para ser comprendido: un texto matemático se lee con la pluma en la mano. [...] El examen de un razonamiento matemático exige que en cada etapa se abarquen simultáneamente las premisas, la conclusión y la regla de razonamiento utilizada.

El mismo tipo de argumento emplea también para referirse a otro aspecto esencial, que las corrientes clásicas dejan de lado: la subjetividad. "Las distintas ejecuciones de una obra musical nunca son rigurosamente idénticas; dependen de la personalidad del director de la orquesta. De la misma manera, la reproducción de un razonamiento contiene una parte subjetiva irreductible."

Entre otras cosas, esto contempla la necesidad que tienen los matemáticos de incorporar conocimientos exteriores a la propia personalidad, con el fin de hacerla más fecunda. Como dijo Poincaré: "Un perro que devora a una oca almacena grasa de perro y no grasa de oca".

En definitiva, no existe la matemática sin los matemáticos. Una matemática "ideal" debería requerir matemáticos inmortales, insensibles a las pasiones o los sufrimientos, con una memoria perfecta e incansable.

Para el constructivismo, la matemática ha tenido un comienzo; los objetos que constituyen su estudio aparecen en el momento en que el matemático los define. Lo curioso es que un instante después, se puede considerar que tales objetos han existido siempre, tal como ocurre con las invenciones que se producen en ese mundo fantástico que construye el filósofo Michael Ende (2002) en La historia interminable.

Se entiende entonces el rechazo intuicionista al infinito actual cantoriano, pues el matemático puede definir números tan grandes como quiera, pero no puede tenerlos a todos. Lo cual, en el fondo, quizás no sea tan malo... Al fin y al cabo, ¿para qué querría uno tener tantos?

(Pablo Amster, Fragmentos de un Discurso Matemático)

Dos tipos de matemáticas ....

Hay dos manera de mirar a la Matemática {...} la tradición babilónica y la tradición griega. Eucliedes descubrió que había una forma según la cual todos los teoremas de la geometría podían ordenarse a partir de un conjunto de axiomas particularmente simples {...} La actitud babilónica {...} es que uno conoce todos los teoremas y muchas conexiones entre ellos, pero nunca se da cuenta por completo de que eso podría provenir de un montón de axiomas. Incluso en matemática se puede comenzar por distintos sitios. En física necesitamos el método babilónico, no el euclideano o griego. Richard Feynman, El carácter de las leyes físicas.

En este BLOG cuadramos el círculo .....

Simce - 4to. Básico

Para sumar mentalmente 7 + 8, lo más sencillo es hacer lo siguiente:

A) 7 + 7 + 1

B) 7 + 4 + 4

C) 4 + 3 + 4 + 4

D) 4 + 3 + 5 + 3

Respuesta:

Un Ejercicio SIMCE ....

Los números que completan la serie 10, 9, 20, 18, 30, 27, __, __ son:

A) 4, 5

B) 5, 4

C) 36, 40

D) 40, 36

Rsepuesta:

¿ Por qué multiplicaban así los(as) Campesinos(as) Rusos(as) ?

Este es un sistema de multiplicación -al parecer- inventado por los campesinos y campesinas rusas.

Es muy similar al que empleaban los escribas egipcios.

Suponemos que se quiere multiplicar dos números: 37 x 115, como ejemplo.

Para empezar se constituyen dos columnas poniendo el número más pequeño (3) a la izquierda y el más grande a la derecha (115)

Regla para las columnas: Cada número de la columna de la izquierda es el resultado de dividir por 2 el anterior número (el que está arriba) y se descarta el resto. El de la columna derecha se obtiene duplicando el de arriba.

Seguidamente, se suman aquellos valores de la columna derecha que hayan quedado en una fila encabezada por un número impar; en nuestro ejemplo:

115 + 460 + 3680 = 4255 = 37 x 115

¿ Por qué sucede esto ?

Para explicar este fenomeno, ponemos una nueva columna con las potencias de 2, incluído el 2 elevado a cero = 1:

Si nos fijamos bien, las filas que empiezan por impar, en la columna de más a la izquierda son:

37 y se le asocia: 115 ..... 1

9 y se le asocia: 460 ..... 4

1 y se le asocia: 3680 .... 32

Luego: 115 (37) =

= 115 ( 1 + 4 + 32 ) =

= 115x1 + 115x4 + 115x32 =

= 115 + 460 + 3680 = 4255

APLAUSOS

Disgresiones en Torno a las Matemáticas

" Las matemáticas son una ciencia en la que nunca se sabe de qué se habla, ni si lo que se dice es verdadero " (Bertrand Russell).

"La matemática es el arte de nombrar de la misma manera cosas distintas" (Henri Poincaré)

"La matemática pura es religión" (Novalis)

"Dios creó los números naturales; todo lo demás es obra del hombre" (Leopold Kronecker)

Las Matemáticas: Idioma UNIVERSAL ? Conversando con Susume y Philip!

OJO, este es un texto divergente!

Susana sana-sana, ya hablamos ayer -y en eso coincidimos con Philip-

en que una de las importancias del cero viene dada en el concepto conocido como

"Notación Posicional de base 10"

El cero fue EL POSIBILITADOR de los Sistemas Posicionales,

hasta antes del cero había sistemas de numeración por adición (o resta, se entiende), fundamentalmente!

(Como la numeración Romana, como el sistema de numeración Mapuche)

Es curioso y bello que sin tener idiomas comunes en el habla, si lo tenemos en las matemáticas .... con Philip!

Te fijaste que el rotuló la importancia del cero, como un elemento de "Filosofía de las Matemáticas" ....

Y no fue un "creimiento latinoamericanista", decir que el cero vino de oriente desde las matemáticas indias y desde AbyaYala, de la maravillosa cultura mayense .... Cuando Philip andaba vestido de bárbaro, nosotros en américa gozábamos del cero (ja ja ja) ....

Lo primero es lo primero: No todas las civilizaciones han usado el 10 como base.

Por ejemplo: los Babilonios usaron el 60 como base y no se sabe por qué.

Algo de ello heredamos y por eso es que dividimos el círculo en 360º (6x6=36)

y las horas en 60 minutos y los segundos .... (suma y sigue).

Creo que los Mayas usaron como base el 20 .... (esto rememora dedos de manos + dedos de patas?)

Cuando Europa adoptó la base 10, eligió la práctica India.

(Obviamente uno tiene empatía al 10 porque tenemos 10 dedos en las manos)

Tomemos otra base: Base "6" .... los dígitos que entran al juego son: 0,1,2,3,4,5.

Cuando usamos base "10", los dígitos son 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ....

En base 6, los pesos crecientes son las potencias de 6 (En azul). Ojo que 1 es potencia de 6, es 1 elevado a cero.

En base 6, NO podemos usar el símbolo 6, pero si podemos colocar el "1" en una posición nueva.

Para escribir 6, en base 6, escribimos 10, es decir: 1x6 + 0x1 = 6 + 0 = 6

Así: 7, en base 6 = 11, es decir: 1x6 + 1x1 = 7

22 en base 6 = 34, es decir: 3x6 + 4x1 ...

veamos que es 111: 1x36 + 1x6 + 1x1 = 43

En base 10, cuando pasamos del 99 al cien, usamos un 1 en la tercera posición y dos ceros en las decenas y las unidades.

Ahora los pesos crecientes son potencias de 10.

Es decir:

100 = 1x100 + 0x10 + 0x1 = 100.
Otros casos:

32 = 3x10 + 2x1

354 = 3x100 + 5x10 + 4x1

7892 = 7x1000 + 8x100 + 9x10 + 2x1

En base 2, se pueden usar sólo los dígitos 0 y 1.

Ahora los pesos crecientes son obviamente las potencias de 2 (en rojo).

2 = 10 = 1x2 + 0x1

8 = 1000 = 1x8 + 0x4 + 0x2 + 0x1

7 = 111 = 1x4 + 1x2 + 1x1

Ahora los pesos decrecientes son las potencias de 2.

Este es un sistema potente para la computación y de hecho esta se basa en este sistema, el binario, porque los números se escriben con ceros y unos solamente, lo que se asocia a encendido y apagado, la existencia o no de un pulso eléctrico.

Este sistema es muy loco porque las únicas tablas que te debes saber son las del cero y el uno, así multiplicar en muy fácil, pero lo loco es que un pequeño números se debe expresar con muchos ceros y unos.

111111 = 1x32 + 1x16 + 1x8 + 1x4 + 1x2 + 1x1 = 63 .... se ocupan muchos dígitos ....

Bueno, tu -podemos decirlo así- eres la abogada del diablo del Sistema NO posicional Romano-

Como se escribe en romano:

1 = I

2 = II

3 = III

4 = IV

5 = V

100 = C

1500 = MD

32 = XXXII

999 = CMXCIX (se van enredando la cosa)

¿ y cómo sumas ? : 32 + 32 = XXXII + XXXII = XXXXXXIIII = LXIV

Lo lograste, felicitaciones, ahora suma 999+999 = CMXCIX + CMXCIX ..... que cosa!

¿ pero, y cómo multiplicas ?

¿ Y cómo vamos con las fracciones ? (Ellos usaban un sistema doudecimal y enredaban + las cosas)

Operar en nuestro sistema decimal es mucho más fácil, porque por ejemplo cuando sumas

(cosa que yo ahora explicito, pero que lo hacemos de forma cuasi automática), procedemos:

342 + 133 = (3+1)x100 + (4+3)x10 + (2+3)x1 = 4x100 + 7x10 + 5x1 = 475

y cuando nos pasamos, suma con reserva sucede:

342 + 833 = (3+8)x100 + (4+3)x10 + (2+3)x1 = 11x100 + 7x10 + 5x1 = 1x1000 + 1x100 + 7x10 + 5x1 = 1175

Esta posibilidad, de otorgar pesos a las diferentes posiciones de un número, se logra gracias a la existencia del CERO!

¿Lo percibiste?

Es sutil .... pero ahí te va!

ja ja ja ....

Conclusión: No hay bases mejores que otras (incluso hoy día hay gente que explica que la mejor base es 12, para lo cual deberías usarse los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A(=10),B(=11), pero sí los SISTEMAS POSICIONALES en cualquiera de ellas (en cualquiera base, digo) son mejores que los sistemas por adición!

ja ja ja ....

lo interesante es si sentiste la sutil magia del cero !!!!!

Botella de Klein, desde un Cuadrado ....

¿ palabras incomprensible ?

"desde un cuadrado damos origen a la superficie no orientable de género 2 conocida como botella de Klein (...) La Botella de Klein es una superficie no orientable, es decir, si damos un paseo en ella, al volver perdemos la orientación: la "derecha" se transforma en izquierda" y viceversa ...

El Blogger dice:

¿ No se parecen los viejos políticos de mi país

a una Botella de Klein ?

buscando Comics Matemáticos en la WEBs

Historia Matemáticas en COMICs

http://ares.cnice.mec.es/matematicasep/colegio/historia.html

Otro Método para Resolver Ecuaciones Cuadráticas (x cambio de variable)

¿ Dónde las Matemáticas se separan de la Física ?

Supongamos que un primer barco se encuentra en el punto A y un segundo barco en B, exactamente a 10 kilómetros al norte de A.

El barco que está en B navega hacia el Este a velocidad de 2 kilómetros por hora.

El barco que se encuentra en A es capaz de navegar a la velocidad de 5 kilómetros por hora, y su capitán desea interceptar la otra nave.

Para trazar el curso correcto el capitán del barco que está en la posición A debe saber en donde podrán encontrarse ambos navíos. Supongamos que ambos navíos se encuentran en C.

RESOLVAMOS:

Sabemos que hay una relación entre Velocidad (V), distancia (d) y tiempo en recorrer esas distancia (t):

La relación es: V=d/t, de donde podemos despejar el tiempo: t = d/V

Calcularemos el tiempo para ir, de cada barco, desde su posición inicial hasta C, sean esos tiempos tA y tB:

Y tenemos dos soluciones, pero una es negativa .... aquí acostumbramos a decir que objetamos la negativa, es decir la tomamos como NO válida, porque las distancias NO son negativas .... pero no analizamos nada más ....

Dicen que este fue un momento eludido por los mejores pensadores matemáticos en el siglo XIX .... Y aquí hay un auténtico enigma:

¿ Cómo apreció este valor negativo de x ?

Esto nos lleva a mirar la naturaleza de las matemáticas y su relación con el mundo físico ....

LOS PROCEDIMIENTOS MATEMÁTICOS PUEDEN IMPLICAR ELEMENTOS NO PRESENTES EN EL MUNDO FÍSICO.

Cuando elevamos al cuadrado (1), paso matemático válido, se introduce una solución adicional ....

Esto sucede pues si la ecuación hubiese sido:

habríamos llegado a la misma igualdad (2) y todo el proceso de allí en adelante sería el mismo.

ESTE ES EL LUGAR PRECISO EN DONDE LAS MATEMáTICAS SE APARTAN DEL MUNDO FÍSICO ....

==========

(Tomado de: "Matemáticas para los estudiantes de humanidades", Morris Kline, Fondo de Cultura Económica)

Extracción de Raíz Cuadrada

EXTRACCIÓN de RAÍZ CUADRADA:

1) Se divide en porciones de dos cifras, desde la derecha.

2) Se extrae raíz cuadrada de la primera porción de la izquierda (por defecto).

Raíz cuadrada de 45 es 6 y sobran 9.

3) A la derecha de esta resta se escribe la porción siguiente, 96, y se forma el número 996. Se separa la cifra de la derecha por una coma colocada arriba (99'6).

4) El número de la izquierda de la cifra separada se divide por el doble de la raíz encontrada.

99:12 =7.

5) Se escribe esta cifra 7 a la derecha de la raiz y también a la derecha del divisior.

6) Se multiplica 7 por 127 y el producto se resta de 996; la resta es 107.

7) A la derecha de esta resta 107 se escribe la porción siguiente, 84, y se forma 10 784.

8) Se separa la última cifra (4) por una coma (1078'4) y el número 1 078 se divide por el doble de la raíz encontrada, por 134.

1 078: 134 = 8

9) Se escribe 8 a la derecha de la raíz y también a la derecha del divisor.

10) Se multiplica 8 por 1 348 y el producto se resta de 10 784; la resta es cero.

PARA UN NUMERO DECIMAL :

Si el número es decimal, la separación en grupos de a dos cifras se principa desde la coma a uno y otro sentido, completando con cero, si el número de cifras decimales es impar. Se debe colocar la coma en la raíz al terminar la operación con la última porción entera.

Para calcular cifras decimales, se agrega a la resta dos ceros por cada cifra decimal que se calcule.

==========

(Tomado de: "Curso de Matemáticas Elementales - ALGEBRA" Francisco Prôschle)

ja ja ja, esto contestaron en un exámen ....

Dé la definición de círculo:
Es una linea pegada por los dos extremos formando un redondel.

Yo no podría definirlo mejor... (le contestó el profe)

Hay diarios y hay diarios .... DIARIO UNO, dando un espacio a las matemáticas ....

Enseñando el truko más simple para llenar un SUDOKU !!!!!

a la PSU ....

Increíble !!!!! (Matemáticas del Peje)

Eclipses !!!!

ECLIPSE SOLAR PARCIAL EN STGO

Este domingo 11 de julio Santiago podrá disfrutar de un eclipse solar, un evento cósmico que ocurre pocas ocasiones. En Santiago el eclipse comenzará a las 16:00hrs, llegará a su nivel máximo a las

17:00hrs y terminará a las 17:50hrs

Susana Conejeros Barahona
Raidha ARTE & comunicacioneS

Induce a equívocos ... Son bien parecidos, pero significan diferente ....

hay un país con círculos verdes ... (ó el odioso mapa de Lavín)

Hay un país de círculos verdes …

(ó el odioso semáforo de Lavín)

Hay un país de círculos verdes, otro de círculos amarillos,

hay un otro país de círculos rojos.

es el viejo sueño fascista-criollo

de dar vouchers a la educación exitista…

Tendremos padres y madres tratando de lograr un cupo

en los verdes y santificados colegios eficientes al modelo y reproductores del mismo

ahora que recibimos un mapa-Lavín

con los colegios malos y los buenos, y los en “vías de desarrollo”…

( OJO que hay otros mapas desde hace tiempo:

uno con los mapuches malos y los MAPUCHES BUENOS …)

Al mapa le antecede una carta

llena de buenas intenciones y compromisos pro educación

un montón de paraísos, pero como bien dijo nuestra amiga Cecilia

“sólo para el país de los círculos verdes” ….

(me recuerda cuando en la juntas de accionistas de ENDESA

nos daban un círculo ROJO, a los accionistas minoritarios en contra de Ralco

y entregaban círculos VERDES, a los accionistas mayoritarios por Ralco) …

Es que ayer nos juntamos en nuestra ruka-colectiva-Babel

para hablar de educación y otras yerbas

en este círculo matríztico de crecimientos, cocinamientos y cariñamientos

y se nos ocurrían acciones posibles:

“pararnos en silencio frente al ministerio, con círculos rojos en el pecho” …

¿Qué quedará de todo esto?

¿Necesitaremos de otra revolución pinguina para despertar?

uno echa mano a sus recursos tribales

y mi esperanza lejos está en ellos, en los jóvenes

sólo espero que esta vez, los viejos,

estemos a la altura …

Ayer, en una acción en un concurrido espacio público, comercial

tras el forcejeo ideológico con una decena de guardias

uno de ellos arteramente me quitó el lienzo

¿y adivinen qué?

fueron los pingüinos los que alzaron sus quejas

Y ERAN DE UN COLEGIO DEL PAIS DE LOS CIRCULOS VERDES!

y rápidamente, dos de ellos, con esa mágica esperanza

que esconden en sus estuches

llegaron con sendos carteles –para reemplazar el mío- hechos en hojas de cuadernos …

Por eso les aseguro (y este es un teorema muy matemático)

-que en los sueños jóvenes-

“HAY UN PAIS DE CIRCULOS VERDES,

CON

CIRCULOS ROJOS …

EN SU BARRIGA”

Genética y Matemáticas

Los espermatocitos humanos (igual que las células que constituyen el organismo) contienen 24 pares de cromosomas, y de ellos se forman los gametos masculinos o espermatozoides. El espermatozoide contiene 24 cromosomas, cada uno de los cuales procede de uno de los 24 pares de la célula progenitora. Por lo tanto, el conjunto de los cromosomas de un espermatozoide en particular es una de

combinaciones posibles. El ovocito, o célula precursora del gameto femenino, más conocido como óvulo, contiene también 24 pares de cromosomas.

El óvulo que resulta del ovocito contiene 24 cromosomas, cada uno de los cuales procede de uno de los 24 pares del ovocito. Por consiguiente, los cromosomas pueden ordenarse de

maneras posibles para formar un óvulo. En la concepción, un espermatozoide
une o fertiliza a un óvulo.

Habiendo

espermatozoides posibles y óvulos posibles, el número de combinaciones cromosómicas posibles del óvulo fertilizado será:

Éste es el número de variaciones posibles de la dotación genética de cualquier de cualquier pareja humana. En realidad, el número de variaciones es más ie todavía. Cada cromosoma contiene genes, los cuales determinan las cuali-dades hereditarias. Los biólogos han descubierto que, en las células precursoras de los gametos, cualesquiera dos cromosomas que formen parejas pueden intercambiar genes, y de este intercambio resultan nuevas variedades de espermatozoides y óvulos.

(Morris kline, matemáticas para los estudiantes de humanidades)

Velocidad Media

VELOCIDAD MEDIA:

Supongamos que un ser humano conduce un coche por espacio de un kilómetro a 60 km por hora y otro kilómetro a 120 Km por hora. ¿Cuál es la velocidad promedio?

Tendemos a responder esta pregunta ampliando al procedimiento común para calcular promedios.

Cuando alguien compra un par de zapatos en $ 5 y otro en $ 10, el precio promedio es de $5 + $10 entre 2, o sea, S7.50.

Así las cosas, lo primero que se nos ocurre es que promedio del problema planteado sería 60 + 120 divididos entre 2, o sea, 90 Km por hora.

Pero ésta no es la solución correcta. El número 90 es un buen promedio en sentido aritmético, pero no es el promedio que buscamos.

La velocidad promedio o velocidad media debe ser aquella que permitiría al chofer recorrer dos kilómetros en el mismo tiempo que le tomó cubrir esa distancia a dos velocidades diferentes.

Nuestro hombre empleó 1 minuto en recorrer el primer kilómetro, 1/2 minuto en recorrer el segundo. Empleó, pues, 1 ½ minutos en manejar 2 kilómetros.

Nos preguntamos ahora qué velocidad promedio sería necesaria para recorrer 2 kilómetros en 1 1/2 minutos. Como la velocidad media multiplicada por el tiempo total debe dar la distancia total, la velocidad media será la distancia total dividida entre el tiempo total:

Velocidad Media = 2/(3/2)= 4/3

La Velocidad Media es entonces 4/3 km por minuto

u 80 kilometros por hora.

(Morris kline, matemáticas para los estudiantes de humanidades)

El gobierno informático de Salvador Allende

"Opción revolucionaría"

La primera experiencia real del poder de las máquinas nació del encuentro de uno de esos cibernéticos británicos con el socialismo democrático chileno.

El 12 de noviembre de 1971, el investigador inglés Stafford Beer -que trabajaba desde hacía ya dos décadas en un "modelo de sistema viable" (viable system model) con cinco niveles de control, que aplicaba tanto a la célula biológica y al cerebro como a las organizaciones sociales o políticas- visitó el Palacio Presidencial de La Moneda, en Santiago de Chile. Allí le expuso a Salvador Allende el proyecto Synco (en inglés, CyberSyn), que acababa de emprender gracias a la invitación de un ingeniero de 28 años, Fernando Flores, director técnico de Corfo, la sociedad que controlaba a las empresas nacionalizadas por el gobierno de la Unidad Popular. Para el gobierno, se trataba de "implementar a la escala de un país -para la cual el pensamiento cibernético se vuelve una necesidad- enfoques científicos de gestión y organización"; concretamente, de vincular esas empresas bajo una red de información, con el objetivo de enfrentar en tiempo real las inevitables crisis de la economía.

Allende, de formación científica, se apasionó con el tema, dedicando varias horas a intercambios con Beer, quien más tarde informó cómo el Presidente insistía en todo momento en reforzar los aspectos "descen-tralizadores, anti-burocráticos y que hicieran posible la participación de los trabajadores". Cuando Beer le mostró a Allende el lugar central del dispositivo, que en su concepto le correspondía al Presidente, éste exclamó: "¡Finalmente: el pueblo!"

El equipo de Synco, compuesto por científicos de diversas disciplinas, recuperó aparatos de télex inutilizados y los envió a las empresas nacionalizadas de todo el país. Comenzó a concebir el prototipo de una sala de control a la manera de Star Strek, pero que no llegó a ver la luz. Sin embargo, muy rápidamente, las informaciones económicas (producción cotidiana, utilización de energía y de trabajo) circularon por télex a lo largo del país, para ser tratadas diariamente en una de las escasas computadoras que existían entonces en todo Chile, una IBM 360/50. Entre las variables tomadas en cuenta figuraba, entre otras, el ausentismo, indicador del "malestar social".

Cuando alguna de las cifras quedaba fuera del intervalo estadístico, se emitía una advertencia -en el vocabulario de Beer, una "señal algedónica" o incluso un "grito de dolor"- ofreciendo al responsable local un cierto tiempo para remediar el problema, antes de elevarlo al nivel superior si la señal se repetía. Beer estaba persuadido de que eso "ofrecía a las empresas chilenas un control casi total de sus operaciones, al mismo tiempo que permitía una intervención externa en caso de problemas serios. (...) Este equilibrio entre los controles descentralizados y centralizados podía optimizarse eligiendo el mejor plazo de resiliencia del problema otorgado a cada empresa antes de dar la alerta al escalón jerárquico superior".

Como señala la investigadora en historia de la informática Edén Medina, el proyecto Synco, "aunque ambicioso en el plano tecnológico, no puede caracterizarse como un simple intento técnico de regulación de la economía. Desde el punto de vista de sus participantes, apoyaría la revolución socialista de Allende; iba a ser 'informática revolucionaria' en sentido literal. Además, el sistema debía alcanzar su objetivo de una manera ideológicamente coherente con la política de Allende. Las tensiones que rodearon la concepción y la construcción de Synco reflejaron la batalla entre centralización y descentralización que afectó el sueño de Allende de un socialismo democrático".

El 21 de marzo de 1972, el software produjo su primer informe. En el mes de octubre, enfrentado a las huelgas organizadas por los gremios y la oposición, el equipo de Synco abrió una unidad de crisis para analizar los 2.000 télex diarios provenientes de todo el país. El gobierno, armado con esos datos, empleó sus recursos de manera de limitar los daños provocados por las huelgas. Organizó a los camioneros

que se mantenían leales para garantizar los transportes vitales... ¡y sobrevivió a la crisis! Desde entonces, el equipo de Synco se ganó el respeto; Flores fue nombrado ministro de Economía y, en Londres, The British Observer tituló: "Chile gobernado por computadoras" (7 de enero de 1973). El 8 de septiembre de 1973, el Presidente ordenó el traslado de la sala de operaciones al palacio presidencial. Pero el 11, los aviones de caza del ejército tiraron sus cohetes sobre La Moneda …

(Tomado de:

El Gobierno informático de Salvador Allende

Máquinas Políticas

por Philippe Rivière

Le Monde Diplomatique, Junio 2010)

silencio .....

La ciencia como actividad EXISTENCIAL ....

Hay una controversia internacional en torno a si Martín Heidegger se acerca o no al nazismo .... yo no se casi nada de Martín Heidegger, sin embargo coincido, en mi modesta percepción de ciencia, lo que expresa en torno a este quehacer como construcción EXISTENCIAL ...

"La ciencia como actividad práctico-existencial que permite es desvelamiento de las cosas del mundo, sea ello lo que sea."

Evolución de la palabra "Irracional"

La palabra "irracional", en matemáticas significa ahora que estos números no pueden expresarse como razones de números enteros, pero en tiempos de los pitagóricos quería decir inconmensurable, inescrutable o incognoscible.

(Morris kline, matemáticas para los estudiantes de humanidades)

Los Pitagóricos y sus e xtrañas visiones de los números .....

A los pitagóricos los emocionaban los números y, dado que eran místicos, asignaban a éstos importancia y significados que ahora juzgamos de infantiles. Creían que el número "uno" era la esencia o la naturaleza misma de la razón, pues de ésta resulta solamente un cuerpo de doctrinas no contradictorias entre sí.

El número "dos" lo identificaban con la opinión, ya que ésta implica claramente la posibilidad de que haya opinión contraria y, por consiguiente, hay por lo menos dos.

En el "cuatro" reconoc{ian la justicia, porque este es el primer número que es el producto de iguales.

Los pitagóricos representaban los números como puntos en la arena o por medio de piedrecillas. Por cada número, los puntos o las piedrecillas se ordenaban de manera especial. El número "cuatro" se representaba con cuatro puntos que sugerían un cuadrado, y así quedaban vinculados también el cuadrado y la justicia.

"Cinco" denotaba matrimonio, por ser la unión del primer número masculino, tres, con el primer femenino, dos, (lon números impares eran masculinos y los pares impares).

El número "siete" indicaba salud, y el "ocho" amistad o amor.

La "idealización" en Matemáticas ....

Las nociones geométricas son abstractas en el sentido de que las formas son conceptos, los objetos físicos sólo son aproximaciones de estos. Los lados de un campo rectangular tal vez no sean rectos de manera exacta y acaso cada uno de sus ángulos no midan 90º en forma exacta. Por lo tanto, al adoptar tales conceptos abstractos, lo que los matemáticos hacen es idealizar.

-

Pero al estudiar el mundo físico las matemáticas idealizan también en otro sentido de la misma importancia. Muy a menudo los matemáticos se ponen a estudiar un objeto que no es una esfera, pese a lo cual deciden tratarlo como si lo fuera. Por ejemplo, la Tierra no es una esfera sino un esferoide, es decir, una esfera achatada en los polos. Aun así, en muchos problemas que son tratados matemáticamente se representa a la Tierra como esfera perfecta. En problemas de astronomía, masas tan grandes como las de la Tierra y el Sol suelen considerarse concentradas en un punto.

-

Al efectuar tales idealizaciones, el matemático deliberadamente distorsiona o aproxima cuando menos algunos elementos de la situación concreta. ¿Por qué lo hace? Porque casi siempre simplifica el problema, procurando no introducir errores graves. Si, por ejemplo, se va a investigar el movimiento de un proyectil que recorre 10 kilómetros, no importará la diferencia que haya entre la supuesta forma esférica de la Tierra y la verdadera, que es esferoidal. Al estudiar cualquier movimiento que ocurra en una región limitada —digamos, de un kilómetro—, no importará que se considere plana la superficie de nuestro planeta. Pero si se trata de trazar un mapa muy preciso de la Tierra, entonces sí habrá que tomar en cuenta su forma esferoidal. Para calcular la distancia a la Luna, bastará con suponer que ésta es un punto en el espacio. Para encontrar su tamaño, en cambio, será erróneo considerarla de esa manera.

-
Ahora bien: ¿cómo sabe el matemático cuándo se justifica la idealización?

-

No hay respuesta sencilla. Si se encuentra frente a una serie de problemas semejantes, podrá resolver uno de ellos valiéndose de la figura correcta y otro de la figura simplificada, para luego comparar los resultados. Si para el objetivo que persigue la diferencia carece de importancia, entonces podrá trabajar en los problemas restantes con la figura simplificada. A veces, podrá estimar el error introducido recurriendo a la figura más sencilla y encontrar, quizá, que el error es demasiado pequeño y, por lo tanto, despreciable. O puede que el matemático haga la idealización y utilice el resultado que obtenga porque no le quede otra. Luego, se guiará por la experiencia para decidir si el resultado tiene validez suficiente según la finalidad propuesta.

-
Idealizar introduciendo deliberadamente una simplificación es mentir un poco, pero es una mentira piadosa. Al acudir a idealizaciones para estudiar el mundo físico se limita el poder de las matemáticas, pero el conocimiento así obtenido siempre será de gran valor.

-

(Matemáticas para los estudiantes de humanidades.

Kline Morris,

Fondo de Cultura Económica)

Un OJO a lo que dijo San Agustín de Hipona, padre de la Iglesia, en el año 400 d.C.

El buen cristiano debe estar alerta en contra de los matemáticos y todos quienes hacen profecías vacuas. Existe el peligro de que los matemáticos tengan pacto con el demonio para ofuscar el espíritu del hombre y confinarlo en las cadenas del Infierno.