La "idealización" en Matemáticas ....

Las nociones geométricas son abstractas en el sentido de que las formas son conceptos, los objetos físicos sólo son aproximaciones de estos. Los lados de un campo rectangular tal vez no sean rectos de manera exacta y acaso cada uno de sus ángulos no midan 90º en forma exacta. Por lo tanto, al adoptar tales conceptos abstractos, lo que los matemáticos hacen es idealizar.

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Pero al estudiar el mundo físico las matemáticas idealizan también en otro sentido de la misma importancia. Muy a menudo los matemáticos se ponen a estudiar un objeto que no es una esfera, pese a lo cual deciden tratarlo como si lo fuera. Por ejemplo, la Tierra no es una esfera sino un esferoide, es decir, una esfera achatada en los polos. Aun así, en muchos problemas que son tratados matemáticamente se representa a la Tierra como esfera perfecta. En problemas de astronomía, masas tan grandes como las de la Tierra y el Sol suelen considerarse concentradas en un punto.

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Al efectuar tales idealizaciones, el matemático deliberadamente distorsiona o aproxima cuando menos algunos elementos de la situación concreta. ¿Por qué lo hace? Porque casi siempre simplifica el problema, procurando no introducir errores graves. Si, por ejemplo, se va a investigar el movimiento de un proyectil que recorre 10 kilómetros, no importará la diferencia que haya entre la supuesta forma esférica de la Tierra y la verdadera, que es esferoidal. Al estudiar cualquier movimiento que ocurra en una región limitada —digamos, de un kilómetro—, no importará que se considere plana la superficie de nuestro planeta. Pero si se trata de trazar un mapa muy preciso de la Tierra, entonces sí habrá que tomar en cuenta su forma esferoidal. Para calcular la distancia a la Luna, bastará con suponer que ésta es un punto en el espacio. Para encontrar su tamaño, en cambio, será erróneo considerarla de esa manera.

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Ahora bien: ¿cómo sabe el matemático cuándo se justifica la idealización?

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No hay respuesta sencilla. Si se encuentra frente a una serie de problemas semejantes, podrá resolver uno de ellos valiéndose de la figura correcta y otro de la figura simplificada, para luego comparar los resultados. Si para el objetivo que persigue la diferencia carece de importancia, entonces podrá trabajar en los problemas restantes con la figura simplificada. A veces, podrá estimar el error introducido recurriendo a la figura más sencilla y encontrar, quizá, que el error es demasiado pequeño y, por lo tanto, despreciable. O puede que el matemático haga la idealización y utilice el resultado que obtenga porque no le quede otra. Luego, se guiará por la experiencia para decidir si el resultado tiene validez suficiente según la finalidad propuesta.

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Idealizar introduciendo deliberadamente una simplificación es mentir un poco, pero es una mentira piadosa. Al acudir a idealizaciones para estudiar el mundo físico se limita el poder de las matemáticas, pero el conocimiento así obtenido siempre será de gran valor.

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(Matemáticas para los estudiantes de humanidades.

Kline Morris,

Fondo de Cultura Económica)