Resolviendo la Ecuación Cúbica Reducida ...

Hacia 1494, Luca Pacioli escribió que la solución de la ecuación cúbica era "tan imposible en el estado actual de la ciencia como la cudratura del círculo".

Sin embargo su afirmación estaba equivocada pues 10 años después Scipione del Ferro (1465 - 1526), de la Universidad de Bolonia, descubrió cómo resolver la llamada cúbica reducida, un caso particular de la Cúbica General, en donde el coeficiente del término de segundo grado es cero.

Em el siguiente esquema, vemos la cúbica general y la reducción que ayudó a resolver Del Ferro. Nótese que hemos supuesto de antemano que el coeficiente que acompaña al término de tercer grado es 1, aunque esto siempre es posible, dividiendo por dicho coeficiente en caso de que no fuera la unidad ...

Del Ferro utilizó un truco genial, planteó que la solución de la cúbica reducida se puede expresar como la suma de dos términos, esto es, x se puede expresar como:

x = u + v

Sustiyendo y trabajando:

Esta ecuación que se ve bastante complicada, puede reescribirse como dos afirmaciones individualmente menos complicadas:

(1) 3uv + p = 0

que implica:

(2)

Y ahora qué ?

Despeja de la Ecuación (1) v en términos de u y p:

v = -p/3u

y lo sustituye en la segunda ecuación:

Usando incónita auxiliar:

Y usando la ecuación (2) para despejar v tendremos:

Esta solución es Real, quizás algún día demostremos por qué esta cúbica tiene una solución Real .... esta raíz nos permite factorizar la cúbica en un binomio de grado uno y un trinomio de gardo 2, que nos arrojará dos soluciones complejas conjugadas, porque ESTA cúbica corta al eje OX en un sólo punto ....