Desafío - Números

¿Cuál es la mitad de la anterior expresion ?

Respuesta:

Fuente: DEMRE.

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 1. Números.

CMO: e. Potencias de base positiva y exponente entero.

Política y Matemáticas .....

La política ha cambiado las matemáticas a lo largo de la historia

(NC&T/Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española) Desde la negación de la contribución árabe al álgebra hasta el nuevo enfoque de los científicos alemanes tras la Primera Guerra Mundial, influidos por la filosofía y la literatura del momento, los vaivenes políticos de las matemáticas han sido analizados por el alemán Norbert Schappacher en un artículo que publica La Gaceta de la Real Sociedad Española de Matemáticas.

"Las matemáticas son hijas de su tiempo", afirma Schappacher. Este matemático y profesor en la Universidad Louis Pasteur de Estrasburgo destaca lo difícil que resulta creer en esa interferencia de lo político y lo social en la ciencia, mientras que es mucho más natural pensar a la inversa, al ver cómo los progresos en las matemáticas han cambiado la sociedad a través de sus aplicaciones. Es lo que ha sucedido con los algoritmos diseñados por los matemáticos, imprescindibles para el funcionamiento de los teléfonos móviles y las cámaras digitales; o los descubrimientos de la matemática financiera en las últimas décadas, sin los que serían imposibles nuevas formas de comercio en la Bolsa.

Schappacher encuentra una primera muestra de interferencia en las matemáticas de los sucesos históricos en la Revolución Científica que tuvo lugar entre los siglos XV y XVII. Uno de sus frutos, el álgebra moderna, nació con los prejuicios de los sabios europeos que la impulsaron y quisieron ignorar la contribución de los matemáticos árabes durante la Edad Media a esta rama de la ciencia. Aunque el propio nombre de álgebra es árabe y está sacado del primer tratado sistemático sobre ecuaciones, publicado en Bagdad en el siglo IX, Schappacher recuerda que siglos después los matemáticos europeos se atribuyeron haber resucitado un arte que, según ellos, "había sido tan profanado y contaminado por los bárbaros que hubo que darle una forma enteramente nueva".

De ese odio de los humanistas a lo árabe, que desfiguró la historia de las matemáticas, Schappacher salta a la Primera Guerra Mundial, tras la cual el propio contenido de esa ciencia fue politizado. Por encima del boicot internacional a los matemáticos alemanes o de la marginación de los científicos judíos en la Alemania nazi, Schappacher destaca el caso del matemático Hermann Weyl, al que califica como "un sismógrafo extraordinariamente sensible a las sacudidas de su tiempo".

Tras el paréntesis de la Primera Guerra Mundial, Weyl no retomó sus estudios donde los había dejado, sino que hizo tabula rasa: comenzó de cero y se dejó seducir por campos de investigación nuevos como la teoría de la relatividad. Analizando sus escritos, Schappacher llega a la conclusión de que fue la atmósfera de los años de guerra, a través de las nuevas corrientes filosóficas y literarias, la que cambió el pensamiento de Weyl y le hizo abordar de una manera radicalmente diferente los problemas teóricos de las matemáticas y salir de unos círculos de razonamiento "viciosos", lo que resultó muy fructífero para esta ciencia.

Otro vaivén político, la llegada de los nazis al poder, llevó a EE.UU. a Weyl, casado con una judía. Schappacher recuerda cómo se politizaron las academias e institutos matemáticos en la era de Hitler, durante la cual se impusieron teorías racistas sobre los estilos matemáticos, que distinguían entre el estilo alemán y el judío de abordar la ciencia. El resultado fue un boicot a los profesores judíos en las Universidades, una vuelta de tuerca más a los nacionalismos científicos de los que habían sido víctimas los propios matemáticos germanos tras la Primera Guerra Mundial.

Matemáticas y Física de Partículas Moderna

Matemáticas y Física de Partículas Moderna. (*)

A las partículas más pequeñas del mundo físico, las que se describen e investigan en la Física Cuántica, se les asocian ciertos números que son conocidos como: "Números Cuánticos Multiplicativos".

Estos Números Cuánticos Multiplicativos se cuantifican en lo que conocemos en matemáticas como las "raíces n-esimas de la unidad".

STOP! Ud. ya se puso nervioso y yo por explicarlo .... pero algo se acuerda de las raíces, o si?

Volvamos al cole, a la enseñanza media para

Encontrar: (Encontrar raíz de 4)

Equivale a buscar un número que multiplicado por si mismo es 4. Ese número naturalmente es 2, porque 2x2 (2 multiplicado por si mismo) es 4. Escriturísticamente (ja ja):

Pero ahora, este gallo loco, habla de un cierta raíz de la unidad .... si comparamos con lo anterior,

la raíz de 1 es uno:

Pero nótese que este Blogger está hablando de que hay "ene" (n) raíces de la unidad, donde "n" puede ser cualquier número natural .... es decir: puede ser 3, 7, 78 o 1.239 si se quiere.

DESPACIO ! .... Again .....

Es decir que hay -si uno quisiera buscarlas- 1.239 raíces de la unidad. Es decir, hay 1.239 raíces de 1 y son números que multiplicados por 1.239 veces por si mismos nos dan exactamente 1.

paremos el escándalo .... pero, es que es verdad lo anterior .... A mi, me interesan las raíces cúbicas de la unidad, es decir, tendrían que haber tres números que multiplicados por si mismos nos dieran 1 ..... adelantémosles:

Estas, señoras y señores, son las raíces cúbicas de la unidad:

OJO que hay tres números: (1) Uno, (2) el chorizo con signo rojo y (3) el chorizo con signo azul ....

Y comprobemos que es así:

Pero antes ..... no les parecen raros estos tres números? ¿Qué hace una letra "i" metida en los dos últimos?

Ahhhhh, otro pequeño detalle .... (Putas!, la vida está llena de detalles en sí, y este tipo nos sale con detalles matemáticos!)

Números que incluyen la letra "i" son conocidos como Números Complejos (No te aComplejes con los Números Complejos! ja ja ! -somos muy fomes los (aprendices) de matemáticos-).... son de la forma:

Pero, ¿ Qué es i ? "i" es una entidad que se introduce en las matemáticas, para salvar una cierta

situación .... Digámoslo de frente:

Y ¿ Cómo emergió esta cantidad?

¿Cómo se operan los números complejos? Hablaremos -solamente- en torno a lo que necesitamos:

1) Para Sumar dos complejos, se suman las partes reales y se suman las partes imaginarias.

2) Par multiplicar complejos, se multiplican como lo hacemos al multiplicar dos binomios, teniendo en cuenta de que la unidad imaginaria "i" de trata -en términos de potencias- como le sucede a cualquier factor literal y se mantiene el dato de que i es igual a raíz de (-1).

Nos ayuda desarrollar las potencias de i:

pero, en qué estábamos? .... la idea es tomar, al menos una de las raíces cúbicas de la unidad (distinta de 1) y ver que al multiplicarse tres veces por si misma nos da uno ! Veamos:

Con lo anterior, queda demostrado que una de las raíces cúbica realmente (valga la redundancia) lo es y es fácil y equivalente, tras este desarrollo hecho, demostrar que la otra raíz (la conjugada: se llama así porque es muy similar a la anterior, pero con signo intermedio cambiado) también lo es!

Como dato y sin demostrar podemos decir que:

Las raíces enésimas de la unidad están sobre un polígono REGULAR de n lados, inscrito en una circunferencia unitaria .... arriba se ven las raíces cúbicas de la unidad (en los vértices de un triángulo o polígono de 3 lados) y las raíces cuartas, sobre los vértices de un cuadrado (polígono regular de 4 lados) ...

Pero, hasta ahora puras matemáticas .... ¿ Para qué hacemos todo esto ?

¿Se acuerdan de la motivación original ?

(A veces ni yo me acuerdo!!!! ja ja ja !!!!)

¿Qué tiene que ver esto con la Física de Partículas ?

Decíamos anteriormente (o lo decimos ahora) que los números cuánticos multiplicativos que se asocian a las partículas elementales, tienen que ver con las raíces enésimas de la unidad (n=2, 3, etc.

n=2 está asociado al concepto físico de paridad y de reflexión especular que dicen relación también con la existencia o no de antipartículas ....

n=4 se enlaza a la paridad del fermión que puede tomar los valores i. -1, 1 y -1, que son justamente las raíces cuartas de la unidad ....

El número cuántico multiplicativo con n=3, está asociado a lo que Penrose describe como quarkedad (término NO generalizado científicamente). En el caso de los quarks, los números cuánticos multiplicativos están asociados a las raíces cúbicas de la unidad,

La quarkedad toma los valores de las raíces cúbicas de la unidad, distanciadas a 120º, en la circunfenercia unitaria. Penrose (y lo dejo en el misterio) nos dice que para un cuark la quarkedad es la raíz (2), el chorizo con signo intermedio (+, rojo), en cambio la cuarkedad de un antiquark es la raíz (3) de la unidad, el anterior chorizo con signo intermedio (-, rojo) ....

un abrazo, Claudio.

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(*)

Capítulo 5: Geometría de Logaritmos, potencias y raíces.

"El camino a la realidad-Una guía completa de las Leyes del Universo",

de Roger Penrose,

Editorial DEBATE, 2008.

1472 páginas.

(**) Tomado de Wikipedia:

La interacción nuclear fuerte es una de las cuatro "fuerzas" o interacciones fundamentales que el modelo estándar de la física establece para explicar las interacciones entre las partículas conocidas.

Esta fuerza es la responsable de mantener unidos a los nucleones (protón y neutrón) que coexisten en el núcleo atómico, venciendo a la repulsión electromagnética entre los protones que poseen carga eléctrica del mismo signo (positiva) y haciendo que los neutrones, que no tienen carga eléctrica, permanezcan unidos entre sí y también a los protones.

Los efectos de esta fuerza de interacción sólo se aprecian a distancias muy pequeñas (menores a 1 fm), del tamaño de los núcleos atómicos y no se perciben a distancias mayores a 1 fm. A esta característica se le conoce como ser de corto alcance, en contraposición con la fuerza gravitatoria o la fuerza electromagnética que son de largo alcance (realmente el alcance de estas dos es infinito).

(***) Tomado de Wikipedia:

En física de partículas, los quarks, junto con los leptones, son los constituyentes fundamentales de la materia y las partículas más pequeñas que el hombre ha logrado identificar. Varias especies de quarks se combinan de manera específica para formar partículas tales como protones y neutrones.

Los quarks son las únicas partículas fundamentales que interactúan con las cuatrofuerzas fundamentales.

¿ Efecto AVATAR ?

La conexión de la naturaleza de "Avatar" podría ocurrir realmente, según Nature:
Bacterias marinas podrían cargar celulares o computadores

Científicos daneses descubrieron cómo estos pequeños organismos crean nano-redes eléctricas para comunicarse y sobrevivir.

Lorena Guzmán H.

El árbol de las almas (Uitraya Ramunon, en Na'vi) es uno de los tres pilares que conectan con la madre tierra a los azules habitantes de Pandora, en el mundo fluorescente de la película "Avatar". Una especie de red eléctrica entre tierra, na'vis y animales los interconecta. Esa "mágica ilusión" podría ser real y estar escondida en el fondo marino terrícola.

"Se podría utilizar el lodo marino como una batería, pero se necesitaría todo un balde de lodo para hacer funcionar un celular", explica a "El Mercurio" Lars Peter Nielsen, de la Universidad de Aarhus, y líder de la investigación que aparece en la edición de hoy de Nature.

Su equipo descubrió en el fondo del mar una red de ondas eléctricas generadas por la conexión entre las bacterias que se encuentran en el fondo y la superficie, algo que ellos llaman "simbiosis eléctrica".

Viaje inalámbrico

En capas de barro recogidas del fondo marino de la bahía danesa del mar de Aarhus, observaron cómo aumentaba y bajaba el oxígeno en el fondo marino cuando se sumaba o restaba, respectivamente, oxígeno en la superficie del mar.

"Sabíamos con certeza que el oxígeno nunca llegaba a bajar tanto como para alcanzar a las bacterias del fondo, que lo necesitan para sus procesos biológicos", cuenta Nielsen. "Fue imposible solventar esa paradoja hasta que surgió la 'salvaje' idea de que el fondo marino podría ser un entretejido de ondas eléctricas inalámbricas generadas de manera natural".

La respuesta de las bacterias del fondo al oxígeno de las de la superficie es causada por un frenético viaje inalámbrico de electrones. Esa conexión eléctrica entre las bacterias tiene un alcance de hasta dos centímetros, distancia 20.000 veces mayor que su propio tamaño.

Susan Bueno, de Ciencias Biológicas de la U. Católica, explica que la comunicación mediada por corrientes eléctricas o traspaso de electrones en bacterias era poco conocida hasta ahora. "Se ha estudiado bastante bien la comunicación en bacterias mediada por sustancias químicas, pero la comunicación mediada por señales eléctricas es un concepto nuevo, que significaría un mecanismo mucho más rápido de interacción".

Tal como los humanos extraemos energía de la comida tras la combustión lograda gracias al oxígeno que respiramos, las bacterias del fondo marino obtienen energía de la oxidación del ácido sulfhídrico. Así, las bacterias de abajo "comen" en nombre de las demás, mientras las de la superficie respiran por ellas en una armónica simbiosis.

Estas bacterias se encuentran ampliamente distribuidas en el medio ambiente, incluido nuestro país, cuenta Susan. Agrega que en el futuro, con ellas se podría mejorar el uso de microorganismos para eliminar contaminantes del medio ambiente y encontrar nuevas formas de combatir bacterias nocivas para el ser humano. "Hemos abierto sólo una puerta a un nuevo aspecto de la naturaleza, y aún estamos buscando herramientas y palabras para encontrar qué hay ahí: ¿ecología eléctrica, biogeoelectricidad o comunidad ecológica bioeléctrica?", hipotetiza Nielsen.

La naturaleza nos está llamando (enseñando) a GRITOS!

Imperceptible para el hombre:
Los elefantes tienen su propio lenguaje secreto

El sonido que hace el elefante con su trompa es un ruido familiar para muchas personas, pero estos animales también emiten sonidos particulares que sólo sus pares pueden entender. Investigadores del Zoológico de San Diego, en EE.UU., están estudiando una suerte de "lenguaje secreto" de los elefantes: dos tercios de los gruñidos que emiten son en frecuencias muy bajas e imperceptibles al oído humano.

Tres Formas de Representar un Número Complejo

Tres formas de representar un Número Complejo:

Demostración Propiedad Números Combinatorios (1)

El Inti me da guaraka en 4 en línea

y sin darle ventajas !!!!!

Demostración de una Propiedad de los Números Combinatorios

Nota: En esta demostración se "nos ocurre" sumar (=igualar denominadores) porque el lado derecho es un número combinatorio y en el lado izquierdo hay dos de ellos. Por eso, optar por la suma es convertir los dos números combinatorios en una sola expresión!

Cuando un Comics te puede abrir claridades (Tomado de Viaje a ítaca con ManolÍ)

http://pjorge.com/2010/01/21/ultima-leccion-gotinga-davide-osenda-2/

Una propuesta interesante para tratar uno de los temas que menos tratamos en las clases de Matemáticas : La Teoría de Conjuntos. Se trata de un cómic editado recientemente titulado: ULTIMA LECCIÓN EN GOTINGA, del italiano Davide Osenda. Una historia desarrollada en un momento histórico contundente, la dictadura nazi; las matemáticas permiten al protagonista abstraerse de esa nefasta realidad cuando este profesor de matemáticas ante el asalto de los nazis a la universidad se dispone a dar su última lección ante un auditorio vacío. Aparece el infinito, el descubrimiento de los números transfinitos por George Cantor, la Hipótesis del Continuo del Teorema de Incompletitud de Kurt Gödel; el hotel infinito ideado por el matemático David Hilbert,...

Lenguaje como concepto Matemático ....

Un lenguaje a secas, es un conjunto de símbolos (o palabras) y métodos para estructurar y combinar dichos símbolos.

Hay lenguajes como los idiomas que son conocidos como lenguajes naturales y son aquellos que usamos para comunicarnos.

Existen lenguajes de menor capacidad para modelar o simular lenguajes naturales, como el binario, el C, el Basis, el Java, que se utilizan para la comunicación entre computadores. A estos lenguajes se les llama Lenguajes Formales.

Lenguaje Formal (L) asociado a su gramática (G): Este tipo de lenguaje se basa en una gramática, así como en reglas o métodos para la creación de palaras propias del lenguaje.

Un lenguaje L(G) consiste en una gramática (G) con ntodos los arreglos que se pueden obtener a partir del estado inicial (s) y las composiciones (c).

La gramática (G) está integrada por varios elementos que permiten la estructurazión de las palabras. Estos son los elementos:

1) Sigma: Un alfabeto o conjunto de símbolos con el cual se forman palabras de un lenguaje.
2) N: Un conjunto de símbolos NO terminales del lenguaje.
3) T: Un conjunto de símbolos terminales.
4) s: Un estado inicial.
5) c: Un conjunto de composiciones o reglas que se deben usar para la estructuración de las palabras válidas del lenguaje.

Los símbolos terminales (T) se indican por medio de números o letras minúsculas. Los símbolos no terminales (N) por letras mayúsculas o la letra s para indicar que se trata de un símbolo inicial.

Las palabras válidas dependen del alfabeto (Sigma) y de las composiciones (c) propias de la gramática. Las composiciones de un lenguaje están integradas por símbolos terminales y no terminales.

Ejemplo: Sea

Sigma = {a, g, h, i, l, m, o, r}

cuyas composiciones son: Comenzando con le estdio inicial (s) es posible formar palabras propias del lenguaje como:

Notas:

Hay que observar como se sustituyen los símbolos no terminales (s,A,B,C,D,E,F) por su equivalente para la estructuración de palabras de un lenguajes, de forma que el lengauje constes de todas aquellas palabras que se pueden estructurar partiendo de la gramática.

L(G) = {hola, hotmiga, ....}

Si alguna otra palabra se puede generar además de hola y hotmiga, usando la gramática anterior, entonces también será parte del lengauje.

Para que una palabra sea parte del lenguaje debe estar formada solamente por símbolos terminales. Un símbolo no terminal lleva a otro terminal o no terminal que luego debe ser sucesivamente reemplazado.

SIEMPRE DE DEBERA COMENZAR EN EL SIMBOLO NO TERMINAL (s) PARA LA FORMACIÓN DE UNA PALABRA EN UN LENGUAJE.

(Extracto de matemáticas para la computación, José Alfredo Jiménez Murillo)

¿ Es falso el teorema particular de Pitágoras ?

"nosotros los modernos, tras 2.500 años de investigaciones, sabemos que el rteorema de Pitágoras es falso en Geometrías NO euclideanas" y que "desde el advenimiento de la revolución einsteiniana, sabemos que el postulado del paralelismo no es para nada cierto en nuestro cosmos".

(Dios creó los números, Hawking Stephen, Editorial Crítica, 2006)

Conjetura de Collatz

LA CONJETURA DE LÖTHAR COLLATZ

Conjetura de Collatz

Collatz, en 1937, formuló la conjetura que posee el récord de nombres: Problema 3n +1, Cartografía 3x + 1, Algoritmo de Hasse, Problema de Kakutani, Algoritmo de Syracuse, Conjetura de Thwaites y Problema de Ulam.

El algoritmo de Collatz dice:

1. Inicie con cualquier número par, divida sucesivamente por 2 hasta que obtenga un impar; triplique el resultado, sume 1 y divida por dos hasta obtener otro número impar. Repita el proceso. Siempre llegará a 1 para todo número de inicio (Conjetura).

2. Inicie con uno impar, realice las reglas del juego (triplicar y sumar 1, luego dividir por 2) e igual llegará a 1. (Conjetura).

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(Extracto: de un artículo de Carlos Giraldo Ospina)

Me preguntan desde España y yo respondo con gran cariño ....

R1 y R2 son dos rectángulos congruentes, tales que los puntos A, B, C están alineados. Mostrar que R1 y R2 son rectángulos áureos.

Nota: Que un rectángulo sea áureo, significa simplemente que su largo y su ancho están en razón del número áureo .... veamos la imagen:

¿ Dos rectas que NO se corta ?

El siguiente artículo y su dibujo tienen presente la idea de dos conciencias que NO se cortan .... para ello puse dos rectas paralelas que por serlo, abren a un sistema de ecuaciones que permite encontrar dos valores desconocidos de x e y ....

Veamos las 2 ecuaciones:

(1) x + y = 5 - x ....... Ángulos Correspondientes

(2) 3x = 6y ............... Ángulos Opuestos por Vértice

Resolviendo: Usando sustitución de (2) x=2y en (1)

x = 2 ; y = 1

Veamos el artículo:

¿ Dos rectas que no se cortan ?

Carta2 Abierta a Felipe Berríos

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Cuando Felipe Berríos habla de que el primer desafío ecológico es la reducción de la pobreza toca en nosotros aquella fibra humana que nos lleva al sueño propiciatorio y a la lucha por erradicar el sufrimiento de los más postergados, de los empobrecidos, en esa también estamos …. Pero olvida Berríos otras sutilezas: no quiere recordar que hay una vinculación estrechísima entre desastres ambientales y pobreza, en el sentido de que son los marginados, a quienes ha afectado y afectará -en primerísimo lugar- cualquier colapso ecosistémico, porque muchos de los diseños del “progreso” terminan por afectar –de manera preconcebida- los espacios de sus cotidianos y porque los no empobrecidos –hasta ahora- manejan muchas otras alternativas para escapar de los desastres que en muchos casos –desgraciadamente- ayudan a producir.

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El discurso de Felipe Berríos me abre hacia una cierta sensación en donde se difuminan las imágenes de las verdaderas causas de que haya empobrecidos. Pero voy más allá de eso, hoy deberíamos manejar una cierta lógica de inclusión ecosistémica, que superara lo reductivo que puede ser un paradigma centrado exclusivamente en alteridades (contradicciones).

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Cuando Felipe Berrios defiende a la empresa privada, aquella que en la Patagonia compra conciencias bajo el maquillaje verde de la Responsabilidad Social Empresarial, desgraciadamente me (nos) huele a voz de trueque …. Chile necesita techos, pero no mientras la institucionalidad ambiental y la sociedad en su conjunto no hayan resuelto el dilema -NO MENOR- en torno al verdadero significado de las represas en la Patagonia. Techos para Chile sí!, pero no cargando en la conciencia de esta institución, la destrucción de una zona que debiese ser reserva de la biósfera y patrimonio de la humanidad.

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Las palabras de Felipe Berríos me suenan a una cierta aplicación/interpretación extrema de Maslow, en donde en pro de superar la pobreza se postergan –por ejemplo- necesidades culturales, ecológicas y no puedo dejar de olvidar que ha sido la razón-pura del racionalismo-cartesiano la que ha alejado de nosotros la imagen de la trama, aquella interconexión insoslayable que tenemos con el universo y que por negarla estamos en donde estamos ….

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Es curioso como las más esperanzadoras miradas en Teología de la Creación parecieran quedar fuera del ámbito de la discusión en la voz de Berríos. Pareciera a primera vista en este caso –que las dos vertientes de conciencia que enfrentamos fueran tan disímiles, como si las cosmovisiones desde done nos paramos fueran dos rectas que no se cortan …. Pero esto definitivamente no es así, tengo la esperanza ….. y es por eso que llamados a propiciar el contacto con Berríos –como el mío infructuoso y el abierto por Monseñor Infanti- son en extremo valiosos ….

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Felipe Berríos sobrepone la necesidad de los pobres por encima de toda otra sensibilidad, descartando el sutil lazo que pueden tener incluso aquellos pobres a los que favorecería una posible donación de Hidroaysén, con los ecosistemas patagónicos …. Si Uds. me preguntan: ¿qué tienen que ver los pobres con la Patagonia, si viven a cientos de kilómetros de ella? Mi respuesta quizás les pueda pacerá irrisoria ….. : TODO!

Claudio Escobar Cáceres

Ingeniero Civil Industrial Eléctrico, PUC

Profesor de Estado en matemáticas, UAH

Me llegan consultas desde Europa !!!!

Teniendo en cuenta la figura dibujada y los datos que contiene, ¿se puede saber el radio del círculo?

Si la figura que se forma, es realmente un cuadrado o un rectángulo, el radio es 10 .... mírenlo en la figura:

Reflexionando la Educación frente al cambio de gobierno - Un muy buen artículo !!!!

Estimados y estimadas, quisiera compartir con ustedes una pequeña reflexión a partir del Programa de Educación del nuevo gobierno de Piñera. Sin duda hay mucho más que decir, por lo que esto es mas bien solo una invitación y/o provocación a informarnos, conversar y discutir.

Como siempre, serán bienvenidos sus posteos o comentarios :)

http://peuma.unblog.fr/2010/02/08/el-nuevo-gobierno-y-la-educacion/

Un abrazo

Claudia
www.peuma.unblog.fr

Demostración de que la razón entre la diagonal y el lado de un pentágono están en razón áurea

En el ejercicio, arbitrariamente se da el valor de 1 al trazo CD.

Veamos este plan en palabras:

1) Dibujamos un pentágono de lado "l" y diagonal "d".

2) Sabemos que un pentágono se puede descomponer en 3 triángulos,

por tanto la suma de sus ángulos interiores es 3 x 180 = 540.

3) Si el total 540, lo dividimos por 5, cada ángulo interior será de 540:5=108 grados.

4) Si trazamos una diagonal, el triángulo que queda formado por dos lados y la diagonal es isósceles, el ángulo mayor es de 108 y los dos basales de 36º.

5) Si desde el vértice superior, trazamos la otra diagonal, se produce un triángulo congruente al anterior y en el centro, un triángulo también isósceles (formado por 2 diagonales, el triángulo celeste).

El ángulo superior es de: 108 -36 -36 = 36º.

6) Luego los dos ángulos basales son de: (180º-36º)/2 = 72º.

7) Procedemos a bisectar el ángulo basal izquierdo, con el trazo BD.

8) Eso genera dos ángulos de 72º/2 = 36º.

9) En el triángulo verde (BDC), hay un ángulo de 36º (el generado por la bisectriz), un ángulo de 72º, del triángulo celeste antes analizado. No queda otra que el tercer ángulo sea de 72º, por lo que nuevamente tenemos un triángulo isósceles (BDC) con base DC y dos lados iguales BD y BC.

10) El triángulo amarillo (BDA) tiene dos ángulos iguales de 36º, por tanto es isósceles y el tercero debe ser de 72º. Como comparte eñ daod común BD con el triángulo verde (BDC), hay tres lados iguales en el dibujo: BC, BD y DA. Son los tres congruentes!

11) En este esquema hay dos triángulos semejantes (por AA):

El triángulo mayor ABC (cos ángulos 36, 72 y 72) y el trángulo verde BCD (con iguales ángulos 36, 72, 72).

12) Esto nos permite estabelcer proporciones entre sus lados homólogos, pero antes, vamos a tomar la libertad de señalar que el trazo DC mide la unidad, en cualquier unidad de medida. esto facilitará nuestros cálculos .... vesmos esa prporción anunciada:

13) Lado menor triángulo BDC/lado mayor Triángulo BDC=lado menor Triángulo ABC=lado mayor triángulo ABC

1 / l = l / d

se lee: (uno es a ele como ele es a d)

l = lado del pentágono.

d = diagonal del pentágono.

14) de aquí podemnos tomar la razón que buscamos (d/l): d/l = l

Queremos demostrar que la razón entre la diagonal y el lado es equivalente a la razón áurea, es decir:

Nota: Esta proporción está bien establecida, porque como d es mayor que l, entonces el cuociente es mayor que uno y eso es la proporción áurea, Phi es 1,618....

15) De la proporción 1/l = l/d, sacamos que d es igual a ele al cuadrado .... Pero además sabemos que d = 1 + l .... tenemos:

Si resolvemos la anterior ecuación, para l, tendrmos que l es jutamente la proporción áurea, veamos esa resolución:

Pero de las dos posibles raíces, rechazamos la asociada al signo menos porque sería negativa (haga los cálculos) ....

Luego: como d/l = l, entonces queda demostrado que:

Los elementos y los 5 sólidos platónicos ....

Una asociación fantástica, hecha por los antiguos griegos, entre los 5 sólidos platónicos y los cuatro elementos (fuego, aire, agua y tierra), junto con el firmamento celestre representado por el dodecaedro. (El camino a la Realidad, Roger Penrose).

Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos; son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras.

Reciben estos nombres en honor del filósofo griego Platón (ca. 427 adC/428 adC – 347 adC), al que se atribuye haberlos estudiado en primera instancia.

Esta lista es exhaustiva, ya que es geométricamente imposible construir otro sólido diferente de los anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad. (Wikipedia)

¿Cómo se define una fracción? (Con extractos de Roger Penrose: Camino a la Realidad)

Veamos una lista en que se define un fracción, y para bajarla a tierra pensemos en la fracción 3/8

1) Es un cuociente entre dos números.
2) Es una razón entre dos números.
3) Es una razón etre dos números a,b y se expresa como a/b, en donde b DEBE ser deistinto de cero.
4) Divir un pastel en 8 partes y tomar tres de ellas. (Del libro de Rogere Penrose).
5) Es algo como un 3 arriba y un ocho abjo y una línea horizontal en medio (Del libro de Roger Penrose)
6) La fracción 3/8 es una colección infinita de todos los pares (3,8); (-3,-8); (6,16); (-6,-16); (-9,-24); (9,24); .... donde cada par se puede obtener de cada uno de los otros pares por la aplicacion de la regla de la simplificación .... (del libro de Roger Penrose) .... este es el intento de caracterizar una fracción como una Clase de Equivalencia!



¿ Qué es para vos una fracción ?

Matemáticas y Género ! (EMOL)

Género y aprendizajes:
La motivación y no la falta de talento aleja a las niñas de las matemáticas

Un estudio de la Universidad Andrés Bello muestra que desde pequeñas las mujeres se creen menos capaces para los números. Una autoimagen influida por los propios profesores.

Pamela Carrasco T.

"Los niñitos son buenos para lo científico y las niñitas para lo humanista". Una afirmación que al leerla suena prejuiciosa, pero que está en el inconsciente colectivo y determina la visión que los alumnos tienen de sí mismos.

Así se evidencia en el estudio "Factores que influencian la motivación de escolares por las áreas tecnológicas e ingeniería", realizado por Carola Blázquez, Pamela Álvarez, Nicolás Bronfman y Juan Espinosa, y publicado en la revista "Calidad en la Educación", del Consejo Nacional de Educación.

A través de encuestas a cerca de 1.700 escolares de Santiago, descubrieron que el "autoconcepto" y el "apoyo de profesores" son los factores que más determinan la motivación por las matemáticas en las niñas.

"El autoconcepto implica que las niñas se sienten menos capaces de tener buenas notas en matemáticas, y por tener menos confianza en sus capacidades, le ponen menos atención al ramo y menos interés por sacarse buenas notas", dice Carola Blázquez, académica del Departamento de Ciencias de la Ingeniería de la Universidad Andrés Bello.

Rol de los profesores

Lo interesante es que, según este estudio, la mirada que las niñas tienen de sí mismas está muy influenciada por los docentes.

"Hay una serie de conductas que pueden estar influyendo. Como que los profesores digan '¿cuánto es 2+2?' y se queden mirando a los niños, o que les hablen a los alumnos que ponen atención en clases, que suelen ser los hombres", dice Blázquez.

Roberto Araya, ingeniero y director del proyecto Metáforas, del Centro de Investigación Avanzada de la U. de Chile, sabe por experiencia propia que las aptitudes de niños y niñas son las mismas, pero reconoce que estos estereotipos culturales aún son muy fuertes entre los profesores y la sociedad en general. "Y está probado que eso determina no sólo el interés de las mujeres por esta área, sino también su rendimiento", dice.

Alejandra Besa, magíster en Didáctica de las Matemáticas y académica de la Universidad de Los Andes, aclara que los intereses y estilos de aprendizajes son distintos entre géneros, y eso influye en su interés. Dice que las niñas "funcionan muy bien" en el modelo de enseñanza tradicional de reproducir fórmulas, pero eso no significa que se motiven. "Por eso, es vital plantear en clases la exploración, creatividad y capacidad de abstraer, donde ellas puedan dar más, y desarrollar su autoestima".

Más emociones

Aunque Roberto Araya cree que este es un tema de largo plazo, dice que hay que poner atención en los tipos de ejercicios y ejemplos que se usan.

"En general, las matemáticas se vinculan más a objetos y fenómenos físicos, como autos, piedras, cohetes y cosas que son más de interés masculino", dice.

A las niñas, en tanto, les atrae más lo afectivo, y llama a aplicar más las matemáticas a la psicología o las relaciones humanas, con una mirada más integral.

"Yo les he enseñado matemáticas a adolescentes con temas como '¿Quiénes son más celosos, los hombres o las mujeres?'. Y para responder esto diseñamos y procesamos encuestas, y vemos temas matemáticos como el error o la validez, etc. Esto no falla: todos, mujeres y hombres, se interesan", dice.

Los juguetes y el hogar

Alejandra Besa dice que los padres también asumen inconscientemente conductas que no favorecen el interés de las niñas por las matemáticas. "Desde pequeños, los papás les regalan juegos armables o robots a los hombres, que fomentan la exploración, mientras que a las niñas se les regalan libros o muñecas, que estimulan el lenguaje. Debería existir un equilibrio", dice.

27% de las niñas cree que les iría mal en una carrera que requiera matemáticas, versus un 15% de los niños que piensa lo mismo.

17% de las niñas dice ser buena para las matemáticas, mientras que el 45% de los niños afirma lo mismo.

42% de las niñas dice que les va peor en matemáticas que otros ramos, contra un 29% de los niños.

Nuevas miradas

"Los profesores están en una situación privilegiada para influir directamente sobre los niños y niñas. Son ellos los que, de alguna manera, tienden a incentivar a los niños a estudiar ingeniería o carreras similares y disuaden a las mujeres".

"Los padres, profesores y todos los que formamos esta sociedad machista tendemos a decir: 'no importa que la niña sea mala para las matemáticas'. Es un fenómeno cultural, que no es culpa de nadie y que de a poco está cambiando".

"De las escritoras mujeres se habla mucho, pero poco se sabe de las científicas y matemáticas. Y esos modelos influyen en las niñas y en sus decisiones. Los profesores deberían mostrar más modelos femeninos en esta área".