Demostración de que la razón entre la diagonal y el lado de un pentágono están en razón áurea

En el ejercicio, arbitrariamente se da el valor de 1 al trazo CD.

Veamos este plan en palabras:

1) Dibujamos un pentágono de lado "l" y diagonal "d".

2) Sabemos que un pentágono se puede descomponer en 3 triángulos,

por tanto la suma de sus ángulos interiores es 3 x 180 = 540.

3) Si el total 540, lo dividimos por 5, cada ángulo interior será de 540:5=108 grados.

4) Si trazamos una diagonal, el triángulo que queda formado por dos lados y la diagonal es isósceles, el ángulo mayor es de 108 y los dos basales de 36º.

5) Si desde el vértice superior, trazamos la otra diagonal, se produce un triángulo congruente al anterior y en el centro, un triángulo también isósceles (formado por 2 diagonales, el triángulo celeste).

El ángulo superior es de: 108 -36 -36 = 36º.

6) Luego los dos ángulos basales son de: (180º-36º)/2 = 72º.

7) Procedemos a bisectar el ángulo basal izquierdo, con el trazo BD.

8) Eso genera dos ángulos de 72º/2 = 36º.

9) En el triángulo verde (BDC), hay un ángulo de 36º (el generado por la bisectriz), un ángulo de 72º, del triángulo celeste antes analizado. No queda otra que el tercer ángulo sea de 72º, por lo que nuevamente tenemos un triángulo isósceles (BDC) con base DC y dos lados iguales BD y BC.

10) El triángulo amarillo (BDA) tiene dos ángulos iguales de 36º, por tanto es isósceles y el tercero debe ser de 72º. Como comparte eñ daod común BD con el triángulo verde (BDC), hay tres lados iguales en el dibujo: BC, BD y DA. Son los tres congruentes!

11) En este esquema hay dos triángulos semejantes (por AA):

El triángulo mayor ABC (cos ángulos 36, 72 y 72) y el trángulo verde BCD (con iguales ángulos 36, 72, 72).

12) Esto nos permite estabelcer proporciones entre sus lados homólogos, pero antes, vamos a tomar la libertad de señalar que el trazo DC mide la unidad, en cualquier unidad de medida. esto facilitará nuestros cálculos .... vesmos esa prporción anunciada:

13) Lado menor triángulo BDC/lado mayor Triángulo BDC=lado menor Triángulo ABC=lado mayor triángulo ABC

1 / l = l / d

se lee: (uno es a ele como ele es a d)

l = lado del pentágono.

d = diagonal del pentágono.

14) de aquí podemnos tomar la razón que buscamos (d/l): d/l = l

Queremos demostrar que la razón entre la diagonal y el lado es equivalente a la razón áurea, es decir:

Nota: Esta proporción está bien establecida, porque como d es mayor que l, entonces el cuociente es mayor que uno y eso es la proporción áurea, Phi es 1,618....

15) De la proporción 1/l = l/d, sacamos que d es igual a ele al cuadrado .... Pero además sabemos que d = 1 + l .... tenemos:

Si resolvemos la anterior ecuación, para l, tendrmos que l es jutamente la proporción áurea, veamos esa resolución:

Pero de las dos posibles raíces, rechazamos la asociada al signo menos porque sería negativa (haga los cálculos) ....

Luego: como d/l = l, entonces queda demostrado que: