Geometrías NO Euclideanas

Iván Vitta

GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS

Euclides construyó su monumental obra geométrica a partir de cinco axiomas o postulados que a él le parecieron evidentes. El quinto de dichos postulados (por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una paralela a ella) es, sin embargo, el menos evidente e intuitivo de todos. El propio Euclides intentó demostrar dicho postulado a partir de los otros cuatro, sin éxito.

Las matemáticas siguieron durante los siguientes 24 siglos aceptando el quinto postulado junto con los otros cuatro, sin mayores cuestionamientos. El edificio geométrico de Euclides funcionaba sin problemas para todos los efectos prácticos; grandes desarrollos matemáticos, como la Geometría Analítica de Descartes, se apoyaban sólidamente sobre dicho edificio.

No faltaron durante esos veinticuatro siglos matemáticos que intentaran abordar la demostración del Quinto Postulado. Ninguno lo logró, pero realmente a nadie le importaba.

En el siglo XIX las cosas empezaron a cambiar. Desde el siglo anterior, se había desarrollado una fuerte tendencia a eliminar el intuicionismo matemático -base de los desarrollos de los tres milenios anteriores- y a reemplazarlo por el rigor formal. Por ejemplo, Weierstrass y Riemann le dieron una estructural más formal y rigurosa al cálculo, inventado dos siglos antes por Newton y Leibnitz (Weierstrass es el creador de la "epsilónica", base de las definiciones formales de límites y continuidad modernas).

No tardaron los matemáticos en lanzarse nuevamente al asalto del Quinto Postulado, para dotar a la Geometría de fundamentos formales y rigurosos. El ruso Nicolai Lobachevsky (1792-1856) buscó demostrarlo por una vía no probada: la reducción al absurdo. Esta es una técnica de demostración indirecta: en lugar de demostrar que una cierta proposición P es verdadera, se busca demostrar que su contraria, no P, es absurda; de esta forma, la única posibilidad que queda es que P sea verdadera.

Lobachevsky se puso manos a la obra: supuso que por un punto exterior a una recta podía pasar más de una paralela y comenzó a sacar todas las consecuencias lógicas de los cuatro primeros postulados más esta versión modificada del quinto, esperando llegar en algún momento a una contradicción. Sin embargo, no tuvo éxito: obtuvo una geometría distinta a la de Euclides pero internamente consistente. En esta nueva geometría, los ángulos interiores de los triángulos sumaban MENOS DE 90°.

Pocos años después, Bernhard Riemann construyó otra geometría consistente internamente a partir de otra modificación del Quinto Postulado: por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela (de hecho, en la geometría de Riemann no existen las paralelas). En esta geometría, los ángulos internos de un triángulo suman MAS DE 90°.

Estas geometrías fueron posteriomente llamadas Geometrías no Euclidianas. No constituían más que curiosidades matemáticas hasta que la Teoría de la Relatividad General de Einstein, con sus postulados sobre la curvatura del espacio por efecto de la fuerza de gravedad (en estricto rigor: la gravedad como efecto de la curvatura del espacio) les proporcionó un campo de aplicación, precisamente para describir ese espacio curvo: la geometría riemanniana para los espacios de curvatura positiva y la de Lobachevsky para los de curvatura negativa.