Desarrollo algebraico para mostrar que la Función Exponencial y la Logarítmica son FUNCIONES INVERSAS

Desarrollo algebraico para mostrar como la Función Exponencial y la Función Logarítmica (en una misma base) son FUNCIONES INVERSAS:
Y si miramos esto en una gráfica, vemos que ambas funciones son simétricas respecto de la recta y = x, tal y como debe ser:


Ahora procedamos, algebraicamente, a encontrar la inversa de la exponencial ....

Luego podemos concluir:Veamos ahora las gráficas, para dos casos concretos, con igual base:

Función Exponencial: y = 2 elevado a x
Función Logarítmica: y = log en base 2 de x
(Obviamente son simétricas respecto de la recta y = x)

Ayudando a una estudiante, en torno a Interés Compuesto ....

Una risilla Matemática .... Tomado de ORCA

Una risilla: matemáticas

(tomado de: http://orca-alce.blogspot.com/2010/06/una-risilla-matematicas.html)

Esto podría añadirse al Carnaval de matemáticas de Silvia.Ayer me ha llegado por correo, uno de estos que van dando vueltas por internet, y me ha sacado una sonrisa y una preocupación. Por si no os ha llegado aquí lo comparto y esperemos que vuestra risa sea más grande que la preocupación.

Aquí va:

¿problemas con als matemáticas?

Por eso estamos como estamos, puras neuronas perezosas.............

La semana pasada compré un producto que costó 158€. Le di a la cajera 200€ y busqué en el bolsillo 8 € para evitar recibir más monedas. La cajera tomó el dinero y se quedó mirando la máquina registradora, aparentemente sin saber qué hacer. Intenté explicarle que ella tenía que darme un billete de 50€ de vuelta, pero ella no se convenció y llamó al gerente.

¿Por qué os estoy contando esto?Porque me di cuenta de la evolución de la enseñanaza en las matemáticas desde 1950, que fué así:

(Para simplificar, he puesto euros en todos los años en lugar de pesetas)

1. Enseñanza de matemáticas en 1950:

Un cortador de leña vende un carro de leña por 100€. El costo de producción de ese carro de leña es igual a 4/5 del precio de la venta. ¿Cuál es la ganancia?

2. Enseñanza de matemáticas en 1970:

Un cortador de leña vende un carro de leña por 100€. El costo de producción de ese carro de leña es igual al 80% del precio de la venta. ¿Cuál es la ganancia?

3. Enseñanza de matemáticas en 1980:

Un cortador de leña vende un carro de leña por 100€. El costo de producción de ese carro de leña es de 80€. ¿Cuál es la ganancia?

4. Enseñanza de matemáticas modernas en 1985:

Un leñador cambia un carro "P" de leña por un conjunto "M" de monedas.El cardinal del conjunto "M" es igual a 100€. y cada elemento vale 1 €.Dibuja 100 puntos gordos que representan los elementos del conjunto M. El conjunto "F" de los gastos de producción comprende 80 puntos gordos del conjunto "M".Representa el conjunto "F" como subconjunto del conjunto "M", estudia cuál será su unión y su intersección, y da respuesta a la cuestión siguiente:¿Cuál es el cardinal del conjunto "B" de los beneficios?Dibuje B con color rojo.

5. Enseñanza LOGSE:

Un leñador vende un carro de leña por un importe de 100€. Los gastos de producción se elevan a 80€, y el beneficio es de 20€.Actividad: subraya la palabra "leña" y discute sobre ella con tu compañero.

6. Enseñanza de matemáticas en 1990:

Un cortador de leña vende un carro de leña por 100€. El costo de producción de ese carro de leña es de 80€. Escoja la respuesta correcta, que indica la ganancia:20€ - 40€ - 60€ - 80€ - 100€

7. Enseñanza de matemáticas en 2000:

Un cortador de leña vende un carro de leña por 100€. El costo de producción de ese carro de leña es de 80€. La ganancia es de 20€. ¿Es correcto? Si - No

8. Enseñanza de matemáticas en 2008:

Un cortador de leña vende un carro de leña por 100€. El costo de producción de ese carro de leña es de 80€. Si Ud. sabe leer coloque una X en los 20€ que representan la ganancia.20€ - 40€ - 60€ - 80€ - 100€

9. Enseñanza de matemática curso 2009/2010

No se preocupen si no saben responder el ejercicio anterior, llevarán a los profesores a la Oficina de Supervisión del Ministerio de Educación y les exigirán, a los profesores, repetir la prueba en vista de que la pregunta es de alta dificultad.Además, también pueden valerse, como elemento de apoyo, de chuletas, libro o de cualquier método o sistema para copiar en el examen sin que por ello sea explusado de dicho examen ni suspendido, ya que, según la Universidad de Sevilla, están en su derecho.

LA PRÓXIMA REFORMA:

El enunciado será algo así:"Ebaristo, labriego y leñador, burgues, latifundista espanyol facista spekulador i intermediario es un kapitalista insolidario y centralista q sa enriquezio con 100 pabos al bender espekulando un mogollón de leña.Bibe al hoeste de Madrid esplotando ha los magrevies. Lleba a sus ijos a una ejcuela de pago."Analiza el testo, vusca las faltas desintasis, dortografia, de puntuazión, y si no las bes no te traumatices q no psa nda.Ejcribe tono, politono o sonitono con la frase "QUE LISTO EL EBARISTO" y envia unos sms a tus colejas komentando los avusos antidemocráticos d Ebaristo i conbocando una manifa expontanea d protesta. Si bas a la mani sortearan un buga guapeado. SALU

Historia de las matemáticas - de la BBC, en Inglés

1 + 1 NO es siempre 2

"Pero al título de esta entrada, ¿cómo que 1 + 1 no es siempre 2? Pues no, si mides una taza de alcohol y en otro recipiente una taza de agua y los mezclas, tendrás menos de dos tazas (cups es la medida que usamos). Porque las moléculas del agua en los espacios de aire se llenan con las moléculas del alcohol, haciendo que la mezcla tenga mayor densidad y menor volumen."

Tomado (a la pata) de:

http://charlottemasonsp.blogspot.com/2010/06/1-1-no-siempre-es-2-proximo-carnaval.html

==========

Historias del Blogger:

Mi nombre es Claudio Escobar Cáceres.

Yo estudié Ingeniería Civil Industrial Eléctrica en la Universidad Católica de Chile.

(Sí, en la Ponti Cuica !)

Siempre fui muy estudioso y en matemáticas me iba bastante bien, pero nunca fui nada de brillante, sólo un esforzado y estudioso niño!

Uno de los cursos que más me sorprendió, fue el de un profesor de física,

que nos hizo clases en el primer semestre .... creo que se llamaba Carlos Rivera, era un destacado doctor en óptica.

Su ramo era TITULADO algo así como: "Introducción al Método Científico"

El era chiquitito, vestía casi como un señor Corales (el anunciador del Circo) .... y era tremendamente loco, sus clases nos desconcertaban y nos hacían reir.

Por ejemplo, trataba de explicarnos que "apuntarle a un punto en el espacio" tenía probabilidad cero .... y lanzaba tizas a un punto que dibujó en la pizarra !!!! Nosotros reíamos y no entendíamos NADA! A veces pasábamos a la pizarra y lanzábamos tizas también, no logrando achuntarle NUNCA !!!!

Casi no apuntábamos en el cuaderno porque al final de cada sesión, salíamos con la pregunta

"que habrá tratado de decirnos este señor?"

(más o menos la misma reflexión que las y los educandos de Gregory Bateson se hacían:

"Bateson trata de decirnos algo, pero qué será?)

Y más nos asustábamos porque en su currículum había MUCHA FAMA!

Pero el ramo tenía 2 créditos, lo que era nada comparado a los 15 créditos de Geometría I y Álgebra 1. Muchos decían: "a este ramo no hay que darle importancia" ....

Y llegó la prueba y quedó la embarrada, porque nos hizo 3 preguntas:

1) Diga dos situaciones de la vida real en que 1 + 1 NO es 2.

2) Levante una hipótesis, si al llegar a su casa, su perrito se ha escapado. Y daba unas ciertas pistas, para enmarcar el suceso!

3) Pongase Ud. su propia nota!

TODOS quedamos PLOP!

Había puras malas notas, MUY pocos azules, aunque yo logré una muy alta!

Yo casi no podía creer lo que veía en la hoja de preguntas, pero me puse a pensar y articulé dos ejemplos en que 1 + 1 no es dos.

Primer Ejemplo: Dije: Si tengo un resorte de altura 1 y un cubo de oro de altura 1, y pongo abajo el cubo y sobre él el resorte, 1 + 1 es 2 (en altura), pero al revés NO!

Segundo Ejemplo: Luego puse el sistema binario: 1 + 1 = 10, pero bajo la óptica de un reloj con sólo las horas (0 y 1).

(Acá hay un muy buen chiste para matemáticos, que se pone incluso en poleras: "Hay 10 tipos de personas: las que saben el sistema binario y las que NO!" .... y quien no conoce el sistema binario, cree que faltan 8 tipos de personas, no sabiendo que "2" en sistema binario se escribe 10)

Luego levanté una hipótesis MUY tradicional para la conducta de mi perrito, que se enmarcó adecuadamente en las pistas que daba y si bien era MUY fome mi idea, logré constituir una hipótesis, plausible de verificarse .... Eso era lo que esperaba el científico loco!)

Mi error fue al ponerme la nota. Tal como soy educado, tendí a bajarme la nota y me puse un 5,0. Eso bajó mi nota final, porque él buscaba nuestra objetividad y me puso un 5,3 .... aunque me dijo que yo merecía un 7, la nota máxima!

Ven, hay muchas veces en que (1+1) NO es 2 !!!!

Gracias Silvia!

Carnaval XX, LAS odiadas/amadas Mates (Tomado de Charlotte Mason, en Español)

Tomado de: http://charlottemasonsp.blogspot.com/2010/06/carnaval-xx-las-odiadasamadas-mates.html

La verdad es que me comenzó a interesar el tema de las matemáticas a raiz de plantearme que mis hijas van a llevarse una primera impresión sobre ellas dependiente en gran medida de cómo vean que es nuestra relación con la materia.

Me consuela un poco el hecho de que mi marido tuviera éxito con el cálculo en la universidad, y el de que cuando lo he necesitado, he podido aprobar matemáticas aún no siendo mi fuerte en mis años de estudios. Seguro que alrededor vuestro, si vosotros no fuísteis muy buenos con las mates, podáis encontrar a alguien quien os ayude, amigo, vecino, pariente, maestro...y nunca es tarde para formarse un poco en este terreno.

Como Zinnia dijo en una de nuestras conversaciones por Skype, lo cierto es que se enseñan MUUUUY MAL en general, y los que educamos en familia no queremos que nuestros hijos tengan que sufrir el mismo disgusto y odio por las matemáticas.

En mi casa como yo soy una persona de "LETRAS", pues asumo que el 'gen' ha sido trasmitido a mis dos hijas, que encima, como niñas, caen el los estereotipos de personas muy verbales y artísticas, lo que siempre he asociado con el lado del cerebro en guerra con las matemáticas. Lo cierto es que no existe tal gen, ni el de letras, ni el de matemáticas, pero sí veo una predisposición natural en algunos de nosotros hacia un talento en especial u otro. Lo que deseo es que el que es de "mates" no odie la literatura, y el que es de "letras" no esté intimidado por las matemáticas. Si bien todos terminamos escogiendo algo en nuestras vidas, que las demás puertas a otras ramas de conocimiento no queden bloqueadas, sino simplemente estén ahí, dispuestas a ser abiertas cuando la ocasión, necesidad o puro placer nos empujen a abrirlas.

Después de ver los 29 episodios de la historia de las matemáticas de la BBC, me he dado cuenta de que las matemáticas no están separadas del paradigma de la época, de la filosofía imperante, el arte, la ciencia, y en particular de la tecnología (podemos incluir física, arquitectura, y muchos otros dominios del saber que son impactados por la matemática y viceversa)

Africa, Marvan, Meni, y muchas otras podéis encontrar ideas de cómo utilizar manipulativos (cosas que uno tiene por la casa) y visuales para hacer ejercicios matemáticos. Mi camino preferido para introducir matemáticas es mediante EL JUEGO (cartas, dominos, damas, ajedrez, juegos de estrategia, construcción), y por supuesto LEGOS. En mi casa coleccionamos tapones de diferentes botes y botellas, y con ellos agrupamos, clasificamos, vemos diferencias, semejanzas, etc. También nos gustan los acertijos y cuentos y leyendas que hay que resolver, y las diferentes formas de escribir los números en diferentes paises. Una parte de la matemática según Marilyn Burns importante y que en los colegios no se explora tanto es la estadística y predicción, tampoco se le da a la geometría el 'espacio' necesario.

Y no sé si esto es parte de las matemáticas, pero a nosotros dos nos gustan las finanzas y somos buenos en ese aspecto con los números, aunque no podamos sumar rápido cuando jugamos dominó con los amigos o se nos olviden algunas de las tablas de multiplicar.

Si os interesa, hay en inglés varios artículos sobre las matemáticas donde se discuten en contexto sobre el porqué las niñas suelen ser 'peores' para las matemáticas, o por qué los colegios tienen tal fracaso con las matemáticas.En este artículo en PSYCOLOGY TODAY, se desmontan mitos como el de la dificultad de las matemáticas, y se habla de la importancia de que los niños se hagan dueños de su propio conocimiento. En mi otro BLOG en INGLES en el apartado de la derecha de MATH hay diversos enlaces a recursos de interés.

Estas son algunas de las entradas y recursos que desde otros blogs nos aportan sobre las matemáticas.

==========

COMENTAN el Posteo:

1) Gracias Silvia, miraré el documental. Las matemáticas nunca han sido mi fuerte, aunque me encenta el álgebra (lo único, jeje). Yo también uso tapones (para todo) e integro las matesen la vida cotidiana. Con el mayor es más difícil... tiene casi 13 años y confieso que me siento más egura utilizando un libro de texto (bueno, lo utiliza él...). Muchos besos. Esther QP.

2) Oh, sí, una vez que llegan a esas edades, AUXILIO, ya no sirven los taponcitos y ahí yo empezaré a sudar, pero espero mandárselas al 'padre', je je je...y claro, si tu hijo se maneja con el libro de texto MAGNIFICO. El problema es cuando se angustian porque no entienden lo del libro...y si tienes ocasión, os va a gustar el video, son episodios de 10 minutos cada uno, muy amenos. Silvia

3) ¡Qué buen dato me das con lo de la BBC! La Igna consideró muy buena tu idea de leer vidas de matemáticos. Maulina

4) Maulina (Andrea), pues me alegra, si yo se que la Igna tiene futuro, solo hay que desaprender lo aprendido y reaprenderlo bien. Silvia.

Desafío - Funciones

Respuesta: Este es un ejercicio, para mi, muy bello.

Se deben evaluar 4 funciones para un "x" (Abcisa) variando entre 0 y 1.

Estas cuatro funciones pasan por el punto (1,1), pero en el

intervalo sugerido son bien diferentes, a excepción de la Función Identidad (y=x) y la Función Valor Absoluto, que coinciden el el primer cuadrante (y por tanto en el intervalo sugerido en el ejercicio).

Las Funciones a Evaluar son:

Análisis de Funciones:

a) La Función (y=x) y la Función Valor Absoluto, coinciden en el primer

cuadrante.

b) Las dos funciones anteriores tienen pendiente de 45º, aunque en el grafo, por cuetiones de escalas en los ejes no parece ser así, pero sólo a simple vista.

c) La función (y = 1/x) tiende a infinito cuando x tiende a cero.

d) La Función (raíz de x) es curvada entre 0 y 1. es mayor que y=x, porque por ejemplo en x=0,5 la ordenada es 0,707 ...

Construyamos ahora, tablas de pares ordenados, en el intervalo sugerido. Vamos a evaluar x=0 ; x=0,1 ; x=0,5, x=0,7 y x=1 .....

Veamos ahora la gráfica de las funciones de las cuales hablamos, y obviamente nos fijamos con mayor exactitud en el intervalo sugerido:

La alternativa C) es la correcta!

Derechos Humanos, derecho a la Educación ....

Demostración Geométrica

Vamos a demostrar parcialmente el siguiente Teorema, relativo a las Transversales de Gravedad de un triángulo cualquiera:

Teorema: Las transversales de gravedad de un triángulo concurren en un mismo punto, que está situado a los 2/3 de cada una, desde los vértices respectivos y de tal modo que el segmento adyacente al lado es la mitad del segmento adyacente al vértice.

Vamos a demostrar la parte relativa a las longitudes de los segmentos que determina en cada transversal de gravedad, el punto donde ellas concurren (parte marcada con ROJO). Partimos dando por cierto de que las transversales de gravedad concurren a un mismo punto ....

Creo que para ver más grande la imagen se puede hacer click o doble click sobre ella!

Aprendieno de mis educandos ....

1) Simón, como habrás percibido, he aprendido mucho estudiando contigo!

2) Esta es una verdad que los profesores solemos esconder. Guardamos ciertas vergûenzas brutas, sobretodo los profesores de matemáticas que debemos SER SECOS, matando con ello el ejemplo que podríamos dar como investigadores. Los y las educandas deben aprender a investigar, porque NO hay profesor alguno que sepa TODO.

3) Hecha esta aclaración, mira el resultado de mi investigación:

TEOREMA: Las transversales de gravedad de un triángulo (cualquiera) concurren en un mismo punto, que está situado a los 2/3 de cada una, desde los vértices respectivos y de tal modo que el segmento adyacente al lado es la mitad del segmento adyacente al vértice.

Entonces el valor que habíamos calculado ayer es de longitud 8. la razón 2:1 que tú manejabas estaba bien y es válida para cualquier triángulo, eso incluye los isósceles y los equiláteros, obviamente.

Yo manejaba esta información pero creía que solamente era válida para los triángulos equiláteros! mi conocimiento estaba incompleto!

ves, otra vez he aprendido de tí!

Claudio!

Papiro del Rhind (Tomado de Wikipedia)

Papiro de Ahmes
De Wikipedia, la enciclopedia libre


El Papiro de Ahmes es un documento escrito en un papiro de unos seis metros de longitud y 33 cm de anchura, en un buen estado de conservación, con escritura hierática y contenidos matemáticos. También se le conoce con el nombre de Papiro Rhind. Su contenido se data del 2000 al 1800 a. C.

Fue escrito por el escriba Aahmes aproximadamente en 1650 a. C., a partir de escritos de doscientos años de antigüedad, según reivindica Ahmes al principio del texto, aunque resulta imposible saber qué partes del papiro corresponden a estos textos anteriores.

Encontrado en el siglo XIX, entre las ruinas de una edificación de Luxor, fue adquirido por Henry Rhind en 1858, y se custodia desde 1865 en el Museo Británico de Londres, aunque actualmente no está expuesto (EA 10057-8).
Contiene 87 problemas matemáticos con cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica.

En él encontramos el tratamiento de las fracciones. Los antiguos egipcios no realizaban el cálculo de fracciones como lo conocemos hoy, pues escribían los números fraccionarios como suma de fracciones unitarias (las de la forma 1/n con n natural) distintas. Este tipo de sumas son conocidas hoy como fracciones egipcias.

Una imagen del Papiro del Rhind

+ (I)

+ (II)

+

+
(léase más)
más
un más gigante como el de Lotty Rosenfeld en la Moneda
más nacimientos y muertes de estrellas al interior de la nebulosa Carina Nébula
más polvos cósmicos
más polvos de hornear
más polvos
más protestas, si, +, muchas +
más mujeres abriendo y regalando corazones
más funciones exponenciales y menos funciones logarítmicas (base mayor a 1)
más democracia
más plena vigencia de los Derechos Humanos
más sexo
mas desmesura PARA VIVIR
más Intis y Nikolasas
más luchas
más condones gratis
más MAS, más Movimientos al Socialismo (pero de los guenos)
más profetas y menos Curas Hasbunes
más comunidades libertarias
más anarcos verdes
más "Viva el sexo y la alegría y la Ñuke Mapu"
más marchas de sombreros
más velitas encendidas
más baile (si en tu revolución no puedo bailar, entonces no es la mía)
más paseos de la mano bajo la lluvia
más girasoles
más caminos
más trompos y guitarras
más violines
más sensualidades
más abrazos
más masajitos
más, siempre +
más besos robados a la luna ....
un más gigante como el de Lotty Rosenfeld en la Moneda ....
como cuando rayábamos
escondidos
las esperanzas
en el ojal
de nuestros abrigos
y en las murallas ....

+, siempre +

+ (III)

Los matemáticos son buenos músicos .... quieres tocar musiquita?

http://www.wixgame.com/es/ninos/musica-de-los-juegos/teclado-virtual.html

Euler GRANDIOSO!

Resolver un Sistema de Ecuaciones Exponenciales de 2 x 2

Resolvamos por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales de 2 x 2:

Solución:

Una Ecuación Logarítmica Interesante ....

Solución: Es muy bella !!!!!!