lunes, 30 de noviembre de 2009
La Mosca y Señor Descartes
(Tomado de: http://matematicas.jesussoto.es)
Graficando la diferencia: Función Potencia de Exponente PAR o IMPAR
miércoles, 18 de noviembre de 2009
Bernoulli .....
Entre una roca y una dura vida
El destino tiene más recursos que el autor de ficción más imaginativo
frank frankfort moore
Al volar la paloma mensajera por encima de las casas, Daniel Bernoulli, de 34 años, se detuvo a observar. Qué maravilloso sería volar, pensaba, y con qué rapidez era capaz de desplazarse un pájaro de aquí a allí; su propio regreso a casa desde Rusia le había costado dos meses enteros viajando en una diligencia tirada por caballos.
Al volverse y empezar a recoger el correo, el corazón de Bernoulli se aceleró al ver una carta procedente de París; supuso que, sin duda, contendría los resultados del concurso. Lo raro era que iba dirigida a él y a su padre Johann; los dos habían participado en la competición pero con ensayos diferentes.
Todos los años, la Academia de las Ciencias francesa retaba al público a resolver un problema técnico de cierta importancia. No era el único concurso de ese tipo (en diversos países europeos había instituciones científicas que hacían lo propio) pero sí era uno de los más antiguos y prestigiosos del mundo. Durante los anteriores sesenta y ocho años, desde su fundación en 1666 por el rey Luis XIV, docenas de ingenieros, matemáticos y legos en la materia habían rivalizado por el prestigio y el dinero que eran el premio del ganador.
Hasta ese momento, el joven Bernoulli había participado en el concurso un total de cuatro veces y ya había ganado una. Estaba bien dotado en todos los aspectos de la matemática pero le gustaba especialmente abordar problemas relacionados con fluidos. Desde un punto de vista científico, los fluidos no abarcaban solamente todo tipo de líquidos sino también los gases y cualquier otro material flexible que no fuera completamente sólido.
Los fluidos fascinaban al matemático que había en Bernoulli porque eran suficientemente complicados como para ofrecer un reto y suficientemente sencillos como para ser escrutables. Además los fluidos formaban tal parte de la vida cotidiana que parecía útil y relevante estudiar su comportamiento... y parecía que era buen momento para hacerlo.
En el siglo XVIII, Isaac Newton había descrito con éxito el comportamiento de los objetos sólidos. Y en el siglo XIX los científicos descubrirían las leyes de la genética, de la evolución y de la psicología que regían la actividad de los seres humanos. En medio de esos dos siglos, quedaba el siglo de Bernoulli, una época destinada a ser de los fluidos cuya complejidad estaba a medio camino entre la roca sólida y la existencia humana.
Bernoulli siempre había soñado con convertirse en el Newton de su época, con ser el primero en descubrir las leyes que gobernaban el movimiento de los fluidos. A eso se debía que, con el paso de los años, se hubiera propuesto participar en el concurso de la Academia francesa siempre que tratara un problema de fluidos: era una oportunidad valiosísima de ejercitarse y de mostrar sus precoces talentos.
En ese momento, al abrir el sobre, suspiró profundamente: acababa de regresar a Basilea después de haber pasado ocho años en la Academia de las Ciencias rusa. Qué buen regalo de vuelta a casa seria que le declaran ganador de aquel año.
Después de sacar la carta del sobre, Bernoulli la desplegó y empezó a leerla. Se trataba, como había sospechado, del anuncio de los resultados del concurso de ese año, pero lo que vio le dejó boquiabierto.
Durante el resto de la tarde, el joven aguardó impacientemente la llegada de su padre. Había decidido no buscarle en la universidad sabiendo como sabía que el famoso profesor Johann Bernoulli solía enfadarse con cualquiera que osara perturbarle mientras trabajaba.
Cuando esa noche llegó su padre, el joven Bernoulli le saludó con la carta, sin decir ni palabra de lo que contenía. Con curiosidad, el profesor de cara adusta cogió la carta y leyó por sí mismo que la Academia había decidido conceder el primer premio de ese año al padre y al hijo. El joven Bernoulli, que ya no podía contener más su excitación, supuso que en seguida padre e hijo se abrazarían con regocijo; pero no. En cuestión de segundos el joven Bernoulli se dio cuenta de que algo raro pasaba.
Su padre reaccionó no con un grito de júbilo sino con un silencio carente de alegría. Y, lo peor de todo, una vez que terminó de leerla, amigó la carta con la mano y miró furibundo a su hijo, soltando un borbotón de terribles acusaciones.
Al principio, Bernoulli se vio paralizado por la confusión. Pero luego empezó a comprender lentamente la razón de tan horroroso giro de los acontecimientos.
Bernoulli padre, que hacía años había introducido a su hijo en las matemáticas y le había enseñado muchas de las ideas y técnicas básicas que subyacían a los respectivos ensayos premiados, estaba enfurecido al comprobar que al joven se le consideraba ahora como si estuviera a su misma altura. Acusaba a la Academia de no distinguir al maestro del discípulo y se mofaba de que su hijo no reconociera adecuadamente su valía.
Conforme se intensificaba la ira de su padre, también Bernoulli fue enfadándose. Habiendo pasado lejos de casa los últimos ocho años no sólo había practicado y perfeccionado las ideas y las técnicas que su padre le había enseñado en primer lugar, sino que también él las había acrecentado a su manera, sin ayuda de nadie.
Era como si hubiera aprendido de su padre el manejo de la maquinaria agrícola para luego, por sí solo, ponerse a arar y a sembrar su propio campo; ahora, como no podía ser menos, estaba cosechando la recompensa a su propio esfuerzo, a su propia habilidad. Y aún más: ¡el joven le espetó sin recato que su ensayo era mejor!
Conforme caía la noche y la ciudad se aquietaba, aumentaban los odiosos ruidos que salían de casa de los Bernoulli. Los dos hombres se chillaban, dándose la oportunidad de ventilar viejas y reprimidas rencillas. Cuando aquel amargo enfrentamiento llegó a su clímax, la disputa originaria por el premio de la Academia ya había quedado sepultada desde hacía un buen rato por las apasionadas quejas sobre la falta de respeto filial y la envidia paterna.
Finalmente, el mayor de los Bernoulli exigió que su desagradecido retoño abandonara la casa, gritando que no podía soportar vivir con tamaño bellaco. Bernoulli, en medio de aquella tensión creciente, había temido que se llegara a eso. En ese momento, al oír como le expulsaban, lamentó muchas de las cosas que le había dicho a su padre.
El joven Bernoulli siempre se había mostrado orgulloso de descender de una familia de distinguidos matemáticos. Era hijo de un hombre al que se consideraba, sin duda, el más renombrado matemático vivo y sobrino de otro matemático de parecida fama. De hecho, los Bernoulli llevaban dominando las matemáticas los últimos cincuenta años, algo que nunca se había visto y quizá nunca volvería a verse.
A Bernoulli le entristeció que aquel viejo árbol familiar de repente no fuera un refugio demasiado bueno; temía verse apartado de sus raíces, puede que para siempre. Sin embargo, seguía estando demasiado furioso como para disculparse o para dormir bajo el mismo techo que aquel hombre al que llevaba tanto tiempo admirando pero del que ahora recelaba.
Tardó menos de una hora en recoger sus pertenencias, y al salir por la puerta se detuvo para mirar atrás. Allí había nacido y echaría de menos vivir allí... y a decir verdad, echaría de menos las animadas conversaciones que había tenido últimamente con su padre sobre las últimas teorías relativas a los fluidos.
En ese momento más que nunca, el trabajo con los fluidos parecía mucho más atractivo para Bernoulli que el trato con la gente. Por lo menos, con los fluidos había cierta esperanza de que se comportaran de manera predecible. Por el contrario, el comportamiento de las personas parecía irremediablemente insondable; por ejemplo, pensó Bernoulli encogiéndose de hombros ¿quién podría haber predicho lo que había ocurrido esa noche?
Mientras el joven salía a la fresca oscuridad del otoño, se preguntó dónde pasaría la noche. Lamentablemente, para Bernoulli era sólo el principio de lo que sería un continuo y trágico declive en su suerte personal, aunque no terminaría en la ruina total.
En el curso de su vida, el joven matemático iba a encontrar una ecuación mágica que revelaría el secreto del vuelo. Como consecuencia, su reputación científica se elevaría... lo mismo que la mente, el cuerpo y el espíritu de la especie humana.
viernes, 13 de noviembre de 2009
martes, 10 de noviembre de 2009
lunes, 9 de noviembre de 2009
Profes siempre profes !!!!
O incluso se pudo racionalizar de un principio por raiz de a ....
2) Que el resultado final fuese 1.
En todo caso, se marcó como malo un proceso que finalmente Sí racionalizó, que es lo que se pedía y queda demostrado que el profe NO reviusó el problema, que se conformó con mirar si el resultado final era o no igual al suyo y si racionalizó o no como él lo hizo!
Truco Parte I (Tomado de evamate-Blog, aquí linkeado)
sábado, 7 de noviembre de 2009
Me desafían con un problema potente
El desafío:
Hola! mi nombre es Boris Illanes del colegio cristiano emmanuel /santiago, la florida/
bueno justamente con saludarles les mando este e-mail por un problema planteado, que nose como resolverlo, y se que ustedes podrán ...
es este:
Se lanza un dado "n" veces ¿cual es la probabilidad que la sucesión de números obtenidos sea estrictamente creciente?
Gracias de antemano.
Boris Illanes Valenzuela - Estudiante Enseñanza Media
P.D: Exelente el material del blog me ha servido mucho..
La Respuesta:
Peko, te voy a contestar lo que estrictamente digo a la gente: mi blog no es uno que resuelve problemas porque yo no soy MUY bueno en eso, sobretodo problemas como el que me haz mandado, porque suelen ser complejos y en algunas ocasiones -incluso- hay una suerte de enviar problemas que aproblemen (como para pillar bloggers y yo soy MUY pillable) ....
Lo que si hago es tratar de resolverlos porque un aprendiz de educador debe siempre tratar de educar, de ayudar y aquí va mi humilde camino a la respuesta .... tu jusgarás!
1) Primero analicé casos límites o de borde .... No debemos pensar en que sea igual a uno (n=1) porque no podemos en este caso formar una secuencia extrictamente creciente ...
-
2) El último de los n posibles es 6, porque si lanzamo el dado 7 veces, uno de los números se va a repetir y lo de "extrictamente creciente" fallaría! Piensa en que vamos bien, en el lanzamiento de 7 veces un dado, que en los primeros 6 intentos han salido: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6, el siguiente intento será uno de los mismos números y la exigencia de crecimiento extricto habrá fallado ...
-
3) Entonces como que el problema se me reduce -incluso a explorar manualmente- 5 posbilidades .... n= 2, 3, 4, 5, 6 ....
-
4) Como el problema es complejo, me lancé a explorar, a indagar desde los casos particulares, intentando en algún monento generar una INDUCCION, es decir: pasar de los casos particulares a la formulación GENERAL.
-
5) Veamos esos casos particulares, uno a uno: OJO que en esto hay que ser ordenados, muy ordenados:
n=2
Casos extrictamente crecientes:
12 - 13 - 14 - 15 - 16
23 - 24 - 25 - 26
34 - 35 - 36
45 - 46
56
Total de casos extrictamente crecientes: 15
Total de casos (principio multiplicativo): 6 x 6 ó 6 al cuadrado
(porque en cada lanzamiento de dado pueden haber 6 posibilidades)
Ello lo puedes visualizar en la siguiente tabla, donde se muestran todos los pares posibles en que el primer número representa lo salido la primera vez que se tira el dado y el segundo, lo que sale la segunda vez!:
11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 36
41 42 43 44 45 46
51 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66
Son 36 los casos y 15 los que sirven, en color verde.
Esto se podría hacer en cada uno de los siguientes análisis (n=3, n=4, n=5, n=6), pero es similar, así es que no vamos a hacer esta tabla, todas las veces)
n=3
Casos extrictamente crecientes:
123 - 124 - 125 - 126
134 - 135 - 136
145 - 146
156
234 - 235 - 236
245 - 246
256
345 - 346
356
456
Total de casos extrictamente crecientes: 20
Total de casos: 6x6x6 ó 6 al cubo.
n=4
Casos extrictamente crecientes:
1234 - 1235 - 1236
1245 - 1246
1256
1345 - 1346
1356
1456
2345 - 2346
2356
2456
3456
Total de casos extrictamente crecientes: 15
Total de casos: 6x6x6x6 ó 6 a la cuarta.
n=5Casos extrictamente crecientes:
12345 - 12346
12356
12456
13456
23456
Total de casos extrictamente crecientes: 6
Total de casos: 6x6x6x6x6 ó 6 a la quinta.
¿Sospechas algo?
n=6
Casos extrictamente crecientes:
123456
Total de casos extrictamente crecientes: 1
Total de casos: 6x6x6x6x6x6 ó seis a la sexta.
Lo que hay que sospechar es que estos: 15, 20, 15, 6, 1
son los números combinatorios cuando se eligen 2, 3, 4, 5, 6 elementos de un total de 6, sin que importe el orden de ellos ....
puedes visualizarlo en el triángulo de Pascla (o Tartaglia) que te adjunto.(Ver imagen adjunta, Triángulo de Pascal)
Revisemos el Concepto de Números Combinatorios:
Luego, la fórmula genérica INDUCIDA es:
Probabilidad, que salgan secuencias extrictamente crecientes al lanzar n veces un dado es:
(Ver imagen adjunta, Fórmula Genérica)
Nota: Ojo que Combinación de 6 sobre n se puede escribir también como: C(6,n)
5) El problema se transforma en uno más interesante si me pidieran calcular la probabilidad tortal, la de todos los eventos excluyentes, porque entraría en juego el hecho de que lanzando un dado de 5 caras, para elegir también el que se lancen 2, 3, 4, 5 o 6 veces el dado).
Aquí se incluyen sumas y productos de probabilidades y la fórmula sería más o menos así:
(1/5) x C(6,2)/(6x6) +
(1/5) x C(6,3)/(6x6x6) +
(1/5) x C(6,4)/(6x6x6x6) +
(1/5) x C(6,5)/(6x6x6x6x6) +
(1/5) x C(6,6)/(6x6x6x6x6x6)
6) Hay un problema simétrico y es el mismo problema anterior, pero exigiendo que la serie que salga sea extrictamente decreciente! Da el mismo resultado !!!!
¿Qué piensas?
Escríbeme cualquiera sea lo que pienses de esta ayuda, te lo agradecería y así yo podría aprender de vos (y así cerrar el ciclo debidamente)! De dónde eres? Claudio
viernes, 6 de noviembre de 2009
Impresionante !!!!
V3R4N0 |
3574B4
3N
L4
PL4Y4
0853RV4ND0
A D05 CH1C45
8R1NC4ND0 3N 14 4R3N4,
357484N 7R484J484ND0 MUCH0
C0N57RUY3ND0 UN C4571LL0
D3 4R3N4 C0N 70RR35,
P454D1Z05 0CUL705 Y PU3N735.
CU4ND0 357484N 4C484ND0
V1N0 UN4 0L4 D357RUY3ND0
70D0 R3DUC13ND0 3L C4571LL0
4 UN M0N70N D3 4R3N4 Y 35PUM4.
P3N53 9U3 D35PU35 DE 74N70 35FU3RZ0 L45 CH1C45 C0M3NZ4R14N 4 L10R4R, P3R0 3N V3Z D3 350, C0RR13R0N P0R L4 P14Y4 R13ND0 Y JU64ND0 Y C0M3NZ4R0N 4 C0N57RU1R 07R0 C4571LL0; C0MPR3ND1 9U3 H4814 4PR3ND1D0 UN4 6R4N L3CC10N; 64574M05 MUCH0 713MP0 D3 NU357R4 V1D4 C0N57RUY3ND0 4L6UN4 C054 P3R0 CU4ND0 M45 74RD3 UN4 0L4 LL1364 4 D357RU1R 70D0, S010 P3RM4N3C3 L4 4M1574D, 3L 4M0R Y 3L C4R1Ñ0, Y L45 M4N05 D3 49U3LL05 9U3 50N C4P4C35 D3 H4C3RN05 50NRR31R.
BONITO MENSAJE. SI NO LO DESCIFRAS, NO LO MANDES!!!
miércoles, 4 de noviembre de 2009
martes, 3 de noviembre de 2009
domingo, 1 de noviembre de 2009
Secuencia .....
Didáctica de las Matemáticas ....
Sin levantar el lápiz
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