El Matemático y el Dentista

Un matemático va al dentista, y entre tornos, algodones y pinzas, se entabla la siguiente conversación:

Dentista: Me intriga saber, ¿qué fue lo que lo llevó a ser un matemático?

Matemático: e…wehaaa ohhkaaa ha!

Dentista: Ah! ya veo. Yo andaba bien en matemáticas hasta trigonometría, pero luego vino el cálculo, el profesor avanzaba muy rápido y nunca me pude poner al día. Desde entonces, no puedo decir que me guste la matemática.

Matemático: …..aagh hinc uqah ad….!

Dentista: Si. ¿Qué puede Ud. contarme respecto de la matemática, que pueda llamarme la atención?, algo que pueda atraerme de alguna forma.

Matemático: …ehh he eee . . .!!!!

Finalmente, el último algodón es retirado de la boca del matemático y la charla sigue así:

Matemático: Dr. usted me pregunta por algo que pueda llamarle la atención en Matemática. Ok, veamos: 10 x 10 es igual a 100, ¿no es cierto? Ahora sume 1 y reste 1 de forma de cambiar la multiplicación de 10 x 10 a 11 x 9. Esto nos da 99, uno menos que 100. 

Dentista: (medio aburrido). Así es.

Matemático: OK, ahora probemos con 8 x 8, que es 64. Sumamos 1 y restamos 1, cambiando la multiplicación de 8 x 8 a 9 x 7. Esto es igual 63, de nuevo uno menos que 64, el resultado de la primera multiplicación.

Dentista: ¡¡Curiosa coicidencia!! … ¿no?

Matemático: Bueno, intentemos con 5 x 5, que es  25.  Sumando y restando 1 obtnemos 6 x 4 que es 24, uno menos nuevamente.

Dentista: (cuya expresión comenzaba a cambiar lentamente). ¿Usted no querrá decirme que esto siempre es así?

Matemático: ¿Porqué no lo intenta usted mismo?

Dentista: (queriendo pinchar esta burbuja). ¿Que tal 11 x 11?

Matemático: OK, calculemos. . .

Dentista: Si…a ver sumo y resto 1, entonces me quedaría 12 x 10, lo que es 120…humm 11 x 11 es 121 ¿si?

Matemático: Se lo dije….¡siempre funciona!

Dentista: Bueno….no creo que funcione para números más pequeños…le apuesto….

Matemático: ¿A qué se refiere?

Dentista: Estaba pensando en 1 x 1, en este caso me parece que no se cumple esta regla.

Matemático: Pero, ¡si funciona! 1 x 1 es 1, mientras que 2 x 0 es o, ¡¡¡así.. uno menos que 1!!!

Dentista: ¡¡¡¡epa!!!! (impresionado).  Mi hijo tiene facilidad para la matemática. ¡¡¡Le voy a mostrar esto!!!

Matemático: ¡¡¡Genial!!! A propósito, también funciona para números muy grandes. El podría intentarlo con números de a millones o billones en una calculadora.

Dentista: Tengo que admintirlo, el truco es muy interesante, jamás se me habría ocurrido.

Matemático: ¿Le mencioné que funciona también con fracciones e incluso con números negativos?

Seguramente aquellos que son matemáticos, incluso los que no lo somos pero que por nuestra profesión trabajamos con números, tienen/tenemos cientos de ejemplos de conversaciones o situaciones similares. Nos econtramos con gente inteligente, culta, con una buena educación, pero con el botón de la más elemental noción matemática apagado. Un simple ejemplo, un truco, algo elemental que desafíe los sentidos provoca ese momento ¡aja! y los sentidos matemáticos se encienden.

Ahora bien, ¿por qué cuando sumamos y restamos 1 a los números de un dado producto de dos cifras, el resultado del nuevo producto es igual al primero menos la unidad?:

Sabemos que: 

O sea que reemplazando: 

Lo que equivale a decir que:  que es igual a 

Planteado de esta forma, inmediatamente uno se da cuenta porqué el truco siempre funcionará.

(Traducido y adaptado del prefacio de Sink or Float? Thought Problems in Math and Physicsde Keith Kending, Dolciani Mathematical Expositions N° 33 de la  Mathetmatical Association of America).