¿ a qué huelen las nubes ? (Preguntas BIEN Matemáticas)

¿Por qué SEPARADO se escribe todo junto y TODO JUNTO se escribe separado?

Si el pez nada, ¿la vaca todo?

¿Qué cuentas las ovejas al dormir?

¿De qué color es un camaleón mirándose al espejo?

La tierra es redonda y se llama Planeta... ¿si fuera plana se llamaría Redondeta?

¿Por qué las ciruelas negras son rojas cuando están verdes?

Los infantes disfrutan la infancia, y los adultos ¿el adulterio?

¿Qué significa NBA, Negros Bastante Altos?

Si hay un más allá, ¿hay un menos acá?

Si un abogado enloquece, ¿Pierde el juicio?

Si todos los derechos son reservados, ¿Qué pasa con los zurdos?

Si el congelador de un refrigerador se encuentra a no mas de 10 grados bajo cero y en la Antártida suelen estar a 50 grados bajo cero... ¿no se podrán calentar las personas entrando en el congelador?

¿Para qué corremos cuando llueve si delante nuestro también llueve?

¿Dónde está la otra mitad del medio oriente?

La vaca hace mu, el perro guau, el gato miau pero ¿qué hace la jirafa?

¿Por qué nuestro planeta se llama Tierra si las 3/4 partes de él son agua?

¿Por qué en los anuncios de raquetas se ve jugando al tenis, en los de coches, coches y sin embargo en los anuncios de condones no ves mas que gente jugando al tenis o coches parados? ¿El tenis fomenta el sexo?

(¿a qué huelen las nubes?)

Veraneando con Matemáticas .... Exposición GRATUITA: Por qué las Matemáticas?

Ante Andrés Bello, los estudiantes exprimen al máximo la matemática

¿Cuál es el camino más corto entre Santiago y Singapur?¿Cuántas diagonales requiere

un puente mecano para ser

rígido? ¿Cómo llenar mejor una maleta? ¿Cómo pintar los países de un mapa con sólo cuatro colores sin que se topen dos del mismo tono? ¿Cómo

apilar mejor las naranjas?

Todas estas preguntas tienen algo en común: es posible responderlas desde las matemáticas. Así lo desmuestra la exposición gratuita "¿Por qué las matemáticas?" que se está realizando en la casa central de la U. de Chile entre las 9 y las 18 horas, en horario continuado.

La muestra consiste en una colección de juegos experimentales diseñados por expertos mundiales, y fue diseñada en Francia por iniciativa de la Unesco. Con ellos, los asistentes pueden ver cómo conceptos como las probabilidades, fractales, teselaciones o espirales logarítmicas tienen aplicaciones concretas en la vida cotidiana.

El recorrido es guiado por un grupo muy especial de monitores: cuatro estudiantes de posgrado de la U. de Chile van dando didácticas explicaciones de cada experimento.

curiosidades matemáticas ...

Discusión Solución de un Sistema de 2 x 2

El Sistema de Ecuaciones con 2 incógnitas, anterior:

A) Tiene solución única.

B) Tiene infinitas soluciones.

C) Tiene 2 soluciones.

D) No tiene solución.

E) No se puede determinar.

Respuesta: Si dividimos la segunda ecuación (2) por 3, llegamos EXACTAMENTE a la Ecuación primera (1) .... Esto significa que cada una de las ecuaciones representa a la misma recta o son dos rectas coincidentes, por lo tanto hay INFINITAS SOLUCIONES.Alternativa B)

Genoma y Ancestros Comunes (Paenza - Episodio 2)

Los “bordes” que supuestamente definen cada ciencia son cada vez más borrosos y el hombre requiere de poder usar todas las herramientas a su alcance, donde las etiquetas poseen cada vez menos sentido. En lugar de decir: “éste es un problema para un físico o para un ingeniero o un arquitecto o un biólogo o un matemático”, uno debería decir: tengo este problema. ¿Cómo lo resolvemos? Pensemos juntos. Como consecuencia, el avance llega solo. O más fácil.

El texto que sigue muestra cómo los vasos comunicantes que generaron biólogos y matemáticos que trabajan en la frontera del conocimiento, permitieron poner en evidencia (una vez más) la existencia de ancestros comunes.

Durante 2005, en una charla que manteníamos en un café de la Facultad de Exactas (UBA) con Alicia Dickenstein (matemática y una de mis mejores amigas, una persona que claramente tuvo una incidencia muy positiva en mi vida), ella me comentó acerca de un trabajo muy interesante que involucró a biólogos y matemáticos. Más precisamente, me contó el resumen del trabajo “The Mathematics of Phylogenomics”, escrito por Lior Pachter y Bernd Sturmfels, del Departamento de Matemática de UC Berkeley. Desde el momento en que, en el 2003, se completó el Proyecto Genoma Humano (HGP, de acuerdo con su sigla en inglés, Human Genome Project), comenzó también la carrera por conocer e identificar a nuestros antepasados, y saber con quiénes compartimos ese “privilegio”. El proyecto, que duró más de trece años, permitió identificar los (aproximadamente) entre 20.000 y 25.000 genes del genoma humano, y determinar las secuencias de los 3.000 millones de pares de bases químicas que lo componen. Es decir, es como si uno tuviera un alfabeto que consista en nada más que cuatro letras: A, T, C y G (las iniciales de A = Adenina, T = Timina, C = Citosina, G = Guanina).

El ADN de una persona es algo así como su cédula de identidad. Ahí está escrita toda la información necesaria para el funcionamiento de sus células y sus órganos. En esencia, en una molécula de ADN está inscripto todo lo que podemos ser, nuestras particulares aptitudes y capacidades, y algunas de las enfermedades que podemos padecer. No obstante, es la combinación de esa información con el aporte del ambiente lo que hace que cada uno de nosotros sea único.

Esa doble hélice es una especie de serpentina que tiene escritas dos tiras enfrentadas de largas cadenas de esas cuatro letras. Pero, además, posee una particularidad: si en una de las tiras, en un lugar hay una letra A, entonces en el lugar correspondiente de la otra tiene que haber una letra T, y si hay una C, entonces en la otra tiene que haber una G. Es decir que vienen apareadas.

(De hecho, una forma de recordar esta particularidad, entre los amantes del tango, es usar las iniciales de Aníbal Troilo y Carlos Gardel.)

Ahora bien, ¿a qué viene todo esto que parece más asociado a un artículo sobre biología molecular que a algo que tenga que ver con la matemática? En el artículo que mencionamos de Lior Pachter y Bernd Sturmfels, y también en el libro Algebraic Statistics for Computational Biology (Cambridge University Press, 2005), los autores estudiaron una situación muy particular.

Miren esta porción de ADN:

TTTAATTGAAAGAAGTTAATTGAATGAAAATGATCAACTAAG

Son 42 letras, en el orden en el que están escritas. Para decirlo de otra manera, sería como una palabra de 42 letras. Esta “tira” del genoma fue encontrada (después de un arduo trabajo matemático y computacional de “alineación” de las distintas secuencias) en algún lugar del ADN de los siguientes vertebrados: hombre, chimpancé, ratón, rata, perro, pollo, rana, peces…

Si uno tirara un dado, que en lugar de tener las seis caras convencionales, tuviera sólo cuatro lados, rotulados A, C, G, T, la probabilidad estimada de que esta secuencia de 42 letras apareciera en ese orden es de 1 dividido por 1050. Es decir, la probabilidad de que esto haya ocurrido por azar es aproximadamente igual a: 10-50 = 0,00000…0001. Para decirlo de otro modo, el número empezaría con un cero, luego de la coma habría cincuenta ceros, y sólo entonces un número uno. Justamente, la probabilidad de que esto ocurra es tan baja que permite a los autores del artículo conjeturar que todos ellos tuvieron un antepasado o un ancestro común (probablemente hace unos quinientos millones de años), que ya poseía esa secuencia de 42 bases, que fue heredada intacta a todos los descendientes de las distintas ramas de vertebrados. Por lo tanto, si bien uno no puede hablar de certeza, la probabilidad de que el hombre tenga el mismo origen que un pollo, o un perro, o un ratón (ni hablar de un chimpancé), es altísima.

Computación con ADN

NextWave: ¿Qué áreas despiertan interés dentro de la bioinformática?

Lila Kari: Durante la última década, hemos sido testigos de emocionantes avances en los estudios del ADN, desde perspectivas totalmente heterodoxas, no tradicionales. Por ejemplo, la computación biomolecular, también conocida como computación con ADN, biocomputación o computación molecular, es una disciplina emergente que podríamos ubicar en la intersección entre la informática y la biología molecular. La idea fundamental detrás de la computación con ADN es que los datos pueden ser codificados en tiras de ADN, y que las técnicas de la biología molecular pueden ser utilizadas para llevar a cabo operaciones lógicas y aritméticas.

Debido a sus enormes paralelismos, un computador de ADN podría ser mil veces, un millón de veces más rápido, que un computador electrónico. Más aún, para codificar la misma información que puede guardarse en un micromol de ADN (una solución diluida que cabría en un cartón de leche de un litro) utilizando la tecnología IBM actual, se necesitaría una superficie de ciento sesenta hectáreas. En cuanto a los requisitos de potencia, un computador de ADN podría ser, a lo menos, mil veces más eficiente desde el punto de vista energético, que uno electrónico. Estas comparaciones, aunque basadas en datos preliminares, nos dan una idea de por qué las biomoléculas podrían ser un medio preferible para computaciones en algunas aplicaciones. La investigación en computación con ADN in vitro e in vivo que se está realizando hoy en día nos está proporcionando mucha información relevante acerca de las capacidades computacionales de los seres vivos. En conjunto, podríamos considerarla un paso previo a la posible utilización, en un futuro, de la computación con ADN como herramienta complementaria y viable en el área de la informática.

(Tomado de: http://nextwave.universia.net)

buena música ..... "Témpera"

Buena!

Imagen relativa al ámbito de la Teoría de Cuerdas

Ha podido vislumbrarse por primera vez en el mundo real, la compleja forma de simetría matemática vinculada a la teoría de cuerdas, en unos experimentos de laboratorio con cristales exóticos.Matemáticos descubrieron la compleja simetría 248 tridimensional llamada E8 a finales del siglo XIX. Las dimensiones de la estructura no son necesariamente espaciales, como las tres dimensiones en que vivimos, sino que se corresponden con grados matemáticos libres, donde cada dimensión representa una variable diferente.

En la década de 1970, la forma simétrica apareció en los cálculos relacionados con la teoría de cuerdas, como candidato a una "teoría del todo" que podría explicar todas las fuerzas del universo. Pero la teoría de cuerdas sigue a la espera de la prueba experimental.

La estructura es también la base de otra propuesta en 2007 de teoría del todo avanzada, por el físico Garrett Lisi, que se refiere a E8 como "quizá la estructura más bella de las matemáticas".

Ahora, los físicos han detectado la firma de E8 en un ámbito muy distinto, en los experimentos sobre cristales super-congelados.

Arriba o abajo

Radu Coldea, y sus colegas de la Universidad de Oxford, refrigeraron un cristal hecho de cobalto y niobio a 0,04 °C por encima del cero absoluto. Los átomos de cristal están dispuestos en largas cadenas paralelas. Debido a una propiedad cuántica llamada espín, los electrones se agregan a las cadenas de átomos como diminutos imanes, cada uno de los cuales sólo pueden apuntar hacia arriba o hacia abajo.

Sucedieron cosas extrañas cuando los experimentadores aplicaron un poderoso campo magnético perpendicular de 5,5 Tesla en la dirección electrónica de estos "imanes". Unos patrones aparecieron espontáneamente en el espín del electrón de la cadena; en un ejemplo simplificado con tres electrones, los espín [giros] podían leerse de arriba-arriba-abajo o de abajo-arriba-abajo, entre otras posibilidades. Cada uno de los distintos patrones tenía una energía asociada diferente.

La proporción de estos diferentes niveles de energía mostraba que los espín del electrón se ordenaban a sí mismos según las relaciones matemáticas de la simetría E8.

Simetría compleja

Alexander Zamolodchikov, actualmente en la Universidad de Rutgers en Piscataway, New Jersey, señaló en 1989, que las energías teóricamente previstas de estos sistemas responden a las expectativas de la simetría E8.Pero la razón subyacente sigue siendo un misterio. Robert Konik del Laboratorio Nacional de Brookhaven, en Upton, Nueva York, que no participó en el experimento, dice que es sorprendente el hecho de que un sistema simple, compuesto principalmente de cadenas unidimensionales magnéticas, se muestre como una simetría compleja. Es algo extraordinario poder ver esta casi exótica pieza matemática aparecer en el mundo real, añade.

Sin enlaceAunque el E8 se muestra en los cálculos de la teoría de cuerdas, el observar la simetría de los experimentos de cristal magnético no proporciona ninguna evidencia de la teoría de cuerdas en sí mismo, apuntaba Konik."El hecho de que podamos ver esta simetría particular en esta cadena de espín no dice nada sobre la teoría de cuerdas en sí", señaló. "La existencia de esta simetría es en cierto sentido un tipo independiente de cualquier otro fenómeno físico en particular".Por esta misma razón, dichos experimentos tampoco ofrecen ningún respaldo a la teoría del todo propuesta por Lisi, basada en E8, añadió.

La firma de una estructura matemática conocida como E8 se ha visto en el mundo real, por primera vez (Ilustración: Claudio Rocchini bajo licencia Creative Commons 2.5)

¿ Dónde están los otros 8 ?

De como este ejercicio SENCILLO me tuvo por las cuerdas !!!!

Es impresionante -para mi- como

todo (MUCHO de) lo que sé en matemáticas está asentado

desde el que fue mi gran profesor de la Enseñanza Media

(mi homenaje para Bernardo González González de Talca) ...

Yo estoy seguro que nunca había visto un ejercicio como el que viene

y me costó mucho asentar en mi imaginación un derrotero

que me llevara a descubrir el camino correcto ....

Al final lo hice parcialmente ....

Hasta el Hall and Knight pasó por mis manos y me entregó

una herramienta parcial para poder salir adelante (con sólo 2 de los tres ejercicios) ....

Es re fácil cuando uno se da cuenta del truco y uno obviamente disfruta del placer estético de encontrarlo .... pero di botes por un buen rato!

(para que comprueben lo que siempre les he dicho: YO Apenas soy una aprendiz de PROFESOR de matemáticas, NUNCA un genio!,

(QUIZÁS UN BRUTO POCO IMAGINATIVO .... PERO QUE AMA LAS MATEMATICAS !!!!!)

El ejercicio decía: Calcular las siguientes raíces en forma exacta!:

Respuesta: El camino de mi mente (ya viene .....) .... Ahora sí:

De verdad nunca había realizado un ejercicio como este y lo primero que me hizo pensar es a qué se refiere en "forma exacta" .... porque las raíces tienen, a su vez, en su interior, números irracionales que sumados a los naturales siguen siendo irracionales .... este .... , no podía ser que el resultado obviamente fuera 8,53, ó 7,1 ó 9 .... divagué medio enredado en esto ....

luego pensé en llamar "p" a la expresión, pensemos en la primera de ellas, elevar al cuadrado y seguir elevando hasta hacer desaparecer las raíces y tener una expresión, aunque bi-cuadrática para "p", pero esto sólo es hacer un cierto camino al revez que nos llevaría nuevamente a la expresión inicial en caso de intentar resolverlo .... veamos:

Resolver es hacer el camino inverso, para llegar obviamente a lo inicial,

este camino no me servía .... estaba realmente perdido ....

....

Luego, busqué algún libro y en ello me sirvió mucho el Hall and Knight, puesto que contenía un ejercicio con cierta similitud que me llevó a plantear, el resultado de la raíz con la expresión siguiente (y a usar el camino de elevar al cuadrado):

y si uno eleva al cuadrado el término de la derecha de la ecuación,

sale exactamente la cantidad subradical .... TODO está bien!

PERO, PERO, PERO

No sirve para el tercero de los otros dos ejercicios hacer el mismo truco, incluso cambiarle el signo a la raiz y al entero que la acompaña en la suma .... no me resultaba ,,,,

.....

Incluso postulé la utilización de imaginarios y NADA!!!!!

....

Tal era mi miopía, y la búsqueda de un truco EXTRAÑO, algebraico,

que ni siquiera una vez resuelto este primer ejercicio

me di maña para ver que las tres cantidades subradicales son tres cuadrados perfectos ....

ESO era TODO, que miope soy matemáticamente ....

por ejemplo:

Busca lo que sucede con el ejemplo que queda ....

Un abrazo de este inacabado, aprendiz-LERDO

de profesor de matemáticas!

Borges y las Matemáticas .....

Hay una conexión sólida para con las matemáticas en la escritura de Borges.

Uno de los tópicos fundamentales dice relación con el concepto de

Infinito.

-

Esta cuestión es tocada en El Aleph. De hecho el propio nombre de este cuento nos da un conexión con los infinitos matemáticos. El Aleph es el símbolo de los números Transfinitos, en los que el todo NO es mayor que alguna de las partes”.

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En los números transfinitos se deconstruye el antiguo postulado aristotélico según el cual el todo debe ser mayor que cualquiera de las partes. “Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros”, dice en “Avatares de la tortuga”: “No hablo del Mal cuyo limitado imperio es la ética; hablo del infinito”.

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En el infinito matemático, en efecto, el todo no es necesariamente mayor que cualquiera de las partes. Para entender esto, pensemos en los números naturales, aquellos que se usan para contar: 1, 2, 3, 4, 5, …. Luego pensemos en los números pares: 2, 4, 6, 8, …. Podemos hacer la siguiente asociación, asignar al número uno el primer par (2), al 2 el segundo par (4), al 3 el tercer par (6) y así sucesivamente …. Veamos:

-

Los números Naturales: 1, 2, 3, 4, 5, …. Son infinitos, pero los números Pares: 2, 4, 6, 8, 10, …. También son infinitos y por la asociación anterior a cada número Natural se le puede asociar uno que sea PAR …. Existe lo que los matemáticos llaman asociación BIUNIVOCA entre los números Naturales y los números PARES.

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Es esto lo que intriga a Borges, que el conjunto de los números pares tiene de este modo “tantos elementos” como los números naturales, ya que se puede asignar el 1 al primer número par 2, el 2 al 4, el 3 el 6, etc. Tenemos así una parte propia de los números naturales, digamos, una “mitad”, los pares, que es “tan grande” como el todo.

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Conclusión: Los números de contar o Naturales son Infinitos, y si bien es cierto contienen a los pares, el conjunto de los pares también es Infinito. Ambos conjuntos son infinitos, es decir tienen la misma cantidad infinita de elementos. En este caso el Conjunto de los naturales NO es más grande que la parte (los números pares). El mismo razonamiento se puede establecer, obviamente, entre los números Naturales y los Impares.

¿ Por qué sólo puede haber 5 sólidos Pitagóricos ?

¿ Por qué sólo puede haber 5 sólidos Pitagóricos ?

LOS CINCO SÓLIDOS PITAGÓRICOS:

Un polígono (que significa en griego "de muchos ángulos") regular es una figura bidimensional con un cierto número n de lados iguales. Si n = 3, el polígono es un triángulo equilátero; si n = 4 es un cuadrado; si n = 5 es un pentágono, etc. Un poliedro (que significa en griego "de muchas caras") es una figura tridimensional cuyas caras son todas polígonos: un cubo, por ejemplo, cuyas caras son 6 cuadrados. Un poliedro simple, o sólido regular, es un poliedro sin agujeros. Un hecho fundamental en la obra de los pitagóricos y de Johannes Kepler es que sólo hay y puede haber 5 sólidos regulares. La demostración más fácil deriva de una relación descubierta mucho después por Descartes y por Leonhard Euler que relaciona el número de caras, C, el número de aristas, A y el número de vértices, V, de un sólido regular:

V - A + C = 2 (Ecuación 2)

En un cubo, por ejemplo, hay 6 caras (C = 6), y 8 vértices (V=8), 8 - A + 6 = 2, 14 - A = 2, y A = 12; la ecuación (2) predice que el cubo tiene 1 2 aristas, y así es. Puede consultarse una demostración geométrica sencilla de la ecuación (2) en la obra de Courant y Robbins citada en la bibliografía. A partir de la ecuación (2) podemos demostrar que sólo hay cinco sólidos regulares.
Toda arista de un sólido regular es compartida por los lados de dos polígonos adyacentes. Imaginemos de nuevo el cubo en el cual cada arista hace de frontera entre dos cuadrados. Si contamos todos los lados de todas las caras de un poliedro, «C, habremos contado dos veces todas las aristas. Por lo tanto

nC = 2A (Ecuación 3)

Sea r el número de aristas que convergen en cada vértice. En un cubo r= 3. También ahora cada arista conecta dos vértices. Si contamos todos los vértives, rV, habremos contado del mismo modo dos veces cada arista. Por lo tanto,

rV = 2A (Ecuación 4)

Si sustituimos los valores de V y C de las ecuaciones (3) y (4), en la ecuación (2) obtenemos:

Si dividimos ambos términos de esta ecuación por 2A, tendremos

Sabemos que n es 3 o más, porque el polígono más simple es el triángulo, con tres lados. Sabemos también que r es 3 o más, porque en un vértice dado de un poliedro se encuentran por lo menos 3 caras. Si tanto n como r fueran simultáneamente más de 3 , el primer término de la ecuación (5 ) sería inferior a 2/3 , y la ecua­ción no podría satisfacerse para cualquier valor positivo de A. Por lo tanto, y gracias a otro argumento basado en la reducción al absurdo, o bien n = 3 y r vale 3 o más, o bien r = 3 y n vale 3 o más. Si n = 3, la ecuación (5) se convierte en

(l/3)+(l/r) = (l/2) + (1/A), o bien:

Es decir, que en este caso r sólo puede ser igual a 3, 4 o 5 . (Si A valiese 6 o más, la ecuación no se cumpliría.) Ahora bien, n = 3, r= 3 designa un sólido en el cual convergen en cada vértice 3 triángulos. La ecuación (6) dice que este sólido tiene 6 aristas, la ecuación (3) que tiene 4 caras, la ecuación (4) que tiene 4 vértices. Es evidente que se trata de la pirámide o tetraedro; si n = 3, r = 4 tenemos un sólido con 8 caras en el cual conver­gen en cada vértice 4 triángulos, el octaedro; y si n = 3, r = 5 tenemos un sólido con 20 caras y con 5 triángulos convergiendo en cada vértice, el icosaedro. Si r= 3, la ecuación (5) se convierte en:

Y utilizando argumentos semejantes n sólo puede ser igual a 3, 4 o 5. Si n=3 tenemos de nuevo el tetraedro; si n=4 tenemos un sólido cuyas caras son 6 cuadrados, el cubo; y si n=5 el sólido tiene 12 caras formadas por pentágonos, el dodecaedro.

No hay valores enteros posibles de n y r, y por lo tanto sólo hay 5 sólidos regulares, conclusión deducida de la matemática más abstracta y bella, y que como hemos visto tuvo un impacto muy profundo sobre los asuntos prácticos de la humanidad.

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(Tomado íntegro de
"Cosmos"
de Carl Sagan.
Apéndice 2,
página348.
Edición del 2000)

Dilatación - Contracción de una Parábola