Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy, de los redondos aros.
martes, 29 de marzo de 2011
jueves, 24 de marzo de 2011
John Milnor - Matemático de EE.UU. gana premio Abel
John Milnor, profesor de la Universidad Stony Brook de Nueva York, fue galardonado ayer con el premio Abel para las matemáticas, uno de los más destacados en el área. El acade´meico de 80 años fue reconocido gracias a sus descubrimientos pioneros en topología, geometría y álgebra, según señaló la Academia Noruega de Ciencias y Letras, a cargo del galardón. "Sus ideas profundas y descubrimientos fundamentales han determinado el panorama matemático de la segunda mitad del siglo XX", afirmó el jurado. (fuente: EMOL)
miércoles, 23 de marzo de 2011
Hardy .....
Hardy, autor de un pequeño libro, "Apología de un matemático", en el que se explicaba al público en general lo que hacen los matemáticos. Hardy proclamó lleno de orgullo que había dedicado su vida a la creación de una obras de arte abstracto totalmente inútiles y carentes de cualquier posible aplicación práctica. Tenía unas ideas muy precisas sobre la tecnología y las resumió en la siguiente afirmación: "Se dice que una ciencia es útil si su desarrollo tiende a acentuar las desigualdades existentes en la distribución de la riqueza o si promueve de una forma más directa la destrucción de la vida humana". Escribió estas palabras mientras la guerra hacía estragos en su entorno.
(Tomado de El Científico Rebelde, Freeman DYSON)
De Wikipedia:
El nombre de Hardy ha trascendido los límites de la profesión gracias a:
- Su ensayo de 1940 sobre la estética de las matemáticas (A Mathematician's Apology ISBN 0-521-42706-1) que ha sido a menudo considerado la mejor introducción a la forma de pensar de un matemático abocado a su trabajo.
- Su relación desde 1914 como mentor del matemático indio Ramanujan, cuya brillantez espontánea reconoció inmediatamente. Cuando fue consultado sobre su mayor contribución a las matemáticas, Hardy respondió que fue el descubrimiento de Ramanujan.
martes, 22 de marzo de 2011
Enseñanza Matemática con Metáforas (Tomado de Educar Chile)
A través de juegos y adivinanzas, un grupo de investigadores de la Universidad de Chile ha desarrollado un novedoso método de enseñanza matemática.
Diferentes cajas dispuestas sobre una mesa, pero que corresponden a tipos específicos que nuestra mirada clasifica sin que nos demos cuenta. Hay azules, rojas y amarillas; pequeñas, medianas y grandes. Dentro de ellas se han ubicado conejos negros y blancos, y al irlas destapando, nos percatamos de la existencia de un patrón que relaciona las variables “color” y “tamaño” de las cajas con el color del conejo que alberga dentro.
Con este sencillo experimento el investigador Roberto Araya, director del proyecto Estrategias y Herramientas para la Enseñanza de la Matemática Basadas en Metáforas, puede explicar a un grupo de niños en qué consisten los patrones matemáticos. Sólo se trata de adivinar el color del conejo, considerando el tamaño y color de la caja; un juego, al fin y al cabo, pero un juego que entrega conocimiento.
¿Qué hay detrás? Una concepción “evolucionaria” sobre la manera en que trabajan el cerebro y la mente, que viene de Darwin, y que sostiene que el cerebro humano está adaptado, producto de millones de años de evolución, para hacer ciertas actividades, algunas de ellas muy complejas pero que nos parecen simples por estar habituados a ellas. Otras cosas, sencillas, nos cuestan bastante más.
Esas actividades para las cuales el cerebro está adaptado se llaman “biológicamente primarias”, y podemos realizarlas sin aspavientos, aunque a veces son extraordinariamente complejas. Caminar es una de ellas, tal como lo explica Roberto: “los ingenieros llevan más de 40 años tratando de hacer un robot que camine; es sumamente difícil por la cantidad de cálculos necesarios, sin embargo un niño lo resuelve al año y ni se cansa”.
También hablar: “todavía no hay, por ejemplo, un software que traduzca bien del inglés al castellano, sin embargo, un niño empieza hablar y no lo para nadie”.
Dentro de las actividades biológicamente secundarias se ubican las que son consecuencia de los últimos cinco mil años de desarrollo cultural, como por ejemplo las tablas de multiplicar, las operaciones con fracciones y el álgebra. “Eso nos cuesta enormemente (dice Roberto), los niños pasan años aprendiéndolo; parten en 3º básico con fracciones y en 4º medio la gran mayoría todavía se equivoca”.
Es muy poca memoria la que se requiere para recordar las tablas de multiplicar, sin embargo para los niños significa un gran esfuerzo, porque es un conocimiento biológicamente secundario. Por otro lado, reconocer caras en un curso es algo que debería ser muy difícil, por la cantidad de información que hay en cada cara, pero los niños pueden distinguir entre un compañero y otro muy rápidamente.
Los esfuerzos del proyecto Metáforas apuntan entonces a usar lo biológicamente primario para enseñar lo secundario. Es así como la sorpresa de encontrar un conejo dentro de una caja termina por explicar la noción matemática de patrones: “al mirar las cajas uso todo el sistema visual, que es muy bueno para reconocer patrones (continúa Roberto Araya), por eso visualmente me doy cuenta de cuáles son las reglas, si tratara de aprenderlo directamente en lenguaje matemático me costaría mucho más”.
¿Y para qué se usa entonces el lenguaje matemático?
- Cuando uno va más allá de esas cajas simples es poderoso. Pero siempre volvemos a buscar formas gráficas de presentar la información, y los buenos matemáticos se lo imaginan de diferentes formas gráficas para agudizar el pensador visual que todos tenemos dentro, que es muy bueno para reconocer patrones.
Las cajas son sólo una de las maneras en que el proyecto Metáforas enseña a los niños. También hay otros medios: poniendo pesos en una balanza de manera de mantener el equilibrio entre las dos pesas, enseñan a resolver ecuaciones. “Los niños saben que algo está en equilibrio y que si agrego el mismo peso a ambos lados, sigue en equilibrio; pero si uno lo pone en lenguaje matemático es más árido, todos nos confundimos. En cambio si uno hace constantemente traducción entre lenguaje matemático y esta visión biológicamente primaria de las balanzas, las cajitas, lo dulces, hace que todos entiendan mucho más rápido. Eso hemos podido medirlo y demostrarlo con grupos grandes y todos los controles necesarios”, concluye el académico.
Einstein y la Crisis
Tomado de:
http://www.google.cl/imgres?imgurl=http://techmi.es/blog/wp-content/uploads/2009/05/crisis-einstein.jpg&imgrefurl=http://techmi.es/blog/tag/einstein/&usg=__9otRSPI2uZOaZ6idlzmEkc4zwuc=&h=498&w=679&sz=68&hl=es&start=94&sig2=a2QRfXJAaCT8TH5yMPNNpw&zoom=1&tbnid=YLrkjzPrzkF4nM:&tbnh=145&tbnw=194&ei=IgKJTbKBJ4S5tgezxr2CDg&prev=/images%3Fq%3Deinstein%26um%3D1%26hl%3Des%26sa%3DN%26biw%3D1001%26bih%3D631%26tbs%3Disch:10%2C3272&um=1&itbs=1&iact=hc&vpx=609&vpy=111&dur=416&hovh=145&hovw=198&tx=118&ty=114&oei=DQKJTe-kFM680QHk1ZWzDg&page=7&ndsp=17&ved=1t:429,r:9,s:94&biw=1001&bih=631
Qué Lees Claudio I: El científico rebelde !!!!
No existe en absoluto una visión científica, del mismo modo que no hay una visión poética. La ciencia es un mosaico de puntos de vista parciales y contradictorios. Sin embargo, hay un elemento común en esos puntos de vista: la rebelión contra las restricciones impuestas por la cultura dominante en el ámbito local, occidental u oriental, según el caso. la visión científica no es específicamente occidental. Al menos no más que árabe, india, japonesa o china. Los árabes, indios, japoneses y chinos tienen una gran participación en el desarrollo de la ciencia moderna. Además, hace 2.000 años, los comienzos de la ciencia antigua fueron tan babilonios y egipcios como griegos.
"El científico Rebelde, de Freeman DYSON"
Qué lees Claudio II: Sueños de Einstein !!!!
Entre los arcos de una calle distante, el reloj de la torre suena seis veces y luego se detiene. El joven está encorvado sobre el escritorio. Ha llegado al despacho de madrugada, después de otra conmoción. Está despeinado y sus pantalones don demasiado grandes. Tiene en la mano veinte páginas arrugadas, su nueva teoría sobre el tiempo que hoy mismo enviará por correo a la revista alemana de física (....)
Sueños de Einstein, Alan Lighman
lunes, 21 de marzo de 2011
viernes, 18 de marzo de 2011
Mapas Conceptuales - Origen
El origen de los mapas conceptuales se debe a los trabajos de Joseph D. Novak de la universidad de Cornell (1982) sobre sicología del aprendizaje, realizados en la década del 60. Joseph D. Novak estudiaba el desarrollo cognitivo en niños(as) y creó los mapas conceptuales como instrumento de medición para determinar el grado de desarrollo y el tipo de aprendizaje alcanzado por un determinado individuo en un momento dado.
La propueta de J.D. Novak está basada en la teoría del aprendizaje significativo de D.P. Ausbel (1983), quien distingue 2 tipos básicos de aprendizaje: el memorístico y el significativo. El aprendizaje memorístico es superficial, basado en la repetición de estímulos y poco duradero. El aprendizaje significativo, en cambio, es el resultado de relacionar nuevos conceptos con la estructura cognitiva del individuo, es un aprendizaje sólido y persistente a largo plazo.
Marco Antonio Moreira (2000) ha sostenido que los mapas conceptuales constituyen una herramienta metacognitiva muy útil para lograr conocimientos significativos.
Los mapas conceptuales han sido considerados, en un enfoque CONSTRUCTIVISTA, como una herramienta didáctica útil para promover la adquisición conciente de una estructura cognitiva o esquema conceptual en que se relacionan adecuadamente los diferentes conceptos.
Novak en el 2004 dijo: el mapa conceptual es: "Un resumen esquemático que representa un conjunto de significados conceptuales incluidos en una estructura de proposiciones".
(Extracto, "Los Mapas Conceptuales en el Aula Matemática", Mardones Fuentes Eduardo y Del Valle Leo María, 2009)
jueves, 17 de marzo de 2011
Ecuaciones: De Primer Grado a Quinto Grado ! (Tomado de matematicas-de-la-simetria.blogspot.com)
Cuando un estudiante de enseñanza media tiene su primer contacto con el álgebra, generalmente es expuesto a un problema sencillo como el siguiente:
"Encontrar un número tal que si lo multiplicamos por cinco y le sumamos veinte nos dá treinta".
El número, desconocido aún, es identificado con la variable de incógnita x, con lo cual el problema es enunciado simbólicamente de la siguiente manera:
Aunque este problema es sencillo y se puede resolver mentalmente, muchos otros problemas que se ven posteriormente en los estudios del álgebra no lo son, razón por la cual se enuncia un problema introductorio de este tipo con fines didácticos.
La ecuación algebraica que tenemos arriba es lo que se llama una ecuación de primer grado, porque la incógnita x está elevada a un exponente de uno (1) en la ecuación. En su formulación más general, usando símbolos para representar los coeficientes numéricos, generalmente se representa de la siguiente manera;
La solución de este tipo de ecuaciones era ya conocida desde tiempos que predatan a la era Cristiana. La fórmula general para resolver una ecuación de primer grado como la de arriba es:
Obsérvese que, si se conocen los coeficientes, la aplicación de la fórmula requiere que se lleve a cabo únicamente una división de los coeficientes.
El siguiente paso en la escala ascendente de complejidad es la ecuación de segundo grado, una ecuación que se enuncia en un problema de una manera como la siguiente:
"Dada la siguiente ecuacion
encontrar los valores de x para los cuales se cumple la ecuación."
La ecuación algebraica que tenemos arriba es lo que se llama una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática, porque la incógnita está elevada a un exponente máximo de dos (2) en la ecuación. Las soluciones a la ecuación cuadrática, no mediante alguna fórmula sino mediante manipulaciones geométricas (el álgebra aún no se había inventado) ya eran del conocimiento de los Babilonios unos 1,700 años A.C. Los textos de los Babilonios indican que ellos sabían resolver ecuaciones cuadráticas usando una "receta de cocina" concebida por algún genio matemático de la época mediante la cual se reformulaba el problema de modo tal que dijera: encontrar dos números, dados su suma y su producto. Llamando a los números s y p, y suponiendo quex+y=s y xy=p, la "receta de cocina" (o, en nuestra terminología moderna, el algoritmode solución) era la siguiente:
(1) Tomar la mitad de s.
(2) Elevar al cuadrado el resultado.
(3) De lo que se obtenga, substraer p.
(4) Sacar la raíz cuadrada del resultado.
(5) Sumar esto a la mitad de s para obtener una de las soluciones. La otra es s menos este número.
Por ejemplo, si la suma es 8 y el producto es 15, entonces los pasos sucesivos dan 4, 16, 1, 1, 3 y 8-3=5. Así, los dos números buscados son 5 y 3.
Posterioremente, las ecuaciones de segundo grado fueron estudiadas de modo más sistemático por el matemático al-Khawarizmi (780-850 D.C.), de cuyo nombre deriva precisamente la palabra algoritmo (el procedimiento para resolver un problema mediante una secuencia ordenada de pasos siguiendo una "receta de cocina") y de cuya obra al-Jabr deriva la palabra álgebra. Es de notar que el manejo del tema dado por al-Khawarizmi a las ecuaciones cuadráticas es un asunto algo pesado en virtud de que sus proposiciones y demostraciones eran enunciadas usando palabras sin recurrir a símbolos algebraicos (los cuales aún no habían sido inventados ni siquiera por él), además de que todos sus argumentos son expuestos recurriendo a la geometría.
En la formulación más general de la ecuación cuadrática, usando símbolos para representar los coeficientes numéricos, generalmente se representa de la siguiente manera;
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado cuando se conocen los coeficientes a, b y c, es la siguiente:
Es importante observar que la solución a la ecuación cuadrática general requiere la extracción de la raíz cuadrada de una función de los coeficientes conocida como el discriminante, b²-4ac. La derivación de esta fórmula se muestra a continuación:
Resueltas mediante fórmulas las ecuaciones de primer grado y segundo grado, el siguiente paso lógico en la escala de complejidad era la resolución también mediante alguna fórmula o fórmulas de las ecuaciones cúbicas o de tercer grado, generalmente expresadas de la siguiente manera:
Pese a su deceptiva sencillez, el problema de resolver esta ecuación fue un reto muy duro por largo tiempo para los algebristas más diestros en los tiempos del Renacimiento. Las fórmulas para la resolución exacta de la ecuación cúbica general fueron publicadas en 1545 por Girolamo Cardano (1501-1576) en su libro Ars Magna. Además de la solución algebraica de las ecuaciones cúbicas, Cardano publicó en su Ars Magna una fórmula general para la solución de ecuaciones de cuarto grado:
como la siguiente:
La resolución de la ecuación cúbica general mediante el uso de fórmulas tiene una historia interesante con acusaciones de plagio que involucran a Niccolò Fontana (1500-1557), mejor conocido como "Tartaglia" ("el Tartamudo"), uno de los mejores matemáticos de la época del Renacimiento. De acuerdo con la historia, Tartagila fue el primero en obtener fórmulas para la resolución de la ecuación cúbica general. Cuando se enteró de ello, Cardano convenció a Tartaglia de que le revelara su secreto para resolver las ecuaciones cúbicas bajo la promesa de que el secreto sería conservado siempre, aunque de cualquier manera el procedimiento de solución fue publicado el el Ars Magna por Cardano quien argumentó haber obtenido la solución cúbica de otra persona con la cual no estaba comprometido en pacto de confidencialidad. Es por esto que la solución mediante fórmulas de la ecuación cúbica es conocida hoy como el método Tartagia-Cardano, ya que aunque haya sido Tartaglia quien descubrió dichas fórmulas por vez primera, fue Cardano quien las dió a conocer al mundo entero al publicarlas en su libro. Y en cuanto a la resolución de la ecuación general de cuarto grado mediante el uso de fórmulas, esta fue lograda por un estudiante de Cardano, Ludovico Ferrari, la que fue incluída en el Ars Magna como el pináculo del álgebra tradicional.
Se agregará aquí que la solución Tartaglia-Cardano mediante fórmulas generales aplicadas a los coeficientes de una ecuación cúbica requiere la extracción de raíces cúbicas. Y en lo que respecta a la solución general a la ecuación general de cuarto grado lograda porLudovico Ferrari, esta requiere la extracción de raíces cuartas.
Si las soluciones de una ecuación pueden ser obtenidas a partir de sus coeficientes mediante las operaciones usuales de la aritmética (suma, resta, multiplicación y división) y la extracción de raíces (cuadradas, cúbicas, cuartas, etc.), por una larga costumbre histórica se dice que la ecuación es soluble por radicales.
Resueltas mediante fórmulas las ecuaciones de primero, segundo, tercero y cuarto grado, el siguiente paso lógico en la escala de complejidad era la búsqueda de alguna fórmula o fórmulas para resolver de la ecuación general de quinto grado o ecuación quíntica:
Para lograr la solución de la ecuación general de quinto grado, las diversas técnicas usadas para la solución de ecuaciones de tercero y cuarto grado fueron sistematizadas en los tiempos de Cardano para que pudieran ser aplicadas a las ecuaciones de quinto grado. Pero aquí los mejores matemáticos de la época se toparon con enormes dificultades, dificultades que eclipsaban incluso los problemas que se tuvieron que enfrentar para la resolución de la ecuación cúbica. Y el problema no parecía ser uno de simple complejidad. Por alguna razón hasta entonces desconocida, la ecuación de quinto grado resistía tenazmente todo tipo de intentos para obtener una fórmula general o una serie de fórmulas generales para la resolución de dicha ecuación, entendiéndose por esto una fórmula maestra que proporcionase las soluciones recurriendo únicamente a las operaciones usuales de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces (cuadradas, cúbicas, etc.) llevadas a cabo sobre los coeficientes de la ecuación.
Después de 300 años de búsquedas infructuosas, los matemáticos empezaron a sospechar que tales formulas no existían. Pero esto era tan solo una sospecha que podía ser descartada si mediante algún procedimiento ingenioso alguien lograba descubrir esas fórmulas que se resistían a ser descubiertas. Y precisamente en una época en la que la geometría de Euclides empezaría a desmoronarse de su pedestal como la única geometría posible (mis lectores pueden consultar aquí mi bitácora "Geometrías no-Euclideanas"), un joven matemático francés logró resolver el problema, y en el camino para la resolución del problema inventó un campo nuevo de las matemáticas, inventó las matemáticas de la simetría, inventó la teoría de grupos, la cual a la larga tendría una aplicación mucho más extensa que la resolución de este problema clásico del álgebra
"Encontrar un número tal que si lo multiplicamos por cinco y le sumamos veinte nos dá treinta".
El número, desconocido aún, es identificado con la variable de incógnita x, con lo cual el problema es enunciado simbólicamente de la siguiente manera:
5x + 20 = 30
Aunque este problema es sencillo y se puede resolver mentalmente, muchos otros problemas que se ven posteriormente en los estudios del álgebra no lo son, razón por la cual se enuncia un problema introductorio de este tipo con fines didácticos.
La ecuación algebraica que tenemos arriba es lo que se llama una ecuación de primer grado, porque la incógnita x está elevada a un exponente de uno (1) en la ecuación. En su formulación más general, usando símbolos para representar los coeficientes numéricos, generalmente se representa de la siguiente manera;
ax + b = 0
La solución de este tipo de ecuaciones era ya conocida desde tiempos que predatan a la era Cristiana. La fórmula general para resolver una ecuación de primer grado como la de arriba es:
x = -b/a
Obsérvese que, si se conocen los coeficientes, la aplicación de la fórmula requiere que se lleve a cabo únicamente una división de los coeficientes.
El siguiente paso en la escala ascendente de complejidad es la ecuación de segundo grado, una ecuación que se enuncia en un problema de una manera como la siguiente:
"Dada la siguiente ecuacion
x² + 15x - 8 = 0
encontrar los valores de x para los cuales se cumple la ecuación."
La ecuación algebraica que tenemos arriba es lo que se llama una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática, porque la incógnita está elevada a un exponente máximo de dos (2) en la ecuación. Las soluciones a la ecuación cuadrática, no mediante alguna fórmula sino mediante manipulaciones geométricas (el álgebra aún no se había inventado) ya eran del conocimiento de los Babilonios unos 1,700 años A.C. Los textos de los Babilonios indican que ellos sabían resolver ecuaciones cuadráticas usando una "receta de cocina" concebida por algún genio matemático de la época mediante la cual se reformulaba el problema de modo tal que dijera: encontrar dos números, dados su suma y su producto. Llamando a los números s y p, y suponiendo quex+y=s y xy=p, la "receta de cocina" (o, en nuestra terminología moderna, el algoritmode solución) era la siguiente:
(1) Tomar la mitad de s.
(2) Elevar al cuadrado el resultado.
(3) De lo que se obtenga, substraer p.
(4) Sacar la raíz cuadrada del resultado.
(5) Sumar esto a la mitad de s para obtener una de las soluciones. La otra es s menos este número.
Por ejemplo, si la suma es 8 y el producto es 15, entonces los pasos sucesivos dan 4, 16, 1, 1, 3 y 8-3=5. Así, los dos números buscados son 5 y 3.
Posterioremente, las ecuaciones de segundo grado fueron estudiadas de modo más sistemático por el matemático al-Khawarizmi (780-850 D.C.), de cuyo nombre deriva precisamente la palabra algoritmo (el procedimiento para resolver un problema mediante una secuencia ordenada de pasos siguiendo una "receta de cocina") y de cuya obra al-Jabr deriva la palabra álgebra. Es de notar que el manejo del tema dado por al-Khawarizmi a las ecuaciones cuadráticas es un asunto algo pesado en virtud de que sus proposiciones y demostraciones eran enunciadas usando palabras sin recurrir a símbolos algebraicos (los cuales aún no habían sido inventados ni siquiera por él), además de que todos sus argumentos son expuestos recurriendo a la geometría.
En la formulación más general de la ecuación cuadrática, usando símbolos para representar los coeficientes numéricos, generalmente se representa de la siguiente manera;
ax² + bx + c = 0
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado cuando se conocen los coeficientes a, b y c, es la siguiente:
Es importante observar que la solución a la ecuación cuadrática general requiere la extracción de la raíz cuadrada de una función de los coeficientes conocida como el discriminante, b²-4ac. La derivación de esta fórmula se muestra a continuación:
Resueltas mediante fórmulas las ecuaciones de primer grado y segundo grado, el siguiente paso lógico en la escala de complejidad era la resolución también mediante alguna fórmula o fórmulas de las ecuaciones cúbicas o de tercer grado, generalmente expresadas de la siguiente manera:
ax3 + bx² + cx + d = 0
Pese a su deceptiva sencillez, el problema de resolver esta ecuación fue un reto muy duro por largo tiempo para los algebristas más diestros en los tiempos del Renacimiento. Las fórmulas para la resolución exacta de la ecuación cúbica general fueron publicadas en 1545 por Girolamo Cardano (1501-1576) en su libro Ars Magna. Además de la solución algebraica de las ecuaciones cúbicas, Cardano publicó en su Ars Magna una fórmula general para la solución de ecuaciones de cuarto grado:
ax4 + bx3 + cx² + dx + e = 0
como la siguiente:
x4 - 8x + 6 = 9
La resolución de la ecuación cúbica general mediante el uso de fórmulas tiene una historia interesante con acusaciones de plagio que involucran a Niccolò Fontana (1500-1557), mejor conocido como "Tartaglia" ("el Tartamudo"), uno de los mejores matemáticos de la época del Renacimiento. De acuerdo con la historia, Tartagila fue el primero en obtener fórmulas para la resolución de la ecuación cúbica general. Cuando se enteró de ello, Cardano convenció a Tartaglia de que le revelara su secreto para resolver las ecuaciones cúbicas bajo la promesa de que el secreto sería conservado siempre, aunque de cualquier manera el procedimiento de solución fue publicado el el Ars Magna por Cardano quien argumentó haber obtenido la solución cúbica de otra persona con la cual no estaba comprometido en pacto de confidencialidad. Es por esto que la solución mediante fórmulas de la ecuación cúbica es conocida hoy como el método Tartagia-Cardano, ya que aunque haya sido Tartaglia quien descubrió dichas fórmulas por vez primera, fue Cardano quien las dió a conocer al mundo entero al publicarlas en su libro. Y en cuanto a la resolución de la ecuación general de cuarto grado mediante el uso de fórmulas, esta fue lograda por un estudiante de Cardano, Ludovico Ferrari, la que fue incluída en el Ars Magna como el pináculo del álgebra tradicional.
Se agregará aquí que la solución Tartaglia-Cardano mediante fórmulas generales aplicadas a los coeficientes de una ecuación cúbica requiere la extracción de raíces cúbicas. Y en lo que respecta a la solución general a la ecuación general de cuarto grado lograda porLudovico Ferrari, esta requiere la extracción de raíces cuartas.
Si las soluciones de una ecuación pueden ser obtenidas a partir de sus coeficientes mediante las operaciones usuales de la aritmética (suma, resta, multiplicación y división) y la extracción de raíces (cuadradas, cúbicas, cuartas, etc.), por una larga costumbre histórica se dice que la ecuación es soluble por radicales.
Resueltas mediante fórmulas las ecuaciones de primero, segundo, tercero y cuarto grado, el siguiente paso lógico en la escala de complejidad era la búsqueda de alguna fórmula o fórmulas para resolver de la ecuación general de quinto grado o ecuación quíntica:
ax5 + bx4 + cx3 + dx² + ex + f = 0
Para lograr la solución de la ecuación general de quinto grado, las diversas técnicas usadas para la solución de ecuaciones de tercero y cuarto grado fueron sistematizadas en los tiempos de Cardano para que pudieran ser aplicadas a las ecuaciones de quinto grado. Pero aquí los mejores matemáticos de la época se toparon con enormes dificultades, dificultades que eclipsaban incluso los problemas que se tuvieron que enfrentar para la resolución de la ecuación cúbica. Y el problema no parecía ser uno de simple complejidad. Por alguna razón hasta entonces desconocida, la ecuación de quinto grado resistía tenazmente todo tipo de intentos para obtener una fórmula general o una serie de fórmulas generales para la resolución de dicha ecuación, entendiéndose por esto una fórmula maestra que proporcionase las soluciones recurriendo únicamente a las operaciones usuales de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces (cuadradas, cúbicas, etc.) llevadas a cabo sobre los coeficientes de la ecuación.
Después de 300 años de búsquedas infructuosas, los matemáticos empezaron a sospechar que tales formulas no existían. Pero esto era tan solo una sospecha que podía ser descartada si mediante algún procedimiento ingenioso alguien lograba descubrir esas fórmulas que se resistían a ser descubiertas. Y precisamente en una época en la que la geometría de Euclides empezaría a desmoronarse de su pedestal como la única geometría posible (mis lectores pueden consultar aquí mi bitácora "Geometrías no-Euclideanas"), un joven matemático francés logró resolver el problema, y en el camino para la resolución del problema inventó un campo nuevo de las matemáticas, inventó las matemáticas de la simetría, inventó la teoría de grupos, la cual a la larga tendría una aplicación mucho más extensa que la resolución de este problema clásico del álgebra
Legado de Evariste Galois
(Tomado de matematicas-de-la-simetria.blogspot.com)
miércoles, 16 de marzo de 2011
lunes, 14 de marzo de 2011
Matemáticos(as) somos todos(as)
Opinión
Lunes 14 de Marzo de 2011
Matemáticos somos todos
Lunes 14 de Marzo de 2011
Matemáticos somos todos
Nicolás Luco Rojas
La semana pasada, en el Centro de investigación avanzada en educación de la U. de Chile, la Dra. Heidi Kzyvacki-Vaino, del Departamento de ciencias aplicadas en educación de la Universidad de Helsinki, Finlandia, y el Dr. Keith Devlin, de Stanford, Estados Unidos, participaron con el Dr. Roberto Araya, director del proyecto "Metáforas" en un seminario sobre estrategias creativas para que la matemática sea algo tan popular como Shakira.
Conozco mucho al chileno Roberto Araya, que trabaja hace años como un Quijote con juegos para preescolares y escolares que llegan a chupar las matemáticas como manjar blanco. Roberto se ufana de tener a niños de 8 años resolviendo ecuaciones de segundo grado. Da gusto que hoy crean en él. Keith Devlin le mostró juegos masivos, que como "World of Warcraft" disfrutan en línea muchos jugadores compitiendo entre sí, y aprendiendo matemática.
Yo tuve buenos profesores del ramo, como Mario Sepúlveda, liquidado después por un cáncer. Él me desafió a calcular a qué hora entre las 14 y las 15 horas el minutero alcanza el mismo punto que el horario. Tenía 16 años y lo resolví. Hasta hoy, como ven, me ufano de ello. No le tengo miedo a la matemática.
Pero uno avanza por el mundo y se encuentra con quienes dicen "yo soy negado para las matemáticas". (Hay otros que dicen "yo soy negado para el deporte", o "negado para la cama", o "negado para el inglés"... ¡puras amputaciones!)
Nadie es negado para las matemáticas, estoy convencido.
Hay algunos, tal como dice el libro "The Math Gene", que tienen especial aptitud. Pero todos somos matemáticos. Aunque tengamos dificultades, como Einstein, que tuvo que contratar un matemático que le ayudara para trabajar sus teorías.
El miércoles conversé largo con el Dr. Carlos Jerez, matemático, profesor de ingeniería de la U. Católica, que viene llegando de Suiza y Francia. Francia es la meca de la matemática. Me contó algunos problemas que trabajan él o sus colegas: calculan el flujo de ondas electromagnéticas por un tumor maligno para diagnosticarlo; diseñan nuevos materiales para trabajos en óptica, en acústica; trabajan nuevas técnicas en medicina respiratoria tratando los pulmones como fractales, la calculable organización de, por ejemplo, los copitos de nieve...
Jerez, unos 30 años menor que yo, me hizo ver que la matemática hoy es la moneda de cambio entre las ciencias que trabajan juntas y mejoran la vida.
¡Cómo entonces pensar que haya personas que se digan "negadas" para el lenguaje que sostiene el conocimiento!
Todos hacemos matemática. Bajar por la escalera del metro es una operación de cálculo; hacer una maleta sin que nada se nos quede afuera, requiere pensamiento matemático; cocinar un guiso complicado, con diferentes ingredientes y tiempos de cocción, es matemática.
Se nos pueden haber olvidado las tablas, pero el ojo humano está siempre calculando. Como cuando un lolo me hace un "finito" con su auto para asustarme, con un complejo cálculo de velocidades y distancias.
Necesitamos reconciliarnos con esos cálculos numéricos; hacer sudokus, dicen, ayuda a espantar el alzheimer. Igual, con los años, uno va dosificando su energía, calculando.
El Teorema de Zapatero (España) .... Chascarros Matemáticos ....
Cuentan que el Primer Ministro de España, el señor Zapatero, dijo una frase muy similiar a esta:
"todas las provincias van a estar
por encima de la media" ....
refiriéndose a algún descriptor de bienestar llamémosle "b"
Esto obviamente esto es IMPOSIBLE!
Pensemos en dos provincias, que tienen datos b1=4 y b2=6
La media es: (b1+b2)/2 = (4+6)/2 = 5
Uno b1=4 está por bajo la media, el otro por encima.
A lo más, alguna provincia puede ser igual a la media o cada provincia puede ser igual a la media, en caso de que todos los datos sean iguales a la media .... pero de allí a que la frase de Zapatero sea correcta ....
ufffff !!!!!
miércoles, 9 de marzo de 2011
Números Primos (Tomado de hojamat.es)
Números primos y compuestos
Un número natural mayor que 1 se llama primo si sólo es divisible entre sí mismo y la unidad. En caso contrario le llamaremos compuesto.
Existen infinitos números primos (se sabe desde Euclides), aunque su densidad es cada vez menor y se ha demostrado que converge de la siguiente forma:
Si denominamos p (x) al número de números primos inferiores o iguales a x, se cumple el teorema:
Teorema de los números primos
El cociente p(x)/x es asintóticamente equivalente al cociente 1/ln(x) para valores de x muy grandes (versión de Gauss) o bien a 1/(ln(x)- 1.08366) (versión de Legendre). Este teorema lo expresó Gauss como conjetura. Un tiempo más tarde sustituyó estas funciones por el logaritmo integral Li(x), conjeturando quep(x) se aproxima asintóticamente a esta función:
El matemático ruso Chebychev acotó mediante dos constantes esta aproximación.
Riemann usó la función zeta x (s) = 1 + 1/2s + 1/3s+ 1/4s + 1/5s … para lograr una gran aproximación entre p(x) y Li(x), aunque no llegó a demostrar su su convergencia, cosa que lograron por separado los matematicos De la Vallée Pousin y Hadamard, al final del siglo XIX, y en el siguiente siglo (1949), demostraron el teorema Selberg y Erdös usando técnicas elementales.
La serie S (1/p) , donde p recorre todos los números primos, es divergente.
No obstante, si limitamos la serie a una suma parcial de todos los números primos inferiores o iguales a 5.107, dicha suma es menor o igual que 4.
Criba de Eratóstenes
| Algoritmo que encuentra la serie de números primos inferiores a uno dado mediante supresiones ordenadas de números compuestos: En primer lugar se tachan los pares a partir del 4 En la figura se observa un modo muy atractivo de tachado de números compuestos entre 1 y 100, debido a K.P.Swallow. En este esquema se comprueba que todos los números primos son de la forma 6n+1 o 6n-1. También se ve fácilmente que son de la forma 4n+1 o 4n-1. |  |
Criterio para saber si un número es primo
Un número es primo si no es divisible entre ninguno de los números primos menores o iguales a su raíz cuadrada. Como el número de esos primos es finito, esto proporciona un algoritmo para descubrir si un número es primo o no.
Algunas propiedades de los números primos
- Hay infinitos números primos de la forma 4n+3
- Si pn es el n-ésimo primo, será menor o igual que 2 elevado a 2n-1
- Todo número primo mayor que 3 es de la forma 6n+1 o de la forma 6n-1
- Todo número primo mayor que 2 es de la forma 4n+1 o de la forma 4n-1
Un número primo tiene las siguientes propiedades respecto a una suma de cuadrados:
- Un número primo es suma de cuadrados de dos números naturales si y sólo si es de la forma 4n+1.
- El producto de dos números que son suma de cuadrados también es otra suma de cuadrados, en virtud de la identidad
- (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac-bd)2 + (ad+bc)2
- Por tanto el producto de potencias de números del tipo 4n+1 también equivale a una suma de cuadrados.
- Si una suma de cuadrados se multiplica por otro cuadrado, resulta una nueva suma de cuadrados:
- (a2 + b2)c2 = (ac)2 + (bc)2
- De las propiedades anteriores se deduce que son suma de cuadrados los números que contienen factores primos del tipo 4n+1 y factores de otro tipo cualquiera pero con potencia par.
evagoncastillo: Es impresionante como en este blog ME COPIAN !!!!
evagoncastillo
Eva María González Castillo .... me gustaría comunicarme con Ud.
(mail mío: psumates2009@gmail.com)
evagoncastillo
desde España!
cp San José
Miren acá: http://cpsanjosematematicas.blogspot.com/
y me copia el diccionario en:
lunes, 7 de marzo de 2011
Una buena pregunta TIMSS
El gráfico muestra el número de lápices de pasta, lápices de mina, reglas y gomas vendidas por una tienda en una semana:
Los nombres de los artículos fueron borrados. Sin embargo, se sabe que los lçapices de pasta fueron los artículos más vendidos, y los menos fueron las gomas. Como dato se tiene que se vendieron más lápices de mina que reglas.
¿Cuántos Lápices de mina se vendieron?
A) 40 ; B) 80 ; C) 120 ; D) 140 ; E) Ninguna de las Anteriores (Agregado para hacer 5 items)
Respuesta:
Fuente: TIMSS
NEM: Cuarto Medio (Primero Medio en Currículum actualizado)
Eje Temático: I. Probabilidad y Estadística (Datos y Azar en Curriculum actualizado)
CMO: Interpretación de Grafo.
viernes, 4 de marzo de 2011
Carta de S. Ramanujan a G.H.Hardy
Solía decir que la Diosa Namakkal le inspiraba las fórmulas en sueños ....
una de las fórmulas de Ramanujan ....
Srinivasa Aaiyangar Ramanujan (1887-1920) es considerado uno de los matemáticos más creativos y geniales de nuestro tiempo. En el año 1913, otro matemático (esta vez famoso), recibió la siguiente carta que abrió una caja de milagros para las matemáticas actuales .... ¿Qué sabes más de Ramanujan?
Yo querría pedirle que repasara los trabajos aquí incluidos. Si usted se convence de que hay alguna cosa de valor me gustaría publicar mis teoremas, ya que soy pobre. No he presentado los cálculos reales ni las expresiones que he adoptado, pero he indicado el proceso que sigo. Debido a mi poca experiencia tendría en gran estima cualquier consejo que usted me hiciera. Pido que me excuse por las molestias que ocasiono.
Quedo, apreciado señor, a su entera disposición .
miércoles, 2 de marzo de 2011
Autómata Celular (Según Wikipedia)
Un autómata celular (A.C.) es un modelo matemático para un sistema dinámico que evoluciona en pasos discretos. Es adecuado para modelar sistemas naturales que puedan ser descritos como una colección masiva de objetos simples que interactúen localmente unos con otros.
Son sistemas descubiertos dentro del campo de la física computacional por John von Neumann en la década de 1950. La teoría de los autómatas celulares se inicia con su precursor John von Neumann a finales de los década de 1940 con su libro Theory of Self-reproducing Automata (editado y completado por A. W. Burks).
Aunque John von Neumann puso en práctica los AA.CC., estos fueron concebidos en los años 40 por Konrad Zuse y Stanislaw Ulam. Zuse pensó en los “espacios de cómputo” (computing spaces), como modelos discretos de sistemas físicos. Las contribuciones de Ulam vinieron al final de los 40, poco después de haber inventado con Nicholas Metropolis el Método de Montecarlo.
Son sistemas descubiertos dentro del campo de la física computacional por John von Neumann en la década de 1950. La teoría de los autómatas celulares se inicia con su precursor John von Neumann a finales de los década de 1940 con su libro Theory of Self-reproducing Automata (editado y completado por A. W. Burks).
Aunque John von Neumann puso en práctica los AA.CC., estos fueron concebidos en los años 40 por Konrad Zuse y Stanislaw Ulam. Zuse pensó en los “espacios de cómputo” (computing spaces), como modelos discretos de sistemas físicos. Las contribuciones de Ulam vinieron al final de los 40, poco después de haber inventado con Nicholas Metropolis el Método de Montecarlo.
¿ Qué es Wolfram Alfa ?
Wolfram|Alpha (también escrito WolframAlpha o Wolfram Alpha) es un buscador de respuestas desarrollado por la compañía Wolfram Research. Es un servicio en línea que responde a las preguntas directamente, mediante el procesamiento de la respuesta extraída de una base de datos estructurados, en lugar de proporcionar una lista de los documentos o páginas web que podrían contener la respuesta, tal y como lo haceGoogle. Fue anunciado en marzo de 2009 por el físico británico Stephen Wolfram, y esta en marcha desde el 15 de mayo de 2009.
Echa un ojo en:
www.wolframalpha.com
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