martes, 25 de febrero de 2014
lunes, 24 de febrero de 2014
viernes, 21 de febrero de 2014
Matemáticas y Biología
¿Por qué este es un material de mi clase?
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Ley de Lindenmayer
Ley de Lindenmayer
Ley de Lindenmayer
Ley de Lindenmayer
La Ley de Lindenmayer dice que en la bifurcación de un tronco, las áreas perpendicualares a los ejes de crecimiento, deben sumar lo mismo (o estadísticamente lo mismo) que el área del tronco desde el que se produce la bifurcación. Esto lo muestra el dibujo:
Sugerencia de actividad: Medir el área de A1 y A2, y luego sumarlas. Detectar desde esta suma, cuál debiese ser el radio de la sección MAYOR A.
¿Cuál es el criterio que se usa para lograr los radios de A1 y A2, medida directa o haciendo la longitud del contorno, equivalente al perímetro de un círculo?
jueves, 20 de febrero de 2014
el universo (la universa) escoge !!!!
El UNIVERSO escoge .... para hacer explícitos sus secretos .....
Enigmático Ramanujan es una breve y preciosa descripción de una de las figuras más misteriosas de las matemáticas, el hindú Srinivasa Ramanujan (1887-1920), quien con su auténtica «mente maravillosa» desarrollaba fórmulas casi imposibles que relacionaban unos números con otros. Una de ellas es sencillamente impresionante y relaciona el número π (Pi) (que le obsesionaba) con otros números, incluyendo una raíz cuadrada de ocho y una serie con factoriales, potencias y sumas.
Ramanujan
La fórmula de la imagen se utilizó para calcular más de 17 millones de cifras decimales de π (Pi) hace décadas. Ramanujan decía que la diosa de Namakkal le inspiraba algunas de las fórmulas en sus sueños, y viendo ésta casi parecería realmente la explicación más convincente. ¿Cómo se puede llegar a una fórmula tan bella? Wow.
(Texto de Microsiervos)
En la siguiente imagen, una de las sorprendentes fórmulas que emergieron de la cabeza de Ramanujan .... ¿o en verdad fueron sopladas al oído por la Diosa Namakkal?
Enigmático Ramanujan es una breve y preciosa descripción de una de las figuras más misteriosas de las matemáticas, el hindú Srinivasa Ramanujan (1887-1920), quien con su auténtica «mente maravillosa» desarrollaba fórmulas casi imposibles que relacionaban unos números con otros. Una de ellas es sencillamente impresionante y relaciona el número π (Pi) (que le obsesionaba) con otros números, incluyendo una raíz cuadrada de ocho y una serie con factoriales, potencias y sumas.
Ramanujan
La fórmula de la imagen se utilizó para calcular más de 17 millones de cifras decimales de π (Pi) hace décadas. Ramanujan decía que la diosa de Namakkal le inspiraba algunas de las fórmulas en sus sueños, y viendo ésta casi parecería realmente la explicación más convincente. ¿Cómo se puede llegar a una fórmula tan bella? Wow.
(Texto de Microsiervos)
En la siguiente imagen, una de las sorprendentes fórmulas que emergieron de la cabeza de Ramanujan .... ¿o en verdad fueron sopladas al oído por la Diosa Namakkal?
¡ Ayúdame Namakkal !
Para más detalles biográficos: Biografía Wikipedia Ramanujan
miércoles, 19 de febrero de 2014
Un problema abierto
Describe 2 estrategias diferentes, que se te ocurran, para contar todos los números "7" que hay entre los números 0 y 100.
Respuesta: Este es un problema Abierto, es decir, que no posee un procedimiento estándar para ser resuelto y que por otra parte, tal como se pide, hay varias posibles formas de solucionarlo ....
Este problema considera los siguientes conceptos:
1) Dígitos (números: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).
2) Lugar de Posición (Por ejemplo, en 37, 3 está en la posición de las decenas).
3) Valor de Posición (Por ejemplo, en 89, 8 tiene el valor de 80, porque representa 8 decenas).
Estrategia 1:
a) Contar todos los números 7 que se ubican en las unidades:
Números con 7 en las unidades: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97 = 11
b) Contar la cantidad de 7 que se encuentran en las centenas:
Números con 7 en la centenas: 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79 = 11
c) Sumar ambas cantidades, cuidando eliminar la repitencia: 11+11-2=20
Estrategia 2:
a) Contar los números 7 que aparecen en las decenas distintas de la decena del 70:
7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 87, 97 = 9
b) Contar los números 7 que aparecen en la decena iniciada con el 70:
70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79 = 11
c) Sumar ambas cantidades: 9 + 11 = 20
Estrategia 3: Hacer una Criba, como la de Eratóstenes, y en ella contar:
Se ve que son 20 los "7" que aparecen en los números del 0 al 100.
Nota: Si bien la estrategia 3 es válida, porque llega al resultado correcto, es mejor incentivar a que la búsqueda se haga con alguna de las estrategias 1 ó 2, para provocar pensamiento abstracto.
Fuente: Variación de Problema SIMCE - 2do. medio.
Nivel: Cuarto Básico.
Eje Temático: I.) Números.
Respuesta: Este es un problema Abierto, es decir, que no posee un procedimiento estándar para ser resuelto y que por otra parte, tal como se pide, hay varias posibles formas de solucionarlo ....
Este problema considera los siguientes conceptos:
1) Dígitos (números: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).
2) Lugar de Posición (Por ejemplo, en 37, 3 está en la posición de las decenas).
3) Valor de Posición (Por ejemplo, en 89, 8 tiene el valor de 80, porque representa 8 decenas).
Estrategia 1:
a) Contar todos los números 7 que se ubican en las unidades:
Números con 7 en las unidades: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97 = 11
b) Contar la cantidad de 7 que se encuentran en las centenas:
Números con 7 en la centenas: 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79 = 11
c) Sumar ambas cantidades, cuidando eliminar la repitencia: 11+11-2=20
Estrategia 2:
a) Contar los números 7 que aparecen en las decenas distintas de la decena del 70:
7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 87, 97 = 9
b) Contar los números 7 que aparecen en la decena iniciada con el 70:
70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79 = 11
c) Sumar ambas cantidades: 9 + 11 = 20
Estrategia 3: Hacer una Criba, como la de Eratóstenes, y en ella contar:
Nota: Si bien la estrategia 3 es válida, porque llega al resultado correcto, es mejor incentivar a que la búsqueda se haga con alguna de las estrategias 1 ó 2, para provocar pensamiento abstracto.
Fuente: Variación de Problema SIMCE - 2do. medio.
Nivel: Cuarto Básico.
Eje Temático: I.) Números.
martes, 18 de febrero de 2014
Polya y sus consejos para resolver problemas
Consejos para resolver problemas:
1) ENTIENDE BIEN: todos los términos del problema: Asegúrate de que comprendes cada dato, cada frase. Qué es lo que te piden, en qué puedes basarte … Si el enunciado es algo complicado, intenta explicártelo a ti mismo o a otra persona.
2) PON EN TENSION TODOS TUS RESORTES MENTALES: Concéntrate al máximo, pues resolver problemas es una actividad mental compleja.
3) Pon en juego buenas dosis de PACIENCIA Y CONSTANCIA. No abandones a la menor dificultad. Cada problema requiere su tiempo.
4) RESUELVE DE NUEVO: los problemas complicados. Si para resolver un problema has necesitado ayuda, vuelve a intentarlo por tu cuenta es misma tarde. Y nuevamente, algunos días después.
5) REFLEXIONA SOBRE OTRAS FORMAS DE RESOLUCION: Si te han mostrado una resolución distinta a la tuya, muestra interés por ella, intentando entenderla. Después, prueba a resolverlo por ese método.
6) SÁCALES PARTIDO A LOS BUENOS PROBLEMAS: Los buenos problemas son una fuente de aprendizaje. El “volver a hacer” un problema mejorando la redacción, explicitando algún paso, encontrando algún atajo …., lejos de ser una pérdida de tiempo, es un ejercicio magnífico. Y si el problema es interesante, es posible que puedas: a) Generalizar; b) Inventar uno parecido (más fácil, más difícil) ; Cuestionarte sobre lo que ocurriría si se suprimiera tal o cual condición, si se añadiera otra …
7) INTERCAMBIA CONCLUSIONES: con tus compañeros. Los problema se piensan individualmente. Pero en algunas situaciones tendrá sentido hacer un estudio en grupo para buscar ideas que se encaminen a la solución. También es muy provechoso el intercambio de ideas después de haber resuelto el problema y es beneficioso hacer estas reflexiones sistemáticamente.
En el consejo 7), revalorizamos el trabajo grupal, a diferencia de Polya.
Problema Resuleto usando Metodología de Barras
La señora Teresa tenía 3756 pesos. Ella guardó 650 pesos y gastó el resto en 12 chocolates y algunas galletas. Cada chocolate costó 205 pesos. ¿Cuánto gastó en galletas?
Respuesta:
Fuente: Pensar Sin Límtes 4A - Método Singapur.
Nivel: Curto Básico.
Eje Temático: I.) Números.
Aprendizaje Esperado: Resolver problemas rutinarios y no rutinarios en contextos cotidianos que incluyen dinero, seleccionando y utilizando la operación apropiada.
Respuesta:
Fuente: Pensar Sin Límtes 4A - Método Singapur.
Nivel: Curto Básico.
Eje Temático: I.) Números.
Aprendizaje Esperado: Resolver problemas rutinarios y no rutinarios en contextos cotidianos que incluyen dinero, seleccionando y utilizando la operación apropiada.
lunes, 17 de febrero de 2014
Un millardo de Poemas - Grupo Oulipo
Fuente: Revista Matemática El Aleph
Nivel: 1ro. Medio.
Eje Temático: IV.) Datos y Azar.
Aprendizaje Esperado: Aprender a usar técnicas combinatorias y proyectarlo a probabilidades. (Esta no es la redacción original).
Matemáticas y Literatura:
"Un millardo de Poemas"
Imagina tuvieras tres versos:
"en una noche estrella";
"mi amor se enciende infinito";
"respiro, respiro, respiro"
¿Cuántos poemas puedo hacer, con estos tres versos?
Poema 1:
en una noche estrellada
mi amor se enciende infinito
respiro, respiro, respiro.
Poema 2:
en una noche estrellada
respiro, respiro, respiro
mi amor se enciende infinito.
Nivel: 1ro. Medio.
Eje Temático: IV.) Datos y Azar.
Aprendizaje Esperado: Aprender a usar técnicas combinatorias y proyectarlo a probabilidades. (Esta no es la redacción original).
Matemáticas y Literatura:
"Un millardo de Poemas"
"en una noche estrella";
"mi amor se enciende infinito";
"respiro, respiro, respiro"
¿Cuántos poemas puedo hacer, con estos tres versos?
Poema 1:
en una noche estrellada
mi amor se enciende infinito
respiro, respiro, respiro.
Poema 2:
en una noche estrellada
respiro, respiro, respiro
mi amor se enciende infinito.
Poema 3:
respiro, respiro, respiro
en una noche estrellada
mi amor se enciende infinito.
Poema 4:
respiro, respiro, respiro
mi amor se enciende infinito
en una noche estrellada.
Poema 5:
mi amor se enciende infinito
en una noche estrellada
respiro, respiro, respiro.
Poema 6:
mi amor se enciende infinito
respiro, respiro, respiro
en una noche estrellada.
¿Cuál poema te gustó más?
¿n Cuántos poemas se pueden hacer si hubiesen 10 versos?
Literatura Potencial:
respiro, respiro, respiro
en una noche estrellada
mi amor se enciende infinito.
Poema 4:
respiro, respiro, respiro
mi amor se enciende infinito
en una noche estrellada.
Poema 5:
mi amor se enciende infinito
en una noche estrellada
respiro, respiro, respiro.
Poema 6:
mi amor se enciende infinito
respiro, respiro, respiro
en una noche estrellada.
¿Cuál poema te gustó más?
¿n Cuántos poemas se pueden hacer si hubiesen 10 versos?
Literatura Potencial:
Probabilidad Geométrica
¿Cuál es la probabilidad de impactar el cuadrado rojo con un dardo lanzado totalmente al azar a través de la ventana azul?. Note que el vértice (P) del cuadrado rojo está exactamente en el centro de la ventana (Cuadrado Azul).
A) 1/8
B) 1/2
C) 1/3
D) 1,1
E) es independiente de la posición del cadrado rojo.
Respuesta:
Fuente: Mare Nostrum
Nivel: 8avo. y 1ro. medio.
Eje Temático: IV) Datos y Azar.
Aprendizaje Esperado: (05) Asignar probabilidades teóricamente a la ocurrencia de eventos, en esperimentos aleatorios con resultados finitos y equprobables, y contrastar con resultados experimentales. Modelo de Laplace.
Nota 1: Este ejercicio involucra el tema de Congruencia.
Nota 2: Este ejercicio ocupa el concepto de Regla de Laplace, pero aplicado a sucesos que son áreas. En este caso, matemáticamente esto se llama: Espacios Uniformes NO Contables, porque las superficies tienen infinitos puntos y corresponden a un espacio NO enumerable, en teoría de conjuntos, en lo que respecta al tema del infinito.
A) 1/8
B) 1/2
C) 1/3
D) 1,1
E) es independiente de la posición del cadrado rojo.
Respuesta:
Fuente: Mare Nostrum
Nivel: 8avo. y 1ro. medio.
Eje Temático: IV) Datos y Azar.
Aprendizaje Esperado: (05) Asignar probabilidades teóricamente a la ocurrencia de eventos, en esperimentos aleatorios con resultados finitos y equprobables, y contrastar con resultados experimentales. Modelo de Laplace.
Nota 1: Este ejercicio involucra el tema de Congruencia.
Nota 2: Este ejercicio ocupa el concepto de Regla de Laplace, pero aplicado a sucesos que son áreas. En este caso, matemáticamente esto se llama: Espacios Uniformes NO Contables, porque las superficies tienen infinitos puntos y corresponden a un espacio NO enumerable, en teoría de conjuntos, en lo que respecta al tema del infinito.
Falsación de una Conjetura
Pruebe que cada CONJETURA es FALSA.
a) Un triángulo rectángulo tiene tres medidas de ángulos diferentes.
b) Todos los números primos son impares.
c) Todos los polígonos con 3 o más lados son triángulos.
d) Un triángulo isósceles es un triángulo acutángulo.
Respuesta:
NOTA MUY IMPORTANTE: PARA DEMOSTRAR QUE UNA CONJETURA ES FALSA (ESTO ES HACER SU FALSACIÓN), DEBEMOS ENCONTRAR UN EJEMPLO QUE LA CONTRADIGA, BASTA UN SOLO EJEMPLO.
a) Es falsa porque: Los 2 triángulos rectángulo que se forman al trazar cualquiera de las diagonales de un cuadrado, son triángulos rectángulos (isósceles) que tienen dos ángulos iguales:
b) Es falsa porque: el número 2, que es primo, NO es impar (aunque sea el único!)
c) Es falsa porque: el cuadrado Es un polígono con 3 o más lados y NO es un triángulo.
d) Es falsa porque: Si el ángulo del vértice es obtuso, NO tiene por qué ser Acutángulo. Veamos un caso:
a) Un triángulo rectángulo tiene tres medidas de ángulos diferentes.
b) Todos los números primos son impares.
c) Todos los polígonos con 3 o más lados son triángulos.
d) Un triángulo isósceles es un triángulo acutángulo.
Respuesta:
NOTA MUY IMPORTANTE: PARA DEMOSTRAR QUE UNA CONJETURA ES FALSA (ESTO ES HACER SU FALSACIÓN), DEBEMOS ENCONTRAR UN EJEMPLO QUE LA CONTRADIGA, BASTA UN SOLO EJEMPLO.
a) Es falsa porque: Los 2 triángulos rectángulo que se forman al trazar cualquiera de las diagonales de un cuadrado, son triángulos rectángulos (isósceles) que tienen dos ángulos iguales:
b) Es falsa porque: el número 2, que es primo, NO es impar (aunque sea el único!)
c) Es falsa porque: el cuadrado Es un polígono con 3 o más lados y NO es un triángulo.
d) Es falsa porque: Si el ángulo del vértice es obtuso, NO tiene por qué ser Acutángulo. Veamos un caso:
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